高一立体几何平行垂直解答题精选演示教学
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高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(教师)高三数学复习——立体几何中的平行与垂直的证明一、平面的基本性质公理1:公理2:推论1:推论2:推论3:公理3:二、空间中直线与直线的位置关系平行:相交:异面:三、平行问题1.直线与平面平行的判定与性质2.图形条件α∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系:四、垂直问题(一)、直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线和平面垂直的常用性质①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. (二)、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直2.平面与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正三角形。
(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ;(Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;(Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。
MDPBC例2. 如图,已知三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,2AC BC ==,14AA =,AB =M ,N 分别是棱1CC ,AB 中点.(Ⅰ)求证:CN ⊥平面11ABB A ; (Ⅱ)求证://CN 平面1AMB ;(Ⅲ)求三棱锥1B AMN -的体积.【变式1】. 如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧棱1AA ⊥平面ABC ,ABC ∆为等腰直角三角形,ο90=∠BAC ,且1AA AB =,F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨:证明直线与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法:一是在面内找线;二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、(2019南通、泰州、扬州一调)如图,在四棱锥PABCD中,M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形,DA=DP.求证:(1)MN〃平面PBC;MD丄平面PAB.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,M, N分别为棱PA, PD的中点,所以MN〃AD.(2分)又底面ABCD是矩形,所以BC〃AD.所以MN〃BC.(4分)又BC U平面PBC,MN Q平面PBC,所以MN〃平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形,所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD,侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD,所以AB丄侧面PAD.(8分)又MD U侧面PAD,所以AB丄MD.(10分)因为DA=DP,又M为AP的中点,从而MD丄PA. (12分)又PA,AB在平面PAB内,PA n AB=A,所以MD丄平面PAB.(14分)例2、(2019扬州期末)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B为矩形,平面AA1B1B丄平面ABC,点E,F分别是侧面AA1B1B,BB1C1C对角线的交点.(1)求证:EF〃平面ABC;(2)求证:BB]丄AC.规范解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形,E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点,所以E, F分别是AB1,CB1的中点,所以EF〃AC.(4分)因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC,所以EF〃平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形,所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.(12分)因为AC U平面ABC,所以BB1丄AC.(14分)例3、(2019南京、盐城二模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC, A1C丄BC], AB]丄BC1,D, E 分别是AB1和BC的中点.求证:(1)DE〃平面ACC1A1;(2)AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1#BB1且AA1=BB1,所以四边形AA1B1B是平行四边形.又因为D是AB1的中点,所以D也是BA1的中点.(2分)在厶BA1C中,D和E分别是BA1和BC的中点,所以DE〃A]C.又因为DE G平面ACC1A1,A1C U平面ACC1A1,所以DE〃平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE〃A]C,因为A1C丄BC” 所以BC]丄DE.(8 分)又因为BC]丄AB1,AB1H DE=D,AB1,DE U平面ADE,所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.(10分)在厶ABC中,AB=AC,E是BC的中点,所以AE丄BC.(12分)因为AE丄BC1,AE丄BC,BC1H BC=B,BC1,BC U平面BCC1B1,所以AE丄平面BCC1B1. (14 分)例4、(2019苏锡常镇调研)如图,三棱锥DABC中,已知AC丄BC,AC丄DC,BC=DC,E,F 分别为BD,CD 的中点.求证:(1)EF〃平面ABC;(2)BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.(6分)(2)因为AC丄BC,AC丄DC,BC H DC = C,BC,DC U平面BCD所以AC丄平面BCD,(8分)因为BD U平面BCD,所以AC丄BD,(10分)因为DC=BC,E为BD的中点,所以CE丄BD,(12分)因为AC n CE = C, AC,CE U平面ACE,所以BD丄平面ACE.(14分)例5、(2019苏州三市、苏北四市二调)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证:(1) DE〃平面ABB1A1;(2) BC]丄平面A1B1C.规范解答(1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,所以侧面ACC1A1为平行四边形.又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点,同理,E为BC]的中点•所以DE〃AB.(3分)又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].(6分)(2)因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱,所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.(8分)又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1,所以A]B]丄平面BCC]B].(10 分)又因为BC]U平面BCC]B1,所以A]B丄BC].(12分)又因为侧面BCC]B1为正方形,所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1,A1B1,B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.(14分)例6、(2017苏北四市一模)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D, E分别为BC, B1C1的中点,点F 在棱CC1上,且EF丄CD.求证:(1)直线A1E〃平面ADC1;⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点,所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形,(2分)所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形,所以A]E〃AD.