传热学

无限大平板，一维稳态导热，变导热系数
0 (1 bt )
解：1、求解温度场
• 导热微分问题为
d dx
t x 0 tw1
积分，得
dt dx 0
t x tw2
o(t
1 2 bt ) c1x c2 2
dt o(1 bt ) c1 dx
平壁中温度分布的最终解为:
tw1 tw2 t(x ) tw1 x
线性分布
通过单层平壁的热流密度:
q (tw1 tw2 )
二、变导热系数
• 实际工程问题的需要. • 材料的导热系数一般随温度呈非线性变化。 但只要温度范围不很大，可以近似视为线 性. 通常表示为：
0(1 bt )
2

2

b
λ λo
dt dx

2
d2t 当b>0时，dx2 0,
(下凹)
当b=0时， 当b<0时，
d2t 0, (直线) 2 dx
d2t 0, (上凹) 2 dx
讨论：
• 平壁内的一维稳态温度 分布呈二次抛物线.
• 变导热系数并不改变稳 态情况下通过一维平壁 的热流密度和热流量为 恒定值这一事实.
1
t r r t w1
t r r t w2
2
(2) 图2-5 单层圆筒壁导热 的物理模型
(3)
解：
d dt r 0 dr dr
dt r C1 dr C1 dt dr r
积分
再积分， t C1 ln r C2 利用边界条件，确定待定系数
t w2 t w1 C1 , ln(r2 r1 ) t w2 t w1 C2 t w1 ln r1 ln(r2 r1 )
问题：（1）现在已经知道了q，如何计算其 中第 i 层的右侧壁温？
(2)为什么多层平壁中温度分布线不是 一条连续的直线而是一条折线?
解：（1）
1 外壁： q h1 (t f 1 tw1 ) tw1 t f 1 q h1 2 1 第一层： q (tw1 tw2 ) tw2 tw1 q 2 1
过程的动力 过程中的转移量＝ 过程的阻力
• 在电学中
电位差 电流 电阻
U I R
1、导热热阻
与电学相对应, 导热时热流量可写成
温度差 热流量 热阻
Δt Δt Φ R A
Δt Δt q 或者 r • 一维平壁的导热热阻.
/ 称为单位面积热阻,(m2 K)/W.
• 传热过程中传递的热量为：
Φ (t f 1 t f 2 ) Rh1 R Rh 2 1 1 Ah1 A Ah2 (t f 1 t f 2 )
Φ Ak (t f 1 t f 2 ) Ak t
或
q
1 1 h1 h2
t f1 t f2
2、计算热流量
利用傅立叶定律求解热流密度
dt q dx
d dx
dt dx 0
tw 1 tw 2 1 q o 1 b tw 1 tw 2 2
由平均导热系数的定义 知
dt m t w1 t w2
t w1 tw1
o 1 bt dt
t w2
o t b 2 t
2 tw 2

因此，m值的获得 （1）平均温度
tm t w1 t w2 2
时的值
（2） m
t t
w1
w2
2
三、 热阻的概念
• 热量传递是自然界的一种能量转移过程。 • 各种转移过程存在一个共同规律：
温度分布为
t1 t2 1 1 t t1 1 1 r1 r r1 r2
球坐标系中，应用傅立叶定律
A
• 利用边界条件确定待定系数
1 2 c2 o t w 1 2 btw 2
c1
tw 1 tw 2 1 o 1 b tw 1 tw 2 2
• 温度分布
判断曲线的形状：
对前式求二次导，得
dt dt b 2 1 bt dx dx
i
1
n
1 ri 1 1 ln 2 πi l ri h2πd n 1l
例题2 ： 有一圆管外径为50mm，内径为 30mm，导热系数为25W/(m.℃),内壁面温度 为40℃， 外壁面温度为20℃. 求通过壁面的单位管长的热流量和管壁内的 温度分布。
例题3：为减少热损失和保证安全，在外径为 133mm的蒸汽管道外覆盖隔热层。蒸汽管道 外表面温度为400℃.按规定隔热材料外侧温 度不得超过50℃。若采用水泥石制品做隔热 材料，并将单位长度管道热损失控制在 465W/m以内，求隔热层厚度。
/(A)称为总面积热阻. K/W.
t
热阻概念的建立对复杂 传热过程的分析带来很 大便利。 可以借鉴串、并联电阻 公式。
dx
t w1
dt

Q
tw2
0

x
t w1
Q
tw2
A
图 导热热阻的图示
2、对流换热热阻
t t Φ 1 ( hA) Rh t t q 1h rh
Rh 1 ( hA) [ C W ]


i i 第 i 层： q (twi twi 1 ) ti1 ti q i i
七、通过复合平壁的导热
• 温度场和热流 场很难继续保持 严格的一维; • 只要并排两种 材料的导热系数 相近 , 仍按一维问 题处理不失为一 种合理的假设和 简化处理方法.
图2.4 复合平壁导热与等效热网络
结论: 圆柱体内温度梯度沿径向是变化的.
圆柱坐标系热流量的最终表达形式：
Φ
tw1 tw2
1 r2 ln 2π l r1
t w1 t w2 ql r2 1 ln 2 π r1
注意: 圆筒壁按单位管长而不是按单位导热 面积来计算热流密度.单位是 W/m. 记住圆柱热阻的基本形式
对满足一维条件且层
二. 球壁 (Spherical Shell)
已知球壁内、外半径为r1、r2，内外表面温度均匀为t1、 t2（t1>t2），为常数，求温度分布和热流量。 导热问题数学描述：
d 2t 2 dt 0 2 r dr dr
r r1, r r2 ,
t t1 t t2
设u=dt/dr,方程变为
第二节 通过园筒壁、球壁的导热（径向系统）
请注意:径向系统中按一维导热处理的条件.
径向物体保持一维温度场的条件： （a）圆筒壁: 内外侧分别保持均匀温度或者具有均 匀的第三类边界条件.
（b）球壁: 球壳内外表面温度均匀或边界条件均匀.
一. 圆筒壁 (The Tube Wall):
数学模型
d dr dt r dr 0 (1)
0.88 0.00058 t

