人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 第二章 平面解析几何初步 归纳总结

P(x，5－3x)，则
d＝
|x－5＋3x－1| 12＋（－1）2
＝
2
，化简得|4x－6|＝2，即
4x－6＝±2，即 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1).
(2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 ， ∴mn≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4，
①当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，
5
，解得 n＝－18 或 n＝22.
故所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.
[答案] (1)C (2)2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0 或 2x－4y＋9＝0 或 2x－ 4y－11＝0
圆的方程
[例 4] (1)圆心在 y 轴上且通过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )
分别为________．
[解析] (1)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C(1，1)，半径 r＝1.根据 对称性可知四边形 PACB 的面积等于 2S△APC＝2×12 ×|PA|×r＝|PA|＝ |PC|2－r2 ＝
|PC|2－1 .要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心 C 到直线 l：3x－4y＋11＝0 的距离 d＝|3－342＋＋4121| ＝150 ＝2，所以四边形 PACB 面积的最小值
(2)由直线 l 与圆 C 相交可知，直线 l 的斜率必定存在，且不为 0，设直线 l 的方程为 k0x－y－k0＝0，圆心(3，4)到直线 l 的距离为 d，
因为|PQ|＝2 4－d2 ＝2 2 ，所以 d＝ 2 ， 即|3k0k－20 4＋－1k0| ＝ 2 ，解得 k0＝1 或 k0＝7， 所以所求直线 l 的方程为 x－y－1＝0 或 7x－y－7＝0.

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第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交的一种特殊情况,高考中对平行与垂直的考查是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种,在高考中单独考查的情况不多．：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2,则m的值为（）．应用1已知两直线lA．－1或3 B．－1C．3 D．0提示:利用两直线平行的条件求解．，应用2(2011·福建泉州模拟)若直线3x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N则n的值等于（)．A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论应用3已知圆C两圆的位置关系．提示：随着m取值的不同,也会影响两圆的位置关系，所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围．专题二对称问题对称问题是高考中常见的一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总的来说,就是关于点对称和关于直线对称这两类问题．应用1（2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b),(3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________；圆(x－2)2＋（y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为__________．提示：（1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可．应用2(2011·安徽安庆模拟）从点(2，3）射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2，3)．专题三用图示法解题用图示法解题，实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”,以“数”解“形”;本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析和求解,往往事半功倍．应用1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝错误!的交点的个数．提示：画出y＝4－x2的图象,注意等价变形．应用2设点P（x，y）在圆x2＋(y－1）2＝1上．（1）求错误!的最小值；（2）求错误!的最小值．提示：(1）错误!理解为动点（x,y）到定点（2，0）的距离即可；(2）错误!理解为动点（x,y)与定点（－1，－2）连线的斜率即可．应用3若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．提示:令x＋y＝b，则y＝－x＋b，问题即转化为求截距b的最小值问题．专题四轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形，在平面直角坐标系中，求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多的图形，研究一些与之相关的轨迹方程．应用1已知圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0,求长为2的弦中点的轨迹方程．提示：利用定义法，即动点的运动轨迹满足圆的定义，只需确定圆心和半径，直接写出圆的方程．应用2已知动圆P与定圆C:x2＋（y＋2)2＝1相外切，又与定直线l：y＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．提示:利用直接法,即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系,可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3已知圆C的方程为（x－2）2＋y2＝1，过点P(1，0）作圆C的任意弦，交圆C于另一点Q,求线段PQ的中点M的轨迹方程．提示：点M的运动受到点Q运动的牵制,而点Q在圆C上，故用“相关动点法”．真题放送1．(2011·四川高考）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．（2，3) B．(－2,3）C．(－2,－3） D．(2,－3）2．(2011·安徽高考）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（）．A．－1 B．1 C．3 D．－33．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（)．A．5错误! B．10错误!C．15 2 D．20错误!4．(2011·大纲全国高考）设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2｜＝（)．A．4 B．4错误! C．8 D．8错误!5．(2011·江西高考）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是（）．A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!∪错误!6．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直,则实数m＝________.7．（2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．8．（2011·湖北高考）过点（－1,－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为______．答案：综合应用专题一应用1:B ∵l1∥l2,∴1×3－m（m－2）＝0.∴m＝－1或3，经检验m＝－1适合．应用2：D 圆心(0，0）到直线的距离为d＝错误!＝2n－1。