(4分)又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC,所以直线AE〃平面ADC.(7分)1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点,所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形,所以N是CE的中点.(2分)因为A1ACC1为平行四边形,所以M是A1C的中点,(4分)所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC,MN U平面ADC,,所以直线Af〃平面ADC、.(7分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC,所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形,且D为BC的中点,所以AD丄BC.(9分)又BB,,BC U 平面BBCC,,BB1A BC=B,所以AD丄平面B,BCC,,又EF U平面BBCC,所以AD丄EF.(11分)又EF丄CD,CD,AD U平面ADC,,C,D A AD=D,所以直线EF丄平面ADC,.(14分)题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题,一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理,切记不可缺条件。
DB A 1A高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行,等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ;分析:取PC 的中点G ,连EG.,FG ,则易证AEGF 是平行四边形*2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1+3, 过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC. (Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ;分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形-3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证:(Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM.…分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四是(第1题图)PEDCBAMF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E FG M AD CD BD BC AM EFG 求证:AB 1ABEF ⊥ABCD ABEFABCD 090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD BE //=12AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ) 利用平行四边形的性质9.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心,M 为BB 1的中点, 求证: D 1O21中点为PD E 求证:AE ∥平面PBC ; &分析:取PC 的中点F ,连EF 则易证ABFE 是平行四边形11、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ ACB=90︒,EA⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.#(I )证法一: 因为EF90ACB ∠=︒90,EGF ABC∠=︒∆.EFG ∆BC FG 21=ABCD BC AM 21=FA ⊂GM ⊄SM AM NDBNABC P -PB ⊥ABC 90BCA ∠=E PCM AB F PA 2AF FP =(1)求证:BE ⊥平面PAC ; (2)求证://CM 平面BEF ;分析: 取AF 的中点N ,连CN 、MN ,易证平面CMN1!AFEBCD M。
专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1.四面体ABCD 中,△ ABC 是正三角形,△ ACD 是直角三角形,∠ ABD =∠ CBD,AB=BD ,则四面体的四个表面中互相垂直的平面有()对.2.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,PA⊥底面ABCD ,四边形ABCD 为长方形,AD=2AB,点E、F 分别是线段PD、PC 的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;(Ⅱ)在线段AD 上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC,若存在,请指出点O 的位置,⊥底面ABCD ,且PA=AD=2,AB=BC=1,M 为PD 的中点.Ⅰ)求证:CM ∥平面PAB;Ⅱ)求证:CD ⊥平面PAC.AD ∥BC ,∠ BAD =90°,PA4.如图,△ ABC 为正三角形,AE 和CD 都垂直于平而ABC,F 是BE 中点,AE=AB=2,CD=1.1)求证:DF ∥平面ABC;2)求证:AF ⊥DE;3)求异面直线AF 与BC 所成角的余弦值.5.如图,在四棱锥A﹣BCDE 中,平面ABC⊥平面BCDE ,∠ CDE =∠ BED =90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:D E⊥平面ACD ;2)求棱锥C﹣ABD 的体积.6.如图,在四棱锥P﹣ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB =1,M 为线段PD 的中点.I)求证:BM ⊥PDII )求直线CM 与PB 所成角的余弦值.7.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,所有棱长都等于2.(1)当点M 是BC 的中点时,求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值;专题 :立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编1.如图,在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,∠ ACB =90°, 2AC =AA 1,D ,M 分别是棱 AA 1, BC 的中点.证明:2)若∠ ABC =120°,AE ⊥EC ,AB =2,求点 G 到平面 AED 的距离.3.如图,在四棱锥 P ﹣ ABCD 中,平面 PAD ⊥平面 ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,AB ⊥AD , AB =1,AD =2,AC =CD = .( 1)求证: PD ⊥平面 PAB ;1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD;AB ∥CD ,且∠ BAP =∠ CDP =90BE ⊥平面 ABCD .1)证明:平面 AEC ⊥平面 BED .2)若 PA =PD =AB =DC ,∠APD =90°,且四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为 ,求该四棱 1)证明: AC ⊥BD ;(2)已知△ ACD 是直角三角形, AB =BD ,若 E 为棱 BD 上与 D6.如图,在四棱锥 A ﹣EFCB 中,△ AEF 为等边三角形,平面 AEF ⊥平面 EFCB ,EF = 2,四边形 EFCB 是高为 的等腰梯形, EF ∥BC ,O 为 EF 的中点.AD =CD . 求 O 到平面 ABC 的距离.专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1.四面体ABCD 中,△ ABC 是正三角形,△ ACD 是直角三角形,∠ ABD =∠ CBD,AB=BD ,则四面体的四个表面中互相垂直的平面有()对.A .0 B.1 C. 2 D. 3【解答】解:取AC 的中点E,连接BE,DE,∵∠ ABD=∠ CBD ,∴ BD 在平面ABC 上的射影在直线BE 上,∵△ ACD 是直角三角形,∴∠ ADC=90°,设 AB = 2,则 BE = ,DE = AC =1,BD =2,2 2 2∴DE 2+BE 2= BD 2,即 DE ⊥BE ,又 BE ⊥ AC ,DE ∩AC =E ,∴ BE ⊥平面 ACD ,∴平面 ABC ⊥平面 ACD .