o
C
B级硅藻土砖

2 w /( m o C )
0.0477 0.0002 t

o
C
求： （1）q=?，（2）tw2=?
解题思路：利用热阻求解。
tw1 tw3 q R i 1 2 1 2
Δt
欲求平均导热系数1和2，需知tw2,而待求。 因此需假设tw2 ，进行试算以保证能量守恒，即 q一定。 t w1 t w2 t w2 t w3 q 1 2 1 2 最终，求得：q=244w/m2，tw2=471oC
d 2t 0 2 dx
dt dx h 1 t f1 t w1
x 0
dt dx
h 2 t w2 t f2
x
求： （1）热流密度 （2）特定点温度
解：方法一： 求解方程→温度场 傅立叶定律→热流场 边界条件是第三类边界条件求解复杂。 方法二： 利用热阻概念求解。 • 传热过程包含三个热量传递环节 ,三个过程 的热阻呈串联，通过的热流量或热流密度 完全相等.边界条件不会改变这个规律。
若已知热流密度，则可求得壁温:
t w1 t f1 q / h1
t w2 t f2 q / h2
注意： 非稳态传热过程以及有内热源时，不能用热阻 分析法。
六、 多层平壁的导热
• 两外表面具有均匀 一致的温度 • 分别与两种温度均 匀、表面传热系数 等于常数的流体对 流换热 • 各层壁面之间热接 触良好.
rh 1 h
[m C W ]
2
记住各种热阻的基本形式
3、总传热热阻
Φ
1 1 Ah1 A Ah2
(t f 1 t f 2 )
R R h1 R R h 2
1 h1 h2
1
K
1
1 h1 h2
1

1
R h1 R R h 2
t w1 t w2

t w2
m
t w1
dt
t w1 t w2
q m t w1 t w2
即 于是
q m
tw1 tw2

结论：平壁的导热热流密度仍旧可以用 和常物性时相同的公式计算，只要代入 算术平均温度下的导热系数值即可.
m的求法：
b m o 1 t w 2 t w1 t w1 t w 2 t w 2 t w1 2 tw1 tw2 o o 1 bt w1 1 bt w 2 2 2 2
du 2 u 0 dr r
积分，得
1
u
du
2
r
dr
ln u 2 ln r c"1
c' 1 u 2 , r
再积分，得
dt c' 1 2 dr r
c1 t c2 r
将边界条件分别代入，得
c1
t1 t2
1
r2

1
r1
t1 t2 1 c2 t1 1 1 r1 r1 r2


o


o
已知炉墙内表面温度为495oC和硅藻土砖与石棉 间的温度为207oC。 试求：每平方米炉墙每小时的热损失q及耐火粘 土与硅藻土分界面上的温度。
分析：由题意，对应右图，已知 1=115mm，2=125mm， tw1=495oC，tw3=207oC
耐火粘土砖

1 w /( m o C )
总传热系数 k 是总热阻的倒数
2 传热系数 [ W m K ]，是表征传热过程强烈程度
的标尺，不是物性参数，与过程有关。
k 越大，传热越好。若要增大k，可增大
h1 , , h2或减小
通过分析串联热阻的特性可知，最大 的一个热阻对 k 值的大小具有决定性的作 用,称之为主导热阻 .
四、 第三类边界条件下的平壁稳态导热
按照热阻串联相加原则可以直接写出:
Δt tf1 tf2 q Ri 1 1 2 3 1 h1 1 2 3 h2
• 推广到 n 层平壁:
q tf1 tf2
n
i 1 1 h1 i1 i h2
k ( tf1 tf2 )
例3-3：窑炉炉墙由厚115mm的耐火粘土砖和厚 125mm 的B级硅藻土砖再加上外敷石棉板叠成。 耐火粘土砖的， w /(m C ) 0.88 0.00058t C B级硅 藻土砖的 w /(mo C ) 0.0477 0.0002t o C
间热接触良好的多层 圆筒壁:
问题:如果圆筒壁外表面 比内表面的温度高, 这 时壁内温度分布曲线的 情形如何?
采用热阻网络分析方法，可直接写出热流量:

tw1 tw,n 1
1 ri 1 lnΒιβλιοθήκη Baidu ri i 1 2 πi l
n
如果内外壁面均为第三类边界条件:

tf1 tf2
1 h1πd 1l
温度分布:
tw1 tw2 t(r ) tw1 ln (r r1 ) ln (r2 r1 )
温度分布是曲线。 根据傅里叶定律得出径向热流量:
t w1 t w2 1 dt dt Φ A 2 π rl 2π rl dr dr ln r r r 2 1