一、选择题1．方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( )A ．a ＝－1B ．a ＝2C ．a ＝－2D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1.【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E 2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )．【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C 5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.【答案】 B二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.【解析】 由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －D 2＝2，－E 2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4.【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π.【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，圆心A 为(2，－1)由题意可知P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0三、解答题9．(1)求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程；(2)若x 2＋y 2＋(2λ－1)x ＋2λy ＋2λ2＝0表示圆，求λ的取值范围．【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20.解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.(2)因为方程x 2＋y 2＋(2λ－1)x ＋2λy ＋2λ2＝0表示圆，所以(2λ－1)2＋(2λ)2－8λ2>0，解得λ<14，即所求λ的取值范围为(－∞，14)．10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，则方程可化为：2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆． 11．如图2－3－1所示，已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．图2－3－1【解】 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)．由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3.①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4， ② 把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理，得(x －32)2＋(y －32)2＝1.所以，点M的轨迹是以(32，32)为圆心，半径长是1的圆.。

4 时，直线与圆相切； 3 4 当 d < 2，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 d > 2，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
法二：（代数法） 将 y = mx − m − 1 代入圆的方程，化简并整理，得
(1 + m 2 )x2 − 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
1. 当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出②表示以(− 圆心，
1 − − − − − − − − − − − − √D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆； 2 D E 2. 当D 2 + E 2 − 4F = 0 时，方程②只有实数解x = − ，y = − ，它表示一个点 2 2 D E (− , − )； 2 2 3. 当D 2 + E 2 − 4F < 0 时，方程②没有实数解，它不表示任何图形．
− − − − − − − − − −− − − − −
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⋯ ⋯ ①，若点M (x, y)在圆上，有上述可知，点M 的坐标适合方程 ①；反之，若点M (x, y)的坐标适合方程①，这说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上．我们把方程①称为以A(a, b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程（standard
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ． 光线从点 A(−1, 1) 发出，经过 x 轴反射到圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 上，则光线经过的 最短路程是______． 解：4 ． 点 A(−1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (−1, −1) ，圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ，半径为 1 ，所以光线经过的最短路程为

[辨析] 错解中忽略了两直线重合这一情况．
[正解] 当 a＝－4 时，l1：4x－3y＋3＝0 与 l2：4x＋2＝0 不平行，∴a≠－4.
∵l1∥l2，∴－3a＝a－＋44，∴a2＋4a－12＝0， ∴a＝2 或 a＝－6. 当 a＝－6 时，l1：－6x＋3y－3＝0，即 2x－y＋1＝0，l24x －2y＋2＝0，即 2x－y＋1＝0，此时 l1 与 l2 重合，∴a≠－6. 当 a＝2 时，l1：2x＋3y－3＝0，l2：4x＋6y＋2＝0，即 2x ＋3y＋1＝0，∴l1∥l2. 综上可知，a＝2.
[答案] 2x＋y＋5＝0 [解析] 设所求直线方程为2x＋y＋m＝0，又∵直线过点 (－1，－3)， ∴－2－3＋m＝0，∴m＝5， 故所求直线方程为2x＋y＋5＝0.
6．a为何值时，直线ax＋(1－a)y＋3＝0与(a－1)x＋(2a＋ 3)y－2＝0相交？平行？
[解析] 因为 A1B2－A2B1＝a(2a＋3)－(a－1)(1－a)＝3a2＋ a＋1＝3a＋162＋1112≠0.所以两直线对任意 a∈R 恒相交，不可 能平行．
[答案] D
[解析] 选项A、B、C中的直线与直线x＋y－1＝0平行，
选项D中的直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0相交．
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0
平行，则m的值为( )
A．－8
B．0
C．2
D．10
[答案] A
[解析] 由已知，得m4－＋m2＝－2，∴m＝－8.
(3)l1 与 l2 重合的条件：____A_1_＝__λA__2，__B__1＝__λ_B__2，_________ C__1＝__λ_C__2(_λ_≠_0_)____或______AA_12_＝__BB_12_＝__CC_12_(_A_2_B_2_C_2_≠__0_) ___．