∵ D 在平面 ABC 上的射影为 E , B 在平面 ACD 上的射影为 E ,∴平面 ABD 与平面 ABC 不垂直,平面 BCD 与平面 ABC 不垂直,平面 ABD 与平面 ACD 不垂直,平面 BCD 与平面 ACD 不垂直, 过A 作 AF ⊥BD ,垂足为 F ,连接 CF ,由△ ABD ≌△ CBD 可得 CF ⊥BD ,故而∠ AFC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角, ∵ AD == , ∴ cos ∠ ABD ∴ CF = AF =∴ cos ∠ AFC =∴∠ AFC ≠ 90°,∴平面 ABD 与平面 BCD 不垂直.F 分别是线段 PD 、PC 的中点.证明: EF ∥平面 PAB ;BO ⊥平面 PAC ,若存在,请指出点 O 的位置, 并证明 BO ⊥平面 PAC ;若不存在,请说明理由.2.如图, 在四棱锥 P ﹣ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,四边形 ABCD 为长方形, AD = 2AB ,在线段 AD 上是否存在一点 O ,使得,∴ sin ∠ ABD=∵EF ∥CD ,∴ EF ∥AB ,∴ EF ∥平面 PAB . ⋯(6 分)此时点 O 为线段 AD 的四等分点,满足 ,⋯( 8 分) ∵长方形ABCD 中,∴△ ABO ∽△ ADC , ∴∠ ABO+∠CAB =∠ DAC + ∠CAB =90°,∴AC ⊥BO ,(10 分) 又∵ PA ⊥底面 ABCD ,BO? 底面ABCD , ∴PA ⊥BO , ∵PA ∩AC =A ,PA 、AC? 平面 PACABCD 为长方形,∴CD ∥AB ,∠ BAO =∠ ADC = 90°,四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC ,∠ BAD=,PA 又∵ EF? 平面 PAB , AB? 平面 PAB ,Ⅱ) 在线段 AD 上存在一点 O ,使得 BO ⊥平面 PAC ,⊥底面ABCD ,且PA=AD=2,AB=BC=1,M为PD 的中点.(Ⅰ)求证:CM ∥平面PAB;(Ⅱ)求证:CD ⊥平面PAC.解答】证明:(I )取PA 的中点E,连接ME 、BE,∵ ME ∥AD,ME AD,∴ ME ∥BC,ME=BC,∴四边形BCME 为平行四边形,∴ BE∥CM ,∵BE? 平面PAB,CM?平面PAB,∴ CM∥平面PAB;(II )在梯形ABCD 中,AB=BC=1,AD=2,∠ BAD=90° 过C作CH⊥AD于H,∴AC =CD=2 2 2∵AC2+CD2=AD2,∴ CD⊥AC又∵ PA⊥平面ABCD ,CD ?平面ABCD,∴ CD⊥PA∵PA∩AC=A,∴CD ⊥平面PAC4.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1 的中点,证明:A1D⊥平面A1BC.解答】 证明:设 E 为 BC 的中点,连接 A 1E , DE ,AE ,由题意得 A 1E ⊥平面 ABC ,∴ A 1E ⊥AE .∵ AB = AC , AE ⊥BC ,∴ AE ⊥平面 A 1BC . 由 D ,E 分别为 B 1C 1,BC 的中点,得 DE ∥B 1B 且 DE =B 1B , 从而 DE ∥A 1A 且 DE =A 1A ,∴四边形 A 1AED 为平行四边形,∴ A 1D ∥AE .5.如图,△ ABC 为正三角形, AE 和 CD 都垂直于平而 ABC ,F 是 BE 中点, AE =AB = 2,CD = 1.(1)求证: DF ∥平面 ABC ;(2)求证: AF ⊥DE ;(3)求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值.【解答】(1)证明:取 AC 中点 O ,过 O 作平面 ABC 的垂线交 DE连结 OB ,则 OG ⊥OB , OG ⊥ OC ,∵△ ABC 是正三角形, O 是 AC 中点,∴ OB ⊥ OC ,以 O 为原点, OB 、OC 、OG 所在直线分别为 x 、y 、z轴,建立空间直角坐标系,又∵ AE ⊥平面 A 1BC , ∴ A 1D ⊥平面 A 1BC∵F 是 BE 中点, AE =AB = 2,CD =1,=(﹣ , 1, 0), =( 0,0, 1),∵CD ⊥平面 ABC ,∴ =(0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量,又 DF? 平面 ABC ,∴ DF ∥平面 ABC .2)证明:∵ =( ), =( 0,﹣2,1),∴ = 0﹣ 1+1=0,∴AF ⊥DE .(3)解:∵ =( ), =(﹣ ,1, 0),设 AF 、 BC 所成角为 θ,cos θ= ∴异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值6.如图,在四棱锥 P ﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD ,PA =AD =2,AB = 1,M 为线段 PD 的中点.( I )求证: BM ⊥PD( II )求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值.∴ =( ,0), =( ), =(0,﹣ 2,1),∵ = , ∴,D (0,1,1),E (0,﹣1,∴A (0,﹣ 1,0),B(| | =【解答】( I )证明:连接 BD ,∵四棱锥 P ﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD ,PA =AD =2,AB =1, ∴PB =BD =∵ M 为线段 PD 的中点,∴BM ⊥PD(II )解:连接 AC ,与 BD 交于 O ,连接 OM ,则∵ M 为线段 PD 的中点,∴MO ∥PB∴直线 CM 与 PB 所成角的余弦值为7.如图,在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中,所有棱长都等于 2.( 1)当点 M 是 BC 的中点时,① 求异面直线 AB 1和 MC 1 所成角的余弦值;② 求二面角 M ﹣AB 1﹣C 的正弦值;(2)当点 M 在线段 BC 上(包括两个端点)运动时, 求直线 MC 1与平面 AB 1C 所成角的∴∠ CMO (或其补角)为直线 CM 与 PB 所成角,在△ MOC中, ∴ cos ∠ CMO=CM = = ,. .解答】 解:(1)取 AC 的中点为 O ,建立空间直角坐标系 O ﹣ xyz ,则 ,C ( 0,1,0),当 M 是 BC 的中点时,则 . ①, 设异面直线 AB 1 和 MC 1 所成角为 θ,则 = = .= = .② , , ,,令 x = 2,∴ ,∴ .设二面角 M ﹣ AB 1﹣ C 的平面角为 θ,则=.所以 .( 2)当 M 在 BC 上运动时,设 .设平面 MAB 1的一个法向量为 ,则 .∴ 设平面 AB 1C 的一个法向量为 ,令 ,则 y =﹣ 1,z =﹣ 1,∴,,则正弦值的取值范围.设M(x,y,z),∴,∴ ,则,∴ .设直线MC1 与平面AB1C 所成的角为θ ,则设,设t=λ+1 ∈[1,2],所以,t∈[1,2].设,∴∵ ,∴ ,∴∴直线MC 1与平面AB1C 所成的角的正弦值的取值范围为6.如图,在四棱锥 A ﹣BCDE 中,平面 ABC ⊥平面 BCDE ,∠ CDE =∠ BED =90°, AB =CD = 2,DE =BE =1,AC = .( 1)证明: DE ⊥平面 ACD ;( 2)求棱锥 C ﹣ ABD 的体积.【解答】 解:( 1)在直角梯形 BCDE 中,∵DE = BE = 1, CD = 2,∴ BC == , 又 AB =2, AC = ,∴ AB 2=AC 2+BC 2,即 AC ⊥ BC ,又平面 ABC ⊥平面 BCDE ,平面 ABC ∩平面 BCDE =BC ,AC? 平面 ABC ,∴AC ⊥平面 BCDE ,又 DE? 平面 BCDE ,∴AC ⊥ DE ,又 DE ⊥DC ,AC ∩CD =C ,∴ DE ⊥平面 ACD .1.如图,在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,∠ ACB =90°, 2AC =AA 1,D ,M分别是棱 AA 1, BC 的中点.证明:S △BCD ?AC =V C ﹣ABD =V A ﹣BCD =1)AM∥平面BDC12)DC1⊥平面BDC .∴AD ∥ MN ,且 AD = MN ;∴四边形 ADNM 为平行四边形,∴DN ∥AM ;又 DN? 平面 BDC 1,AM? 平面 BDC 1,∴ AM ∥平面 BDC 1⋯( 6 分)( 2)由已知 BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ,又 CC 1∩ AC = C ,∴ BC ⊥平面 ACC 1A 1,又 DC 1? 平面 ACC 1A 1,∴ DC 1⊥BC ;由已知得∠ A 1DC 1=∠ ADC =45°,∴∠ CDC 1= 90°,∴DC 1⊥DC ;又 DC ∩BC =C ,∴ DC 1⊥平面 BDC .⋯( 12分)【解答】 证明:( 1)如图所示,取 BC 1 的中点 N ,连接 DN ,MN .则 MN ∥ CC 1,且 M N = CC 1;又 AD ∥CC 1,且 ADV = ,2.如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点, BE ⊥平面 ABCD .