[习题解答]
1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。
解汽车行驶的总路程为
；
汽车的总位移的大小为
∆r =
位移的方向沿东北方向，与方向一致。
1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问与在一般情况下是否相等？为什么？
解与在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。
1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的单位分别是m和s。求：
(1)第二秒内的平均速度；
(2)第三秒末和第四秒末的速度；
(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度
m⋅s-1；
(2)第三秒末的速度
因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为
v3 = - 18 m⋅s-1；
用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为
v4 = - 48 m⋅s-1；
(3)第三秒末的加速度
因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为
a3 = - 24 m⋅s-2；
用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为
v4 = - 36 m⋅s-2 .
1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为和，试证明：
(1) v d v = a d s；
(2)当a为常量时，式v 2 = v02 + 2a (s-s0 )成立。
解
(1)
；
(2)对上式积分，等号左边为
,
等号右边为
,
于是得
,
即
.
1-7 质点沿直线运动，在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式：s = (t-1)2 (t -2)，s和t的单位分别是m和s。求：
(1)当质点经过O点时的速度和加速度；
(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离；
(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离；
(4)当质点的速度为12 m⋅s-1 时它的加速度。
解：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。
(1)质点经过O点时，即s = 0，由式
,
可以解得
t = 1.0 s，t = 2.0 s .
当t = 1 s时，
.
当t = 2 s时，
v = 1.0 m⋅s-2，a = 4.0m⋅s-2 .
(2)质点的速度为零，即
上式可化为
,
解得
t = 1.0 s和t = 1.7 s .
当t = 1 s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0 m；当t = 5/3 s时，质点离开O点的距离为-0.15m 。
(3)质点的加速度为零，即
,
上式可化为
3t-4=0 ,
解得
t = 1.3 s .
这时离开O点的距离为-0.074m。
(4)质点的速度为12 m⋅s-1，即
,
由此解得
将t值代入加速度的表示式
,
求得的加速度分别为
a = 12.4 m⋅s-2和a = - 12.2 m⋅s-2 .
1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a = -Cv2，C是常量。若t = 0时质点的速度为v0 ，并处于s0 的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。
解以t = 0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。因为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。
,
于是有
.
两边分别积分，得
.
因为t0 = 0，所以上是变为
,
即
, (1)
上式就是任意时刻质点的速度表达式。因为
，d x = v d t ,
将式(1)代入上式，得
,
两边分别积分，得
.
于是，任意时刻质点的位置表达式为
.
1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0 ，质点出发后每经过 时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后质点的速度和加速度。
解可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意，质点运动的加速度应该表示为
.
由速度公式
可以求得经过t时间质点的速度
.
另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移
.
1-10 质点沿直线y = 2x + 1 m 运动，某时刻位于x1 = 1.51 m处，经过了1.20 s到达x2 = 3.15 m处。求质点在此过程中的平均速度。
解根据定义，平均速度应表示为
,
其中
.
由已知条件找出∆x和∆y，就可以求得平均速度。
.
根据直线方程y = 2x + 1，可求得
y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m，y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m .
所以
.
平均速度为
.
也可以用下面的方式表示
；
与x轴的夹角为
.
1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5+t 2 ，y = 3+5t-t 2 ，z = 1+2t 2, 求第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位分别是米和秒。
解已知质点运动轨道的参量方程为
.
质点任意时刻的速度和加速度分别为