一、选择题1．下列说法正确的有()①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0【解析】与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，把(－1,2)代入直线方程得m＝－1.【答案】 A3．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是() A．1 B．0C．－1 D．0或－1【解析】两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a－a2(a－2)＝0，∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．【答案】 D4．以A (1,3)和B (－5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是( )A ．3x －y ＋8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0 【解析】 k AB ＝3－11＋5＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，AB 的中垂线与AB 垂直且过AB 的中点，故k ＝－3，∴方程为y －2＝－3(x ＋2)即3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B5．点(－2,3)关于直线y ＝x ＋1的对称点的坐标为( )A ．(2，－1)B ．(3,0)C ．(3，－1)D ．(2,0) 【解析】 设对称点为(x ，y )，∴y －3x ＋2＝－1，即x ＋y －1＝0 ①又∵y ＋32＝x －22＋1，∴y ＋3＝x ， ② 解①②得，x ＝2，y ＝－1，故选A.【答案】 A二、填空题6．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________．【解析】 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.【答案】 x －2y －1＝07．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为_____________________________________________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC .∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6， ∴D 点的坐标为(3，－6)．【答案】 (3，－6)8．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m ＋n －p ＝________.【解析】 由两条直线垂直，得k 1·k 2＝－1，即－m 4·25＝－1，∴m ＝10，直线为10x ＋4y －2＝0，又∵垂足为(1，p )，故p ＝－2，∴垂足为(1，－2)，代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，故m ＋n －p ＝10＋(－12)－(－2)＝0.【答案】 0三、解答题9．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D 的坐标，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD .【解】 设点D 的坐标为(x ，y )，由题意知直线CD 、AD 的斜率都存在． 因为k AB ＝2－(－1)2－1＝3，k CD ＝y x －3且CD ⊥AB ， 所以k AB k CD ＝－1，即3×y x －3＝－1. ① 因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1. ②由①②可得，x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)． 10．(1)求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56的直线的方程．(2)求过两条直线x －y ＋5＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程．【解】 (1)设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则在y 轴上的截距为b ＝－λ3；令y ＝0，则在x 轴上的截距为a ＝－λ2，由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56得λ＝－1，∴所求直线方程为2x ＋3y －1＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－187y ＝177，即已知的两条直线的交点坐标为(－187，177)．设所求直线方程为－2x －3y ＋C ＝0，将点(－187，177)代入方程得，C ＝157，故所求直线方程为－2x －3y ＋157＝0，即14x ＋21y －15＝0.图2－2－611．如图2－2－6，△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．【解】 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23，∴k AB ＝－1k EC＝32. ∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1,1)． ∵D 是BC 的中点，∴D (x 2＋32，y 2＋42)．而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0.∴C (5,2)，|AC |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.。

A1 A2
重合
=
B1 B2
=
C1 C2
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要点梳理
4.你学过哪些距离公式?请完成下列空格. (1)两点间的距离公式 ①若两点在数轴上,则d=|x2-x1|;
②若两点在平面内,则 d= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 ; ③若两点在空间中,
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要点梳理
6.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系如何?请完成下表:
点与圆的位 直线与圆的 置关系 位置关系 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点 (1)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆外 相离⇔d>r (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点 (2)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆上 相切⇔d=r (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点 (3)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆内 相交⇔d<r 圆与圆的 位置关系 (1)相离⇔d>R+r (2)外切⇔d=R+r (3)相交 ⇔R-r<d<R+r (4)内切⇔d=R-r (5)内含⇔0≤d<R-r
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要点梳理
7.对称问题 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要 依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题, 主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在 l上. (3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的 对称点A'(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线, 列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程,