( 1)证明:平面 AEC ⊥平面 BED .因为 BE ⊥平面 ABCD , AC? 平面 ABCD ,所以 AC ⊥BE ,⋯( 2 分)又因为 DB ∩BE =B ,所以 AC ⊥平面 BED .⋯( 3分) 又 AC? 平面 AEC ,所以平面 AEC ⊥平面 BED .⋯( 5 分)2)取 AD 中点为 M ,连接 EM .因为∠ ABC = 120°.,AB =2,所以 AB =DB = 2,AG = ,DG = 1,因为 AE ⊥EC ,所以 EG == ,所以 BE = ,⋯( 6 分)所以 AE =DE = ,又所以 AD 中点为 M ,所以 EM ⊥AD 且 EM = .设点 G 到平面 AED 的距离为为 h , 则三棱锥 E ﹣ADG 的体积为求点 G 到平面 AED 的距离.为菱形,所以 AC ⊥BD ,⋯( 1 分)即,解得 h = .PAD ⊥平面 ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,AB ⊥AD ,ABCD ,且平面 PAD ∩平面 ABCD =AD ,AB ⊥AD ,AB? 平面 ABCD ,∴ AB ⊥平面 PAD ,∵PD? 平面 PAD ,∴AB ⊥PD ,又 PD ⊥PA ,且 PA ∩AB =A ,∴ PD ⊥平面 PAB ;( 2)解:取 AD 中点 O ,连接 PO ,则 PO ⊥ AD , 又平面 PAD ⊥平面 ABCD , ∴PO ⊥平面 ABCD ,∵PA ⊥PD ,PA =PD ,AD =2,∴ PO =1.10 分) 所以点 G 到平面 AED 的距离为AB =1,AD =2,AC =CD = .1)求证: PD ⊥平面PAB ;在△ ACD 中,由 AD =2,AC =CD = ,可得 .4.如图,在四棱锥 P ﹣ABCD 中, AB ∥CD ,且∠ BAP =∠ CDP =901)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ;P ﹣ABCD 中,∠ BAP =∠ CDP = 90°,∴AB ⊥PA ,CD ⊥PD ,又 AB ∥ CD ,∴ AB ⊥PD ,∵PA ∩PD =P ,∴ AB ⊥平面 PAD ,∵AB? 平面 PAB ,∴平面 PAB ⊥平面 PAD .解:(2)设 PA =PD =AB =DC =a ,取 AD 中点O ,连结 PO ,∵PA =PD =AB =DC ,∠ APD =90°,平面 PAB ⊥平面 PAD ,∵四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为由 AB ⊥平面 PAD ,得 AB ⊥ AD ,∴V P ﹣ABCD =2)若 PA =PD = AB = DC ,∠ APD =90°,且四棱锥 P ﹣ ABCD 的体积为求该四棱 ∴ PO ⊥底面ABCD , O P= = = = , 解得 a =2,∴ PA =PD =AB =DC =2,AD =BC =2 ,PO = , ∴ PB = PC = =2 ,∴该四棱锥的侧面积:S 侧= S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC=+1)证明: AC ⊥ BD ;2)已知△ ACD 是直角三角形, AB = BD ,若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点, ∵△ ABC 是正三角形, AD =CD ,∴DO ⊥AC ,BO ⊥AC ,∵DO ∩BO =O ,∴ AC ⊥平面 BDO ,∵BD? 平面 BDO ,∴AC ⊥BD . 解:(2)法一:连结 OE ,由( 1)知 AC ⊥平面 OBD , ∵OE? 平面 OBD ,∴ OE ⊥ AC , 设 AD = CD = ,则 OC = OA = 1, EC = EA ,2 2 2 ∵AE ⊥CE ,AC =2,∴ EC 2+EA 2=AC 2,∴ EC = EA = = CD ,∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点,∴ EC =EA =CD = ,由余弦定理得:AE ⊥= 6+2 .AD =CD .∵BE<<BD=2,∴BE=1,∴ BE=ED ,∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h,∵ BE=ED ,∴ S△DCE=S△BCE,∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1.法二:设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,∴ BO==,∴ BO2+DO2=BD2,∴ BO⊥DO,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),A(1,0,0),设E(a,b,c),,(0≤λ≤1),则(a,b,c﹣1)=λ(0,,﹣1),解得E(0,,1﹣λ),∴ =(1,),=(﹣ 1 ,),∵AE⊥EC,∴=﹣1+3λ2+ (1﹣λ)2=0,由λ∈[0 ,1],解得,∴ DE=BE,∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h,∵DE=BE,∴ S△DCE=S△BCE,∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1.AEF⊥平面EFCB,EF=2,四边形EFCB 是高为的等腰梯形,EF∥BC,O 为EF 的中点.1)求证:AO⊥CF;O 为EF 的中点,所以AO⊥ EF ⋯( 1 分)又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO? 平面AEF,平面AEF ∩平面EFCB =EF ,所以AO ⊥平面EFCB,⋯( 4 分)又CF? 平面EFCB ,所以AO⊥ CF ⋯( 5 分)(2)解:取BC 的中点G,连接OG.由题设知,OG⊥BC ⋯( 6 分)由(1)知AO⊥平面EFCB ,又BC? 平面EFCB ,所以OA⊥BC,因为OG∩OA=O,所以BC⊥平面AOG⋯(8 分)过O 作OH⊥AG,垂足为H,则BC⊥ OH ,因为AG∩BC=G,所以OH⊥平面ABC.⋯(10 分)因为,所以,即O 到平面ABC 的距离为.(另外用等体积法亦可)⋯(12 分)10.直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,若∠ BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1 与B1C 所成角的余弦值为(A.0 B.C.。
法(一)—证明平行与垂直实战演练理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第44讲立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直实战演练理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方法(一)-证明平行与垂直实战演练理1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( C )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴错误!=(-1,0,-2),错误!=(1,-1,-2),∴cos〈错误!,错误!〉=错误!=错误!=错误!=错误!.故选C.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足M错误!=λ错误!的实数λ的个数是( B )A.1 B.2C.3 D.4解析:建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为错误!,又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴x Q+y Q=3,∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1。
