确定磁场最小面积的方法
电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。
一、几何法
例1. 一质量为m电荷量为+q的粒子以速度巾，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度
为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，
试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）c点到b点的距离。
解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd,交y轴于d,由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律
有：
2
也心二
应①
解得,r"
过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图则Oa应为磁
场区域的直径，由几何关系知：
2所示：要使磁场的区域有最小面积,
-=cos3O0
应③
由②③得」
所以圆形匀强磁场的最小面积为：
出_ 3_
z 4『於
（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动
的合成知识有：
s• cos30* =丄皿彳
⑤
S- --------- --
联立④⑤⑥解得’…
二、参数方法
例2.在xOy平面内有许多电子（质量为m电荷量为e），从坐标原点0不断地以相同的
速率•沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于.平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。
求符合该条件磁场的最小面积。
图3
解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点0沿任意方向射入第一象限时，先考察速
子沿圆弧OCP!动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度"时，作出轨迹图4，当电子达到磁场
边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为；f' ' ■ '1，由图4可知:
可以看出随着夕的变化，S的轨迹是圆心为（0, R）,半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。
上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形
面积减去等腰直角三角形面积的2倍。
度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为
的圆。该电「-厂，消去参数•'一得:
图4
图5
带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析
近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如
运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。
一、磁场范围为圆形
例1 一质量为霍、带电量为:的粒子以速度’:从0点沿轴正方向射入磁感强度为J 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从I处穿过.1轴，
速度方向与：轴正向夹角为30°,如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达「点所经历的时间；
（3）「■点的坐标。
解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由O点经半个圆周偏转到一：点，其必在圆周运动
不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到匚点。可知，其离开磁场时的临界点与O点都
在圆周上，至恫心的距离必相等。如图2,过〕点逆着速度：的方向作虚线，与「轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于:.轴上，距O点距离和到虚线上点
垂直距离相等的「1点即为圆周运动的圆心，圆的半径
R-oo } =恥
要使圆形磁场区域面积最小，半径应为
•的一半，即：
-,
(2)粒子运动的圆心角为 1200，时间
点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临 界点速度垂线的交点上且圆
心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的 直径等于粒子运动轨迹的弦长。
二、磁场范围为矩形 例2如图3所示，直角坐标系⑴第一象限的区域存在沿 轴正方向的匀强电场。现
—£
v
有一质量为匸，电量为:的电子从第一象限的某点 J (二，［)以初速度沿：轴的 负方向开始运动，经过 丄轴上的点(■，0)进入第四象限，先做匀速直线运动然后进 入垂直纸面的矩形匀强磁场区
域，磁场左边界和上边界分别与
「轴、：轴重合，电子偏
转后恰好经过坐标原点O ,并沿「轴的正方向运动，不计电子的重力。求 (1 )电子经过/点的速度：；
(2)该匀强磁场的磁感应强度 -和磁场的最小面积--。
-，得 叮。弦长眾为,
(3)二距离 I 二，故：点的坐标为(汹:
，0)。
解析：(1)电子从「点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到/点，可知竖直方向:
占「1 2 3 ,
y = 1L =—皿x —_X =Vf£
8 2 ,水平方向： 4 。
4屁羽
[=------ 齐=加=■—v o n
解得、。而- ，所以电子经过厂
二迟血=工
3 ，设V与-X方向的夹角为B,可知％
300。
(2)如图4，电子以与；成30°进入第四象限后先沿：一'工做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿「轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心
- '一定在X轴上，且一点到O点的距离与到直线：一‘匸上M点(M点即为磁场的边界点) 的垂直距离相等，找出01点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO所以磁场的右边界和下边界就确定了。
y E
H * i i 1 i
N B 图4
evB = m —
设偏转半径为--, ,由图知OQ = 直纸
面向里。
—R 二一L3(14 -・
矩形磁场的长度- :，宽度•.
矩形磁场的最小面积为：-
点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例键要注意矩形
磁场边界的确定。
、磁场范围为三角形
例3如图5, 一个质量为1■，带' 电量的粒子在
飞入正三角形ABC为了使该粒子能在AC边上的N点(CM= CN＞垂
真于AC边飞出ABC 可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感
点时的速度为：
，所以B = v=
■-=二，解得一：_ ，方向垂
1中运动的逆过程，解题思路相似，关
BC边上的M点以速度「垂直于BC边