必修二 第三单元 直线与方程教学目标1、 理解倾斜角、斜率（斜率公式）2、 会用斜率来判定两直线平行与垂直3、 理解两直线的交点与方程组的解之间的关系4、 掌握两点间的距离公式；掌握点到直线的距离公式教学重点直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的理解与求解教学难点如何求解直线点斜式、斜截式、两点式、截距式方程知识梳理1、x 轴 正方向 与直线 向上 方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，倾斜角的范围是 。

2、直线倾斜角α的 正切值 叫直线的斜率.，常用k 表示,k = ，当直线倾斜角为90︒度时它的斜率 不存在 。

3、 两点 确定一直线，给定两点111(,)p x y 与222(,)p x y ，则过这两点的直线的斜率为： 。

4、两条直线平行的判定: 两条不重合的直线斜率都存在时，两直线平行，则它们的斜率相等，即：1l ∥212k k l =⇔；两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率12,k k 的乘积121k k =-，即：1l ⊥1212-=⋅⇔k k l ；5、直线的点斜式方程： ； 直线的斜截式方程： ； 直线的两点式方程： ；直线的截距式方程： ；直线的一般式方程：5、 两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则[)πα,0∈αtan 1212x x y y k --=)(00x x k y y -=-b kx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+b y a x 0=++C By AxAB =212212)()(y y x x -+-7、点0p 00(,)x y 到直线:0l Ax By C ++=距离 考点探究一、直线的倾斜角及斜率例1、试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？⑴(3,4),(2,1)--与(3,1),(2,2) ⑵(,4),(1,3)m m +与(2,1)(3,0)考点探究二 直线的方程例2、已知△ABC 的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；（2）中线AD 所在直线的方程。

第二章 2.2 2.2.1一、选择题1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有的直线都有斜率．其中错误的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[答案] D[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．2．若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 直线的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角是30°.3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－2D ．2[答案] A[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ， ∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12.4．直线y ＝kx ＋b ，当k >0，b <0时，此直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．以上都不是[答案] B[解析] 由k >0知，直线的倾斜角为锐角，由b <0知，直线过y 轴负半轴上点(0，b )，∴直线不经过第二象限．5．已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，如右图所示，则( )A ．k1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2[答案] D[解析] 由图可知直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3倾斜角均为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0.∴k 2>k 3>k 1.∴应选D.6．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[12，＋∞) D ．[－2，12] [答案] D[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，如图所示，k P A ＝3－11－2＝－2， k PB ＝1－(－1)2－(－2)＝12，故所求k 的取值范围为[－2，12]． 二、填空题7．(2015·甘肃张掖二中高一期末测试)三点(2，－3)、(4,3)及(5，k 2)在同一条直线上，则k 的值等于________．[答案] 12[解析] 由题意得3－(－3)4－2＝k 2－35－4，∴k ＝12. 8．已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．[答案] (1,0)或(0，－2)[解析] 设B (x,0)或(0，y )，k AB ＝43－x 或4－y 3， ∴43－x＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1，y ＝－2. 三、解答题9．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1,1)、(2,4)；(2)(－3,5)、(0,2)；(3)(4,4)、(4,5)；(4)(10,2)、(－10,2)．[解析] (1)k ＝4－12－1＝3>0，∴倾斜角是锐角． (2)k ＝2－50－(－3)＝－1<0，∴倾斜角是钝角． (3)倾斜角是90°.(4)k ＝2－2－10－10＝0，倾斜角为0°. 10．已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 如图，直线l 与线段AB 相交，只需直线l 绕点P 按逆时针从PB 转到P A ，即为直线l 的范围．因为k PB ＝34，k P A ＝－4，但过P 点且垂直于x 轴的直线的斜率是不存在的，所以旋转过程中，l 的斜率由k PB 变化到无穷大，此时倾斜角在增大．当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到k P A ，所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞)．一、选择题1．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于( )A ．4B ．－7C ．1D ．－1[答案] C[解析] 由题意，得2＝7－5a －3＝b －5－1－3， ∴a ＝4，b ＝－3，∴a ＋b ＝1.2．直线l 过点A (2,1)、B (3，m 2)(m ∈R )，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1] [答案] A[解析] 直线l 的斜率k ＝m 2－13－2＝m 2－1， ∵m ∈R ，∴m 2－1≥－1，故选A ．二、填空题3．如图所示，直线l 1、l 2、l 3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是____________．[答案] k 1<k 3<k 4<k 2[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k 1<k 3<k 4<k 2.4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，即(a －1)(a ＋2)<0，∴－2<a <1. 三、解答题5．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45°？[解析] (1)由题意，得3m －61－(－m )＝12，解得m ＝－2.(2)由题意，得(2m －1)－2－m －m ＝1，解得m ＝34.6．已知A (1,1)、B (3,5)、C (a,7)、D (－1，b )四点共线，求直线方程y ＝ax ＋b .[解析] ∵A 、B 、C 、D 四点共线，∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等，即k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1，k AD ＝b －1－1－1，∴2＝6a －1＝b －1－2.解得a ＝4，b ＝－3.∴所求直线方程为y ＝4x －3.7．已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值．[解析] 如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.。