高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.18 1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,点N 在AC 上且CN=3AN ,点M ,P ,Q 分别是AA 1,A 1B 1,BC 的中点.求证:直线PQ ∥平面BMN. 2.如图,在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别是棱B 1C 1,BB 1,C 1D 1的中点,是否存在过点E ,M 且与平面A 1FC 平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由..3.在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,O 分别是1,A B BD 的中点的中点..(1)求证://OM 平面11AA D D ; (2)求证:1OM BC ^.4.如图,AB 为圆O 的直径,点,E F 在圆O 上,且//AB EF ,矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直,且1,2AD EF AF AB ====. (1)求证:平面AFC ^平面CBF ;(2)在线段CF 上是否存在了点M ,使得//OM 平面ADF ?并说明理由. 5.已知:正三棱柱111ABC A B C -中,13AA =,2AB =,N 为棱AB 的中点.的中点. (1)求证:1AC 平面1NB C .(2)求证:平面1CNB ^平面11ABB A . (3)求四棱锥111C ANB A -的体积.的体积.6.已知△BCD 中,∠BCD=90°,中,∠BCD=90°,BC=CD=1BC=CD=1BC=CD=1,AB⊥平面,AB⊥平面BCD BCD,∠ADB=60°,,∠ADB=60°,,∠ADB=60°,E E 、F 分别是AC AC、、AD 上的动点,且(01).AE AFAC ADl l ==<< (1)求证:不论l 为何值,总有平面BEF⊥平面ABC ABC;; (2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD ? ACD ?7.如图,在菱形A B C D 中,60,A B C A CÐ=与BD 相交于点O ,AE ^平面A B C D ,//,2CF AE AB AE ==.(I )求证:BD ^平面ACFE ;(II II)当直线)当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为1010时,求证:EF BE ^;(III III)在()在()在(II II II)的条件下,求异面直线)的条件下,求异面直线OF 与DE 所成的余弦值所成的余弦值..8.如图,四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,24AD BC ==,23AB =,090BAD Ð=,,M O 分别为CD 和AC 的中点,PO ^平面ABCD .(1)求证:平面PBM ^平面PAC ;(2)是否存在线段PM 上一点N ,使用//ON 平面PAB ,若存在,求PNPM的值;如果不存在,说明理由的值;如果不存在,说明理由..9.如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是边长为2的菱形,60,BAD N Ð=°是PB 的中点,过,,A D N 三点的平面交PC 于M ,E 为AD 的中点,求证:的中点,求证:(1)//EN 平面PDC ; (2)BC ^平面PEB ; (3)平面PBC ^平面ADMN .10.如图,四棱锥P ABCD -中,PD ^平面PAB , AD //BC ,12BC CD AD ==,E ,F 分别为线段AD ,PD 的中点的中点.. (Ⅰ)求证:CE ////平面平面PAB ; (Ⅱ)求证:PD ^平面CEF ;(Ⅲ)写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比的体积之比..(结论不要求证明)M 是PC 的中点的中点..(Ⅰ)求证:PA 平面BDM ;(Ⅱ)求证:平面PAC ^平面BDM ;(Ⅲ)求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小的所成角的大小..12.在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为菱形,侧面ABE 为等边三角形,且侧面ABE ^底面BCDE ,O ,F 分别为BE ,DE 的中点. (Ⅰ)求证:AO CD ^. (Ⅱ)求证:平面AOF ^平面ACE . (Ⅲ)侧棱AC 上是否存在点P ,使得BP 平面AOF ?若存在,求出APPC的值;若不存在,请说明理由. 1313.在四棱锥.在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ^底面ABCD ,PD CD ^,E 为PC 中点,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,90ADC Ð=,1AB AD PD ===,2CD =.(1)求证://BE 平面PAD ; (2)求证:BC ^平面PBD ;(3)在线段PC 上是否存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45?若存在?若存在,,求PQ PC的值;若不存在,请述明理由.述明理由.参考答案1.见解析.见解析【解析】试题分析:根据题目给出的P ,Q 分别是A 1B 1,BC 的中点,想到取AB 的中点G ,连接PG PG,,QG 后分别交BM BM,,BN 于点E ,F ,根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出,根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GF FQ =13,从而得到EF EF∥∥PQ PQ,然后利用线面平行的判定即可得证;,然后利用线面平行的判定即可得证;,然后利用线面平行的判定即可得证; 试题解析:试题解析:如图,如图,如图,取取AB 中点G ,连接PG PG,,QG 分别交BM BM,,BN 于点E ,F ,则E ,F 分别为BM BM,,BN 的中点的中点..而GE∥12AM ,GE=12AM ,GF ∥12AN ,GF=12AN AN,且,且CN=3AN CN=3AN,所以,所以GE EP =13,GF FQ =AN NC =13,所以GE EP =GF FQ =13,所以EF∥PQ,又EF ⊂平面BMN BMN,,PQ ⊄平面BMN BMN,所以,所以PQ∥平面BMN.BMN.2.详见解析.详见解析..【解析】试题分析【解析】试题分析: : : 由正方体的特征及由正方体的特征及N 为BB 1的中点,可知平面A 1FC 与直线DD 1相交,且交点为DD 1的中点G .若过M ,E 的平面α与平面A 1FCG 平行,注意到EM ∥B 1D 1∥FG ,则平面α必与CC 1相交于点N ,结合M ,E 为棱C 1D 1,B 1C 1的中点,易知C 1N ∶C 1C =14.于是平面EMN 满足要求.满足要求. 试题解析试题解析::如图,设N 是棱C 1C 上的一点,且C 1N =C 1C 时,平面EMN 过点E ,M 且与平面A 1FC 平行.平行.证明如下:设H 为棱C 1C 的中点,连接B 1H ,D 1H . ∵C 1N =C 1C , ∴C 1N =C 1H . 又E 为B 1C 1的中点,的中点, ∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H , ∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ,CF ⊂平面A 1FC , ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ,D 1H ∥A 1F , ∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ,A 1F ⊂平面A 1FC , ∴MN ∥平面A 1FC . 又EN ∩MN =N , ∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛点睛::本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,,属于中档题属于中档题..直线和平面平行的判定定理定理::平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行; ; ; 平面与平面平行的判定定理:平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行,则这两个平面平行.个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行,则这两个平面平行. 3.(1)见解析()见解析(22)见解析)见解析【解析】试题分析:(1)连接1A D ,1AD ,由M O ,分别是1A B ,BD 的中点可证OM ∥1A D ,即可证明OM ∥平面11AA D D ;(2)由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形,即可证1AD ∥1BC ,再根据11AD AD ^即可证明1OM BC ^. 试题解析:试题解析:(1)连接1A D ,1AD ,因为M O ,分别是1A B ,BD 的中点,的中点, 所以OM ∥1A D ,且1A D Ì平面11AA D D ,所以OM ∥平面11AA D D(2)由题意11D C ∥AB 且11D C AB =,所以11D C BA 为平行四边形,所以1AD ∥1BC , 由(Ⅰ)OM ∥1A D ,且11A D AD ^,所以1OM BC ^4.(1)证明见解析;(2)存在,见解析;)存在,见解析;【解析】试题分析:(1)要证明平面AFC ^平面CBF ,只需证AF ^平面CBF ,则只需证AF CB ^, AF BF ^,再根据题目条件分别证明即可;(2)首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ,作辅助线,通过//OM AN ,由线面平行的判定定理,证明//OM 平面ADF 。
