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2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则A
B = ．
2．计算2
2231lim 41
n n n n n →∞-+=-+ ．
3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．
5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为
6．已知2
221
4x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩
，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7
．在6
x ⎛
⎝
的展开式中，常数项等于 ．
8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1
cos 4
C =
，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数1
2
y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．
11．在椭圆22
142
x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P
与2F Q 的夹角范围为 ．
12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A a
λ
∈，
则t 的值是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是
（ ） A ．2x
y =
B ．1
2
y x = C ．tan y x =
D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线
a b c 、、不可能满足以下哪种关系
（ ） A ．两两垂直
B ．两两平行
C ．两两相交
D ．两两异面
16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，
且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的轨迹是
（ ） A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．如图，在正三棱锥P ABC -
中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------效---
-------------
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18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；
（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞
＜，求公比q 的取值范围．
19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占
比的变化趋势：
（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数
6.44200.1136357876.6053
()1t
f t e -=
+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物
线的交点，定义：||
()||
PF d P FQ =．
（1）当81,3P ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭时，求()d P ；
（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；
（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，
且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．
21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合
{}*|,n S x x b n N ==∈．
（1）若120,3
a d π
==，求集合S ； （2）若12
a π
=
，求d 使得集合S 恰好有两个元素；
（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可
能的值．
t
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数学答案解析
1.【答案】{3,5}
【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，
{356}B =，，，
{3,5}A B ∴=．
故答案为：{3,5}． 2．【答案】2
【解析】解：2
2
2
2
31
2231lim lim 241
411n n n n n n n n n n
→∞→∞-
+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-
【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．
4．
【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>
解得x
1()0)f x x -∴=>
故答案为1()0)f x x -∴=> 5．
【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，
||||z z ∴=
故答案为： 6．【答案】2-
【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，
∴可对①，得：442x y +=-．
再与②式比较，可得：2a =-．
故答案为：2-． 7．【答案】15
【解析】解：6
x ⎛ ⎝
展开式的通项为36
2
16r r
r T C x -+=令
39
02
r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2
6
15C =． 故答案为：15． 8．
【解析】解：3sin 2sin A B =，
∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，
1
cosC 4
=，
∴由余弦定理可得：222
1324232AB +--=⨯⨯，
∴
解得：AB
9．【答案】24
【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有3
3
424A =种， 故答案为：24．
10．
【解析】解：由题意得：
点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，
点坐标为a ⎛ ⎝，
11
||||23
AQ CP a +=，
当且仅当a =时，取最小值，
11．【答案】1arccos ,3ππ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，
椭圆22
142
x y
+=的焦点坐标为(，(，
2⨯P Q
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121F P F P ⋅，
2221x y ∴-+≤，
结合22
142x y +=
可得：2[1,2]y ∈
故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：
(22
21222122381cos 31,2
23F P F Q
y y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥
++⎣⎦⋅
故1arccos ,3θππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
故答案为：1arccos ,3ππ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
12．【答案】1或3-
【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t a
λ
∈++，
当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t a
λ
∈+，
即当a t =时，9t a
λ
+；当9a t =+时，
t a
λ
，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，
4t a
λ
+，当4a t =+时，
1t a
λ
+，即(1)(4)t t λ=++，
(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．
当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则
[,1]t t a
λ
∈+．
当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t a
λ
∈++，
即当a t =时，
1t a
λ
+，当1a t =+时，
t a
λ
，即(1)t t λ=+，
即当4a t =+时，
9t a
λ
+，当9a t =+时，
4t a
λ
+，即(
4)(9)t t λ=++，
(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．
当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．
13．【答案】B
【解析】解：A ，2x
y =的值域为(0,)+∞，故A 错
B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确
C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错
D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D
错
故选：B 14．【答案】C
【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，
∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，
故选：C 15．【答案】B
【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；
t
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如图3，可得,,a b c 可能两两异面；
故选：B 16．【答案】A
【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，
同理可得2
2
212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，
则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则
12
11
2a a +=， 设12
11x a y a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则2x y +=为直线，
故选：A
17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △
中，由2,
PA PC AC ===
可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅
AC ∴与MN
的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32
123
AN AO AN ==
=，．
PO ∴==
1133
3224
P ABC V -∴=⨯=．
18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，
2(1)
3422n n n S n n n -∴=+
⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，
lim n n S →∞
∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313
lim lim
11n n n n q S q
q
→∞
→∞
-∴==
--， 3121q ∴
<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304
q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫
-⋃ ⎪⎝⎭
．
19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增
多． （2）
6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，
6.44200.1136357876.6053
()1t
f t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e
->+，解得50.68t >，
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当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
20．【答案】解：（1）抛物线方程2
4y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，
8
4323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得1
4
Q x =，
抛物线的准线方程为1x =-
，可得103
PF =， 15
||144
QF =+=，||8()||3PF d P QF =
=； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联
立
1x my =+和
24y x
=，可得
2440
y my --=
，
2Q y m ==+，
2()||22P P Q y d P PF y -==
22=-=，
则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,
1,,1,P y P y P y ---，则
()()(
)132132242d P d p d P PF
P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦
=
由
(
)2
2
1
3
131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，
()()()()(2
2
2222
1
3
1
31313134444840y y y y
y y y y y y ++-+=+-=->，
则()()()1322d P d P d P +>．
21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集
合{}
*|,n S x x b n N ==∈．
当1
20,3
a d π==，
集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12
a π
=
，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}
*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，
如图：
根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个
元素，此时d π=，
②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对
称，如图OB ，OC ，此时2
3
d π=，
综上，23
d π=或者d π=．
（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．
②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者
42n n a d k a π+=-，
等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2
k d π
=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．
③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者
52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．
当1k =时，sin ,1,sin 10
10S π
π⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．
④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，
所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．
当1
k =
时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭
，满足题意．
⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者
72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =
∴∴∴
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当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有
2m n a a π-=，227
d m n ππ
=
=
-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有
2m n a a π-=，247
d m n ππ
=
=
-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有
2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ=
=-，或者467
d m n ππ
==
-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。