第二章平面解析几何初步
本章概览
三维目标
1.体会从直线坐标系——平面直角坐标系——空间直角坐标系的三维变化过程中，感知由易到难，由简单到复杂，由低级到高级的认知过程.
2.理解直线的倾斜角、斜率等概念，能建立直线的方程；感受数学世界的奇异美、简洁美、和谐美,增强美学意识.通过对直线方程的分析和运用，了解形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想.
3.掌握直线间的位置关系以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.
4.通过建立圆的方程研究圆的有关性质，并通过方程进一步研究直线与圆，圆与圆的位置关系，理解规律是现象间本质的必然的联系这一辩证思想，逐步掌握按规律办事的科学方法.通过学习平面上两条直线及两圆的几何关系可转化为其方程中系数之间的关系，发现数形结合之美；通过对比三个维度下的点到直线的距离公式体会数学中的对称美.
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平面分析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（ 1）定义：把直线y kx b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角．经过两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 )x1 x2的直线的斜率k y2y 1 ．x2x1（ 2）斜率k与倾斜角的关系：k 0 时，0 ； k 0时，0 ,90 且随k的增大而增大；k 不存在时，90 ； k 0时，90 ,180且随k的增大而增大．2.比较直线的五种方程名称方程常数的几何意义合用条件点斜式y y0k( x x )( x0 , y0 ) 是直线上的一个定点，k 是斜直线不垂直于x 轴率斜截式y kx b k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于x 轴两点式y y1x x1( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴y2y1x2x1截距式x y1 a ，b分别是直线在 x 轴，y轴上的非直线不垂直于x 轴和a b y 轴，且可是原点零截距一般式Ax By C0（ A ，A， B，C为系数任何状况B 不一样时为0）特别直线x a （y轴：x0 ）垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在y b （x轴： y0 ）垂直于 y 轴且过点 (0, b)斜率 k 03.辨析两条直线订交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程b1，l1： A1x B1 y C1 0，l1： y k1xl 2： y k2 x b2l2： A2 x B2 y C20 ，订交的等价条件k1 k2l1与 l2订交A1B2A2 B10l1与 l 2订交平行的等价条件k2且 b1 b2l1//l 2A1 B2A2 B10 且l1// l2k1B 1C 2 B 2 C 1 0重合的等价条件l 1 与 l 2 重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 l 1 与 l 2 重 合 A 1 B 2 A 2 B 1 0 且B 1C 2 B 2 C 1 0垂直的等价条件l 1 l 2k 1 k 2 1 l 1 l 2 A 1A 2 B 1 B 2 0说明： 两直线的交点坐标即为对应方程构成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4. 依据直线地点关系妙设直线方程（ 1）与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax Bym 0 （ m 为参数，且 m C ）；与直线 AxBy C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0 （ m 为参数）．（ 2）与直线 ykx m 平行的直线方程可设为y kx b (bm) ；与直线 y kxm 垂直的直线方程可设为 y1x b ．k（3） 过 直 线A 1 xB 1 y 1C0 与 A 2 x B 2 yC 2 0 的 交 点 的 直 线 方 程 可 设 为A 1 xB 1 y1CA 2 xB 2 y2C0 （ 为参数）．注意此方程中不包含直线A 2 xB 2 yC 2 0，在解题时要考证该直线能否切合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 的形式，将定点转变成直线A 1xB 1 yC 1 0与 A 2x B 2 y C 20 的交点．5. 