高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.181.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,点N 在AC 上且CN=3AN ,点M ,P ,Q 分别是AA 1,A 1B 1,BC 的中点.求证:直线PQ ∥平面BMN.2.如图,在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别是棱B 1C 1,BB 1,C 1D 1的中点,是否存在过点E ,M 且与平面A 1FC 平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由.3.在正方体1111ABCD A B C D -中, M , O 分别是1,A B BD 的中点.(1)求证: //OM 平面11AA D D ; (2)求证: 1OM BC ⊥.4.如图, AB 为圆O 的直径,点,E F 在圆O 上,且//AB EF ,矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直,且1,2AD EF AF AB ====.(1)求证:平面AFC ⊥平面CBF ;(2)在线段CF 上是否存在了点M ,使得//OM 平面ADF ?并说明理由.5.已知:正三棱柱111ABC A B C -中, 13AA =, 2AB =, N 为棱AB 的中点. (1)求证: 1AC P 平面1NB C . (2)求证:平面1CNB ⊥平面11ABB A . (3)求四棱锥111C ANB A -的体积.6.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD ,∠ADB=60°,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且(01).AE AFAC ADλλ==<< (1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC ; (2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD ?7.如图,在菱形ABCD 中, 60,ABC AC ∠=o与BD 相交于点O , AE ⊥平面ABCD ,//,2CF AE AB AE ==.(I )求证: BD ⊥平面ACFE ;(II )当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为10时,求证: EF BE ⊥; (III )在(II )的条件下,求异面直线OF 与DE 所成的余弦值.8.如图,四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,24AD BC ==,23AB =,090BAD ∠=,,M O 分别为CD 和AC 的中点,PO ⊥平面ABCD .(1)求证:平面PBM ⊥平面PAC ;(2)是否存在线段PM 上一点N ,使用//ON 平面PAB ,若存在,求PNPM的值;如果不存在,说明理由.9.如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是边长为2的菱形, 60,BAD N ∠=︒是PB 的中点,过,,A D N 三点的平面交PC 于M , E 为AD 的中点,求证:(1)//EN 平面PDC ; (2)BC ⊥平面PEB ;(3)平面PBC ⊥平面ADMN .10.如图,四棱锥P ABCD -中, PD ⊥平面PAB , AD // BC ,12BC CD AD ==, E , F 分别为线段AD , PD 的中点. (Ⅰ)求证: CE //平面PAB ; (Ⅱ)求证: PD ⊥平面CEF ;(Ⅲ)写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.(结论不要求证明)11.如图,点P 是菱形ABCD 所在平面外一点, 60BAD ∠=︒, PCD V 是等边三角形, 2AB =,22PA =, M 是PC 的中点.(Ⅰ)求证: PA P 平面BDM ;(Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDM ;(Ⅲ)求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小.12.在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为菱形,侧面ABE 为等边三角形,且侧面ABE ⊥底面BCDE , O , F 分别为BE , DE 的中点. (Ⅰ)求证: AO CD ⊥.(Ⅱ)求证:平面AOF ⊥平面ACE .(Ⅲ)侧棱AC 上是否存在点P ,使得BP P 平面AOF ?若存在,求出APPC的值;若不存在,请说明理由.13.在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=o,1AB AD PD ===,2CD =.(1)求证://BE 平面PAD ; (2)求证:BC ⊥平面PBD ;(3)在线段PC 上是否存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45o?若存在,求PQ PC的值;若不存在,请述明理由.ABCDEP参考答案1.见解析【解析】试题分析:根据题目给出的P,Q分别是A1B1,BC的中点,想到取AB的中点G,连接PG,QG后分别交BM,BN于点E,F,根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GFFQ=13,从而得到EF∥PQ,然后利用线面平行的判定即可得证;试题解析:如图,取AB中点G,连接PG,QG分别交BM,BN于点E,F,则E,F分别为BM,BN的中点.而GE∥1 2AM,GE=12AM,GF∥12AN,GF=12AN,且CN=3AN,所以GEEP=13,GFFQ=ANNC=13,所以GEEP=GFFQ=13,所以EF∥PQ,又EF⊂平面BMN,PQ⊄平面BMN,所以PQ∥平面BMN.2.详见解析.【解析】试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点,可知平面A1FC与直线DD1相交,且交点为DD1的中点G.若过M,E的平面α与平面A1FCG平行,注意到EM∥B1D1∥FG,则平面α必与CC1相交于点N,结合M,E为棱C1D1,B1C1的中点,易知C1N∶C1C=14.于是平面EMN满足要求.试题解析:如图,设N是棱C1C上的一点,且C1N=C1C时,平面EMN过点E,M且与平面A1FC平行.证明如下:设H为棱C1C的中点,连接B1H,D1H.∵C1N=C1C,∴C1N=C1H.又E为B1C1的中点,∴EN∥B1H.又CF∥B1H,∴EN∥CF.又EN ⊄平面A 1FC ,CF ⊂平面A 1FC , ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ,D 1H ∥A 1F , ∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ,A 1F ⊂平面A 1FC , ∴MN ∥平面A 1FC . 又EN ∩MN =N , ∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛:本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; 平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行,则这两个平面平行. 3.(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析:(1)连接1A D , 1AD ,由M O ,分别是1A B , BD 的中点可证OM ∥1A D ,即可证明OM ∥平面11AA D D ;(2)由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形,即可证1AD ∥1BC ,再根据11A D AD ⊥即可证明1OM BC ⊥. 试题解析:(1)连接1A D , 1AD ,因为M O ,分别是1A B , BD 的中点, 所以OM ∥1A D ,且1A D ⊂平面11AA D D , 所以OM ∥平面11AA D D(2)由题意11D C ∥AB 且11D C AB =,所以11D C BA 为平行四边形,所以1AD ∥1BC , 由(Ⅰ)OM ∥1A D ,且11A D AD ⊥,所以1OM BC ⊥4.(1)证明见解析;(2)存在,见解析;【解析】试题分析:(1)要证明平面AFC ⊥平面CBF ,只需证AF ⊥平面CBF ,则只需证AF CB ⊥, AF BF ⊥,再根据题目条件分别证明即可;(2)首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ,作辅助线,通过//OM AN ,由线面平行的判定定理,证明//OM 平面ADF 。
