二阶线性微分方程

二阶线性微分方程
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
2
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
rwenku.baidu.com x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
2、 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
注:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
如何求方程(1)的两个线性无关的特解,是一件困难 事，我们常采用观察方法—有目的、有分析的观察。
例 ( x 1) y xy y 0, 观察出两个线性无关解 x , e x . 故通解为 y c1 x c2e x .
2 例 2：已知 y1 3 ， y 2 3 x ，
2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 6 x 1的 解，求此方程所对应齐次方程的通解.
2.二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
1.二阶齐次方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是 常数）
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？ y1是解，y2 2 y1也是解
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
例如：求方程 y 4 y x 2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x 2 及 y 4 y 3e x 的特解 1 2 1 3 x 1 2 1 3 x 为 x 和 e , 故原方程的特解: x e . 4 8 5 4 8 5
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0, rx 则 y2 xe ,
1
=0 =0 u( x ) c1 x c2 , 取 u( x ) x ,
r1 x y ( C C x ) e ; 得齐次方程的通解为 1 2
2i
x
x
得齐次方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
总结:
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
设 y e , 将其代入上方程, 得
rx
( r pr q )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
1、有两个不相等的实根
特征根为 r1
( 0)
2 2
p
p 4q p p 4q , r2 , 2 2
c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
3、 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为 r2 i , r1 i ,
y1 e
( i ) x
,
y2 e
( i ) x
,
y1 e (cos x i sin x ), y2 e (cos x i sin x ), 重新组合 y 1 ( y y ) ex cos x, 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x ,
2
x
y 3 3 x 2 e x 都是微分方程
解 y1 , y2 , y3 都是微分方程的解,
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 ,
是对应齐次方程的解,
y3 y2 e x 2 常数 y2 y1 x 所求通解为 y C1 y3 y2 C2 y2 y1
C1e C2 x .
x 2
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
特解的叠加原理 * * y y 的特解, 那么 1 2 就是原方程的特解.