记忆重要公式，重视坐标法思想（ 1）四个距离公式和中点坐标公式种类 已知条件公式中点坐标A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2x 0x 1 x 2， y 0 y 1 y 222 数轴上的点A x 1 ， B(x 2 )| AB | | x 2 x 1 |两点间的距离A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2|AB|(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2点到直线的距离P x 0 , y 0 ， l ： Ax By C 0| Ax 0By 0 C |dA2B2两平行直线的距离l 1 ： Ax By C 10 ，| C 2 C 1 |dA2B2l 2 ：Ax By C 20 ，（ A ，B 不一样时为零）（ 2）坐标法思想：即依据图形特色，成立适合的直角坐标系，用坐标表示有关量，利用坐标间的代6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（ 1）圆的标准方程：( x a) 2( y b)2r 2，此中，圆心是 C (a, b) ，半径是r．圆的一般方程： x2y2Dx Ey F0 ( Dx Ey F0) ．此中圆心是 ( D,E) ，半径是122 D 2 E 24F ．2注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy 项．（ 2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（a,b, r 或 D , E, F），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．7.点击圆的有关地点关系（ 1）点与圆的地点关系点与圆的地点关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可经过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（ 2）直线与圆的地点关系直线圆的地点关系有三种：订交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（经过解直线方程与圆的方程构成的方程组，依据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断）．（3）圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（依据两圆方程联立的方程组解的状况判断）、几何法（依据两圆的圆心距 d 与两圆半径r1， r2之间的关系判断）．8.切记圆的切线求法，细解弦长问题（ 1）圆的切线求法：①设切线斜率，获得切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依照鉴别式为0求解；②设切线斜率，获得切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的状况．（2）当直线与圆订交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求订交两圆的公共弦长时，可经过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，从而求出此中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.清晰空间直角坐标系的成立法例，直击距离公式（ 1）建林的空间直角坐标系要按照右手法例．222（ 2）空间中P1( x1, y1, z1)，P2( x2, y2, z2)之间的距离| PP12|x2 x1y2 y1z2 z1．专题概括研究专题一巧设直线方程解题在本章中，常常要用直线方程解决问题，但好多时候直线方程并不是已知，而是要设出方程从而解决问题，这时，怎样选择方程形式将决定解题过程中的好坏简繁．典例 1直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一设直线 l 的方程为xy 1 或x y 1 (a0)．当直线 l 的方程为xya a a a1时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴86 1 ，解得 a14 ，a a∴直线 l 的方程为 x y140 ；当直线 l 的方程为xy 1 时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴861，解得 a 2 ，a a∴直线 l 的方程为 x y 2 0 ．综上所述，所求直线l 的方程为 x y20或 x y140 ．方法二设直线 l 的方程为 y kx b(k0, b0) ．令 x0 ，得 y b；令 y 0 ，得 x b．kb|，∵ b由题意，得 | b | |0 ，∴ k1．k当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b ，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ，b2，∴直线 l 的方程为 y x 2 ，即 x y20 ；当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ， b14 ，∴直线 l 的方程为 x y140．综上所述，所求直线l 的方程为x y20或 x y140 ．