试题解析:解:(1)因为平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥, 平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,所以CB ⊥平面ABEF , 因为AF ⊂平面ABEF ,所以AF CB ⊥, 又AB 为圆O 的直径,所以AF BF ⊥,因为CB BF B ⋂=,所以AF ⊥平面CBF ,因为AF ⊂平面AFC ,所以平面AFC ⊥平面CBF .(2)如图,取CF 的中点,M DF 的中点NA ,连接,,N MN OM ,则1//,2MN CD MN CD =, 又1//,2AO CD AO CD =,所以//,MN AO MN AO =,所以四边形MNAO 为平行四边形, 所以//OM AN ,又AN ⊂平面,DAF OM ⊄平面DAF ,所以//OM 平面DAF ,即存在一点M 为CF 的中点,使得//OM 平面DAF .5.(1)见解析;(2)见解析;(3. 【解析】试题分析:(1)要证线面平行,就是要证线线平行,考虑过直线1AC 的平面1AC B 与平面1CB N 的交线ON (其中O 是1BC 与1B C 的交点),而由中位线定理易得1//AC ON ,从而得线面平行;(2)由于ABC ∆是正三角形,因此有CN AB ⊥,从而只要再证CN 与平面11ABB A 内另一条直线垂直即可,这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到,从而得线面垂直,于是有面面垂直;(3)要求四棱锥的体积,由正三棱柱的性质知111A B C ∆中,边11A B 的高就是四棱锥的高,再求得四边形11ANB A 的面积,即可得体积.试题解析:(1)证明:连接1BC ,交1B C 于O 点,连接NO , ∵在1ABC V 中,N , O 分别是AB , 1BC 中点,∴1NO AC P , ∵NO ⊂平面1NCB ,1AC ⊄平面1NCB ,∴1AC P 平面1NCB ,(2)证明:∵在等边ABC V 中, N 是棱AB 中点, ∴CN AB ⊥,又∵在正三棱柱中,1BB ⊥平面ABC ,CN ⊂平面ABC ,∴1BB CN ⊥, ∵1AB BB B ⋂=点,AB , 1BB ⊂平面11ABB A ,∴CN ⊥平面11ABB A , ∵CN ⊂平面1CNB , ∴平面1CNB ⊥平面11ABB A . (3)作111C D A B ⊥于D 点, ∴1C D 是四棱锥111C ANB A -高,1tan602h AB =︒=, 底面积19323122S =⨯-⨯⨯=,11113C ANB A V Sh -==.【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 6.(1)见解析(2)λ=67【解析】(1)证明:∵AB ⊥平面BCD ,∴AB ⊥CD. ∵CD ⊥BC ,且AB∩BC =B ,∴CD ⊥平面ABC. ∵AE AFAC AD==λ(0<λ<1), ∴不论λ为何值,恒有EF ∥CD. ∴EF ⊥平面ABC ,EF ⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解:由(1)知,BE ⊥EF ,∵平面BEF ⊥平面ACD ,∴BE ⊥平面ACD.∴BE ⊥AC. ∵BC =CD =1,∠BCD =90°,∠ADB =60°,∴BD ,AB .∴AC .由AB 2=AE·AC ,得AE∴λ=AE AC =67.故当λ=67时,平面BEF ⊥平面ACD7.(I )见解析;(II )见解析;(III 【解析】试题分析:(I )要证BD 与平面ACFE 垂直,只要证BD 与平面ACFE 内两条相交直线垂直即可,这由已知线面垂直可得一个,又由菱形对角线垂直又得一个,由此可证;(II )由已知线面垂直得FC ⊥平面ACFE ,从而知FOC ∠为直线FO 与平面ACFE 所成的角,从而可得,FC FO ,然后计算出三线段,,EF BE BF 的长,由勾股定理逆定理可得垂直;(III )取BE 中点M ,则有//MO DE ,从而可得异面直线所成的角,再解相应三角形可得. 试题解析:(I )BD ⊥平面ACFE {BD AC ABCDBD AE AE ABCD⊥⇐⇐⊥⇐⊥菱形平面;(II )FC ⊥平面ABCD ⇒直线FC 与平面ABCD 所成的角10cos 10FOC FOC ∠⇒∠=而且Rt FOC ∆中, 110,3CO FO FC =⇒==,过E 作//EN AC 交FC 于点N Rt FNE ⇒∆中5,EF Rt FCB =∆中13,FB Rt EAB =∆中2228EB EF EB FB EF EB =⇒+=⇒⊥;(III )取BE 边的中点M ,连接,//MO MO DE ⇒且122MO DE FOM ==⇒∠为所求的角或其补角,而在Rt FEM ∆中, 227FM EF EM Rt FOM =+=⇒∆中2225cos 2FO MO FM FOM FO MO +-∠==⋅⇒异面直线OF 与DE 所成的余弦值为5. 8.(1)证明见解析;(2)13λ=. 【解析】试题分析:(1)以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,可得(3,3,0)BM =-u u u u r ,(23,2,0)AC =u u u r,0BM AC ⋅=u u u u r u u u r,BM AC ⊥又BM PO ⊥得BM ⊥平面PAC ,进而得结论;(2)设OP h =,可得平面PAB的一个法向量为(0,,1)n h =-r,再根据20ON n h h h λλ⋅=-+-=u u u r r 可解得λ.试题解析:(1)如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,(23,0,0)B ,(23,2,0)C ,(0,4,0)D ,所以CD 中点(3,3)M ,则(3,3,0)BM =-u u u u r ,(23,2,0)AC =u u u r ,则(3)(23)320BM AC ⋅=-⨯+⨯=u u u u r u u u r,所以BM AC ⊥.又PO ⊥平面ABCD ,所以BM PO ⊥,由AC PO O =I , 所以BM ⊥平面PAC ,又BM ⊂平面PBM ,所以平面PBM ⊥平面PAC .(2)法一:设OP h =,则3,1,0)O ,3,1,)P h ,则(0,2,)PM h =-u u u u r,设平面PAB 的一个法向量为000(,,)n x y z =r ,(3,1,)APh =u u u r ,(2,0,0)AB =u u u r ,所以00n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ,则00003020x y hz x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩,令01z =, 得(0,,1)n h =-r ,设(0,2,)PN PM h λλλ==-u u u r u u u u r (01)λ≤≤,则(0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-u u u r u u u r u u u r ,若//ON 平面PAB ,则20ON n h h h λλ⋅=-+-=u u u r r ,解得13λ=. 法二:(略解):连接MO 延长与AB 交于点E ,连接PE ,若存在//ON 平面PAB ,则//ON PE ,证明13OE EM =即可.考点:1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直;2、利用空间向量研究线面平行.9.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析:(1)先证明四边形EDMN 是平行四边形,得,EN DM DM ⊂P 平面PDC ,进而可得结论;(2)先由面面垂直的性质可得PE BC ⊥,再证BE AD ⊥ ,由AD BC P 可得BE BC ⊥ ,可得BC ⊥ 平面PEB ;(3)由(2)可得PB MN ⊥ ,由等腰三角形性质得PB AN ⊥,进而由面面垂直的判定定理得结论.试题解析:(1)//,AD BC AD ⊂Q ,ADMN BC ⊄平面,ADMN//BC ∴平面,ADMNMN =Q 平面ADMN ⋂平面,PBC BC ⊂平面PBC ,//,BC MN ∴又因//,AD BC//,//AD MN ED MN ∴∴,N Q 是PB 的中点, E 是AD 的中点,底面ABCD 是边长为2的菱形, 1,ED MN ∴==∴四边形EDMN 是平行四边形,//,EN DM DM ∴⊂平面,PDC//EN ∴平面PDC ;(2)Q 侧面PAD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直, E 为AD 的中点,,,,PE AD PE EB PE BC ∴⊥⊥⊥60,2,1,BAD AB AE ∠=︒==Q由余弦定理可得BE =,由正弦定理可得: BE AD ⊥∴由//AD BC 可得,BE BC ⊥,BE PE E ⋂=QBC ∴⊥平面PEB ;(3) Q 由(2)知BC ⊥平面PEB , EN ⊂平面PEB,BC EN ∴⊥,,PB BC PB AD ⊥⊥Q,PB MN ∴⊥2,AP AB N ==Q 是PB 的中点,,PB AN ∴⊥,? MN AN N PB ∴⋂=∴⊥平面ADMN .P BC ∴⊥平面平面ADMN .