方法研究凡波及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例 2已知直线 l 过点 P(1,2) ，且点 A(4,1) ， B(2,5) 到直线 l 的距离相等，求直线l 的方程．研析设直线 l 的方程为m( y2) x 1，即 x my2 m 1 0．由点到直线的距离公式可得| 4 m2m 1|| 2 5m2m 1|，解得 m0 或 m3．m21m212故直线 l 的方程为 x10 或 2x3y80 ．方法研究设直线方程为 x x0m( y y0 ) ，防止了遗漏斜率不存在的状况（斜率不存在即m0 ）．典例 3已知圆 C : x2y26x8y210 ，求过点(1,1)的圆 C 的切线方程．研析设所求切线的方程为m( y1)x 1 ，即 x my m 1 0 ．圆的圆心坐标为 (3, 4) ，半径r1( 6)2( 8)24212．2由题意可知| 3 m4 m 1 |2 ，解得 m 0 或 m20，故所求直线方程为 z 1 或1m22121x20 y410 ．方法研究过圆上一点 ( x0 , y0 ) 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情况．为了防止议论斜率和判断点与圆的地点关系，可直接设切线方程为m( y y0 ) x x0．专题二商讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，依据点在圆上及其余条件求圆的方程．典例 1求经过直线 x y0 与圆x2y22x 4y 80 的交点，且经过点P( 1,2) 的圆的方程．研析x y0,x1,x 4,A(1, 1) 和点解方程组y22x 4 y 8 0.得或即直线与圆交于点x2y 1.y 4.B(4,4)．设所求圆的方程为 x2y2Dx Ey F 0 ，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组11D E F0,D3,16164D4E F 0,解得E3, ∴所求圆的方程为x2y23x 3 y 8 0 ．14D2E F0.F8.2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确立所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件成立方程组求参即可．典例 2 求圆心在直线x y40 上，且经过两圆x2y24x60 和 x2y24y 60 的交点的圆的方程．研析方法一x2y2 4 x 6 0,x11,或x23,由22解得y 1.y2 3.x y 4 y60.1故两圆 x2y24x60 和 x2y2 4 y 60 的交点分别为A(1,1) ， B(3,3) ．线段 AB 的垂直均分线的方程为y 1( xy 1 ( x 1),x 3,1) ，由y4 0. 解得y1.x∴所求圆的圆心坐标为(3, 1) ，半径为(3 3)2(3 1)24 ，∴所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y1)2 16 ．方法二同方法一求得 A( 1, 1) ， B(3,3) ，设所求圆的方程为 ( xa)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，由a b 4 0,a 3,( 1 a)2(1 b)2r 2 ,解得 b 1, (3 a) 2 (3 b)2r 2 .r 216.∴所求圆的方程为 ( x 3)2( y1)2 16 ．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直均分线上，构成了一个圆的会合，记这个会合为M ．我们把拥有某一共同性质的全部的圆的会合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（ 1）设圆 C 过圆 C 1 ：x 2y 2 D 1x E 1 y F 1 0 与圆 C 2 ：x 2 y 2 D 2xE 2 yF 2 0的交点 P ，Q ，则与圆 C 齐心的圆系方程为 x 2y 2 D 1x E 1 y F 1x 2 y 2 D 2 x E 2 yF 2①，此中为参数且1．该圆系方程不包含圆C 2 ．方程①的特例：当1 时，方程①变成 ( D1D )x (EE ) yF F② ,21212若圆 C 与圆 C 2 相切，这时点P ， Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．1（ 2）若直线 l ： Ax By C 0与圆 C ： x 2y 2 Dx Ey F 0 订交于不一样的两点 P ，Q ，则 过 P ， Q 两点的圆系方程为x 2y 2 Dx Ey F( Ax By C) 0 （ 为参数）．典例 3求圆心在直线x y0上，且过两圆x 2y 2 2x10y 24 0 ，x 2 y 22x 2 y 8 0交点的圆的方程．研析设所求圆的方程为x 2 y 2 2x10y 24x 2 y 2 2 x 2 y 80 (1) ，即 x2y 22(1) 2 5y8(3 )0，可知圆心坐标为(1, 5) ．11111由于圆心在直线 xy 0 上，因此15 0 ，解得2 ．11将2 代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x 2 y 2 6x 6 y 8 0 ．。

∵0<e<1,∴e= 2-1.
e=-1± 2.
规律方法
2
变式训练 4(1)已知椭圆 C: 2
相交于 A,B 两点,连接
e=
5
7
+
2
=1(a>b>0)的左焦点为
F,C
与过原点的直线
2

4
AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=5,则
C 的离心率
.
解析 如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即
= -11,
整理得 8 + 6 + = -100,解得 = 3,
= -30,
3- = -36,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
角度2.求轨迹的方程
求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥
曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注
∴y-x的最大值为9,最小值为1.
规律方法 求圆锥曲线范围(最值)问题的策略
(1)数形结合的思想,将代数式转化为其几何意义,多考查距离、倾斜角、
斜率、截距等.
(2)化归转化的思想,借助圆锥曲线的定义将问题进行变形转化.
变式训练3(1)若椭圆C:
2 2
+
4
3
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C
|PF1|∈[1,3],故选项D正确.故选C.
(2)(多选题)已知 P(x,y)为曲线 x=2 上一动点,则( ABD )
A. 2 + (-1)2 的最小值为 1

第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

章末总结
网络建构
名师导学
平面解析几何初步需要解决的主要问题是:(1)理解直线坐标系、平面直 角坐标系和空间直角坐标系建立的实质.(2)直线的方程、圆的方程以及 直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系中的问题:①方程的确定,②位置 关系的判定,③距离问题,④对称问题,⑤最值问题及范围问题等. 解决上述问题的关键是:深刻理解坐标法的实质,用代数方法解决几何问 题,熟练掌握直线与圆的基本知识,并应用于解题过程中,运用以“形”助 “数”、以“数”解“形”的思想,把表达式(代数式)转化为“距离、倾 斜角、斜率、直线与圆、圆与圆”等这些有“形”概念.以此帮助我们分 析解决问题,从而体会数形结合的思想方法.
且|AB|=2 3 ,所以适合题意.综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.
方法技巧 当直线与圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有
( l )2+d2=r2.这一方法既可求弦长,又可知弦长求参数,关键是正确的列出
2
关于参数的方程.
【例4】 已知两圆☉C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,☉C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, 问:m为何值时,(1)☉C1与☉C2相外切,(2)☉C1与☉C2内含.
故所求圆的方程为
x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.
法二 设圆与 x 轴交点为 A(t-3,0),B(t+3,0). 圆心为 PQ 的中垂线和 AB 的中垂线的交点. PQ 的垂直平分线为 x-y+1=0,AB 的垂直平分线为 x=t,所以圆心(t,t+1). 由圆心到 A、P 距离相等, 得 32+(t+1)2=(t+2)2+(t-3)2,所以 t2-4t+3=0, 所以 t=1 或 t=3. 所以圆心为(1,2),半径为 13 或圆心为(3,4),半径为 5. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25.

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第二章平面解析几何初步示范教案错误!教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章,使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．采用分单元小结的方式,让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想-—坐标法．并用解析几何的基本思想串联全章知识,使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标1．通过总结和归纳直线与直线的方程、圆与圆的方程、空间直角坐标系的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成．教学难点：整理形成本章的知识系统和网络．课时安排1课时错误!导入新课设计1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练,启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．设计2。

|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）

本章整合
平面直角坐标
数轴上的基本公式:������������ = ������������ + ������������,������������ = ������2-������1,d(A,B) = |������2-������1|
系中的基本公式 平面直角坐标系中的基本公式:������(������,������) = |������������| =
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
【应用 2】 若直线 3x+y+2n=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 n∈N+,则 n 的
值等于( )
A.1
B.2
C.4
D.1 或 2
提示:利用圆心距等于半径列方程求解.
解析:圆心(0,0)到直线的距离为 d= 2������ =2n-1.由 n=2n-1,结合选项,得
(������2
-������1)2
+
(������2
-������1
2
)
+
(������2
-������1
2
)
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
专题一 位置关系问题
1.两条直线的位置关系 考查两条直线的平行与垂直关系时,通常有两种方式可以选择:一是直 线方程以斜截式给出,此时可通过斜率和直线在 y 轴上的截距来处理;二是 直线方程以一般式给出,此时可转化为斜率和直线在 y 轴上的截距来处理, 也可以直接利用系数处理.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
2.直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点; (2)直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点; (3)直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点. 判定直线与圆的位置关系常有两种方法: (1)代数法:将直线方程与圆的方程联立得方程组,消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,计算其判别式 Δ,若 Δ>0,则相交;若 Δ=0,则相切;若 Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断:若 d<r,则直 线与圆相交;若 d=r,则直线与圆相切;若 d>r,则直线与圆相离.