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.10.(1)见解析(2)见解析(3)14D CEF P ABD V V --= 【解析】试题分析:(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,在四边形ABCD 中,由已知可得AE 与BC 平行且相等,从而得平行四边形,因此有//CE AB ,因可得线面平行;(Ⅱ)要证PD 与平面CEF 垂直,就要证PD 与此平面内两条相交直线垂直,而已知PD 与平面PAB 垂直,因此PD 与平面PAB 内所有直线垂直,现在已有//CE AB ,因此有PD CE ⊥,再有, ,E F 是所在线段中点,因此有//EF PA ,从而也可得PD EF ⊥,这样可得题设线面垂直;(Ⅲ)都改为以D 为顶点,则底面积比为12,高的比也是12,因此体积比为14. 试题解析:(Ⅰ)证明:因为BC // AD , 12BC AD =, E 为线段AD 的中点,所以AE // BC 且AE BC =,所以四边形ABCE 为平行四边形,所以CE // AB ,又有AB ⊂平面PAB , CE ⊄平面PAB ,所以CE //平面PAB .(Ⅱ)证明:因为E , F 分别为线段AD , PD 中点,所以EF // PA ,又因为PD ⊥平面PAB , ,PA AB ⊂平面PAB ,所以PD ⊥ AB , PD PA ⊥;所以PD EF ⊥,又CE // AB ,所以PD CE ⊥因为EF CE E ⋂=,所以PD ⊥平面CEF .(III )结论: 14D CEF P ABD V V --=. 11.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)6π. 【解析】试题分析: (Ⅰ)要证明PA 与平面MDB 平行,只要找到一条平行线,由于M 是PC 中点, AC 与BD 的交点O 是AC 中点,则必有//MO PA ,从而有线面平行;(Ⅱ)要证面面垂直,就要证线面垂直,从图形中知BD AC ⊥,在MBD ∆,计算后可得BD MO ⊥,从而BO PA ⊥于是有线面垂直,从而得面面垂直;(Ⅲ)易证PC ⊥平面BDM ,从而知BM 为BC 在平面BDM 内的射影,因此CBM ∠就是直线BC 与平面BDM 所成的角,在CBM ∆中求解可得.试题解析:(Ⅰ)证明:连接MO .在菱形ABCD 中, O 为AC 中点,且点M 为PC 中点,所以//MO A ,又MO ⊂平面BDM , PA ⊄平面BDM .所以//PA 平面BDM(Ⅱ)证明:在等边三角形PCD V 中,2DC AB ==, M 是PC的中点,所以DM =在菱形ABCD 中, 60BAD ∠=︒, 2AB =,所以112DO BD ==.又MO =222DO MO DM +=,所以BD MO ⊥.在菱形ABCD 中, BD AC ⊥.又AC MO O ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面BDM ,所以平面PAC ⊥平面BDM .(Ⅲ)因为BD ⊥平面PAC , PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥又因为PD DC =, M 为PC 中点,所以DM PC ⊥又DM BD D ⋂=,所以PC ⊥平面BDM ,则BM 为直线BC 在平面BDM 内的射影,所以平面CBM ∠为直线BC 与平面BDM 的所成角因为2PC =,所以1CM =,在Rt CBM V 中, 1sin 2CM CBM BC ∠==,所以6CBM π∠= 所以直线BC 与平面BDM 的所成角为6π. 12.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)侧棱AC 上存在点P ,使得BP P 平面AOF ,且12AP PC =. 【解析】试题分析:(1)要证1A O CE ⊥,只需证明1A O ⊥平面BCDE 即可;(2)连结BD ,因为四边形BCDE 为菱形,所以CE BD ⊥,因为,O F 分别为,BE DE 的中点,所以//OF BD ,且CE OF ⊥,由(1)知AO ⊥平面BCDE ,进而证得CE ⊥平面AOF ,从而证的平面AOF ⊥平面ACE ;(3)设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N 连结,AN PM ,因为四边形BCDE 为菱形, ,O F 分别为,BE DE 的中点,所以12NM MC =,设P 为AC 上靠近A 点三等分点,则12AP NM PC MC ==,所以//PM AN ,进而得到//BP 平面AOF . 试题解析:解:(1)因为ABE ∆为等边三角形, O 为BE 的中点,所以AO BE ⊥又因为平面ABE ⊥平面BCDE ,平面ABE ⋂平面BCDE BE =, AO ⊂平面ABE ,所以AO ⊥平面BCDE ,又因为CD ⊂平面BCDE ,所以AO CD ⊥.(2)连结BD ,因为四边形BCDE 为菱形,所以CE BD ⊥,因为,O F 分别为,BE DE 的中点,所以,OF BD CE OF ∴⊥P ,由(1)知AO ⊥平面BCDE ,CE ⊂Q 平面BCDE ,,,AO CE AO OF O CE ∴⊥⋂=∴⊥Q 平面AOF ,又因为CE ⊂平面ACE ,所以平面AOF ⊥平面ACE .(3)当点P 为AC 上的三等分点(靠近A 点)时, BP P 平面AOF .证明如下:设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N 连结,AN PM .因为四边形BCDE 为菱形,,O F 分别为,BE DE 的中点,所以12NM MC =,设P 为AC 上靠近A 点三等分点, 则12AP NM PC MC ==,所以PM AN P ,因为AN ⊂平面,AOF PM ⊄平面 ,AOF PM ∴P 平面AOF .由于,BD OF OF ⊂P 平面,AOF BD ⊄平面,AOF BD ∴P 平面AOF ,即BM P 平面AOF , BM PM M ⋂=Q ,所以平面BMP P 平面AOF ,BP ⊂Q 平面,BMP BP ∴P 平面AOF .可见侧棱AC 上存在点P ,使得BP P 平面AOF , 且12AP PC =.考点:直线与平面垂直的判定与证明;探索性问题的求解.13.(1)见解析;(2)见解析;(3)存在,且1PQPC =.【解析】试题分析:(1)要证线面平行,就要证线线平行,由线面平行的性质定理知,这条平行线是过直线BE 的平面ABE 到平面PAD 的交线,由于E 是中点,2DC AB =,因此辅助线作法易知,只要取PD 中点F ,AF 就是要找的平行线;(2)要证线面垂直,就是要证线线垂直,由已知易得BC PD ⊥,因此还要证BC BD ⊥(或者BC PB ⊥),这在ΔBCD 中由勾股定理可证;(3)求二面角问题,可通过参阅空间直角坐标系用空间向量法求解,即以,,DA DC DP 为坐标轴建立坐标系,写出各点坐标,并设设PQ PC λ=u u u r u u u r,(0,1)λ∈,所以(0,2,1)Q λλ-,求出两平面QBD ,PBD 的法向量,由法向量的夹角与二面角相等或互补可得. 试题解析:(1)取PD 的中点F ,连结,EF AF ,因为E 为PC 中点,所以//EF CD , 且112EF CD ==,在梯形ABCD 中,//AB CD ,1AB =, 所以//EF AB ,EF AB =,四边形ABEF 为平行四边形,所以//BE AF ,因为BE ⊄平面PAD ,AF ⊂平面PAD ,所以//BE 平面PAD .(2)平面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,所以PD ⊥平面ABCD , 所以PD AD ⊥.如图,以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,0)BC =-u u u r ,所以0BC DB ⋅=u u u r u u u r ,BC DB ⊥,又由PD ⊥平面ABCD ,可得PD BC ⊥,因为PD BD D ⋂=所以BC ⊥平面PBD .(3)平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-u u u r,(0,2,1)PC =-u u u r ,设PQ PC λ=u u u r u u u r ,(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-,设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =,(1,1,0)DB =u u u r ,(0,2,1)DQ λλ=-u u u r ,由0DB ⋅=u u u r n ,0DQ ⋅=u u u r n ,得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩, 令1b =所以2(1,1,)1λλ--n =, 所以cos 45BC BC ⋅===o u u u r u u u r n n注意到(0,1)λ∈,得1λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45o ,此时1PQPC =考点:线面平行的判断,线面垂直的判断,二面角.。