比例线段浙教版教案
教案标题：比例线段浙教版教案
教案目标：
1. 了解比例线段的概念和性质；
2. 掌握比例线段的求解方法；
3. 能够应用比例线段解决实际问题。
教学内容：
1. 比例线段的定义和性质；
2. 比例线段的求解方法；
3. 比例线段在实际问题中的应用。
教学步骤：
Step 1: 引入比例线段的概念和性质（10分钟）
- 通过举例说明比例线段的概念，如AB：CD表示线段AB与CD之间的比例关系。
- 解释比例线段的性质，如若AB：CD=EF：GH，则有AB/CD=EF/GH。
Step 2: 比例线段的求解方法（20分钟）
- 介绍比例线段的求解方法，包括使用等式法和比例法。
- 通过具体的例子，引导学生进行实际操作，求解给定的比例线段。
Step 3: 比例线段在实际问题中的应用（15分钟）
- 提供一些实际问题，如图纸上的比例尺、地图上的比例关系等，让学生应用比例线段的知识解决问题。
- 引导学生分析问题，确定解题思路，并进行解答。
Step 4: 深化练习与拓展（15分钟）
- 提供一些练习题，巩固学生对比例线段的理解和应用能力。
- 鼓励学生思考更复杂的问题，拓展他们的思维能力。
Step 5: 总结与反馈（10分钟）
- 对本节课的内容进行总结，强调比例线段的重要性和应用领域。
- 针对学生的学习情况进行反馈，解答疑惑。
教学资源：
1. 比例线段的定义和性质的PPT；
2. 比例线段求解方法的示例题和练习题；
3. 实际问题的案例和图纸。
教学评估：
1. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对比例线段概念的理解和求解方法的掌握程度。
2. 实际问题解答：评估学生能否将比例线段的知识应用于实际问题的解决过程中。
3. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和问题解答的准确性。
教学提示：
1. 在引入比例线段概念时，可以使用具体的实例进行解释，以帮助学生更好地理解。
2. 在比例线段的求解过程中，鼓励学生自主思考和探索，培养他们的解决问题的能力。
3. 在实际问题的应用中，引导学生分析问题，确定解题思路，培养他们的实际
应用能力。
4. 针对学生的不同水平，设置不同难度的练习题，既巩固基础知识，又拓展学生的思维能力。
课题：4.1.1成比例线段 教学目标： 1．结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段． 2．借助几何直观，掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系． 教学重、难点： 重点：了解线段的比和成比例线段的概念，了解比例的基本性质及其应用． 难点：了解线段的比和成比例线段的概念． 课前准备：制作多媒体课件． 教学过程： 一、美图欣赏，情境导入 导语：同学们，色彩斑谰的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过和全等形（多媒体出示图1）；有的只有形状相同，这就是相似图形（多媒体出示图2）．你知如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们学习第四章，本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：4.1成比例线段(1)】 图1 图2 处理方式：学生观看生活中的存在的全等形及相似形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形． 设计意图：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫． 二、探究学习，获取新知 活动1：两条线段的比 1．考考你的眼力（多媒体出示） 你能在下面的这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？
平行线分线段成比例 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段 （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 第二环节：小组活动，探究定理 1. 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线 a ∥b ∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。 （１）计算 1212 2323 ,A A B B A A B B 你有什么发现 （２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗如果将ｂ平移到其他位置呢 (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗
九年级数学比例线段 学习目标： 1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 3.了解黄金分割的意义. 学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：黄金分割的运用. 一、知识链接 1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ 二、新知预习 3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段. 三、自学自测 1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？ (1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. 四、我的疑惑 _____________________________________________________________ ________________ _____________________________________________________________ ________________ 一、要点探究 探究点1：成比例线段 例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5c m
4.1.2 线段的比（第2课时） ●教学目标 （一）教学知识点 1.知道比例线段的概念. 2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用. （二）能力训练要求 1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力. 2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力. （三）情感与价值观要求 认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣. ●教学重点 成比例线段的定义. 比例的基本性质及运用. ●教学难点 比例的基本性质及运用. ●教学方法 自学法 ●教具准备 投影片两张： 第一张（记作§4.1.2 A ） 第二张（记作§4.1.2 B ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ ［生］表示两个比相等的式子叫比例.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么d c b a =或a ∶b=c ∶d,这时组成比例的四个数a,b,c, d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项. 比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如果d c b a =（b,d 都不为0），那么ad=bc. ［师］上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段. Ⅱ.新课讲解 1.成比例线段的定义
［生］（1）CD=2，HL=4， OA=415422=+, OF=41281022=+ BE=52122=+, GM=524222=+ （2） 2 1 41412,2142====OF OA HL CD , 2 1525==GM BE . 所以， 2 1 ===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有 2 1 ====GL BD GH BC FG AB OM OE . ［师］由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？ ［生］四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =,那么这四条线 段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）. 2.比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d 四个数满足d c b a =,那么ad=b c 吗？反
4.1 比例线段 一、填空题 1．（2019春•邗江区校级期末）若a：b：c＝1：2：3，则＝ 2．（2019•金牛区模拟）若，则＝． 3．（2018秋•武陵区校级期末）若，那么＝． 4．（2018秋•双峰县期末）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）． 5．（2018秋•江干区期末）已知b是a、c的比例中项，若a＝4，c＝9，那么b＝． 6．（2018秋•宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝． 二、选择题 7．（2019•杨浦区模拟）在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（）千米． A．3 B．30 C．3000 D．0.3 8．（2019•郫都区模拟）如果x：y＝3：5，那么x：（x+y）＝（） A．B．C．D． 9．（2019春•工业园区期末）若＝，则下列变形错误的是（） A．＝B．＝C．3a＝2b D．2a＝3b 10．（2019春•乳山市期末）如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）
A．14﹣6B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣20 11．（2018秋•皇姑区期末）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣） 12．（2018秋•包河区期末）若＝＝，则的值是（） A．B．C．D．4 13．（2019春•张店区期末）据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（） A．21℃B．22℃C．23℃D．24℃ 14．（2019•顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（） A．B．C．D．4x＝3y 15．（2019•庆云县一模）在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，设它的下部的高度应设计为xm，则x满足的关系式为（）A．（2﹣x）：x＝x：2 B．x：（2﹣x）＝（2﹣x）：2 C．（1﹣x）：x＝x：1 D．（1﹣x）：x＝1：x 三、解答题 16．（2018秋•赣榆区期末）已知a、b、c满足2a＝3b＝4c，且6a+9b﹣4c＝20，分别求出a、b、c的值． 17．（2018秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状． 18．（2018春•南票区期末）若k＝＝＝，且a+b+c≠0，求k的值．
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ⇒a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ⇒a ：b=2：3，故选项正确； C 、=⇒b ：a=2：3，故选项错误； D 、=⇒a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -⨯⨯-+⨯⨯-⨯＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
《正比例（二）》教材分析 这一课学习正比例的性质。 看与问 教材首先出示了一幅图，请学生观察图中数据，写出一些比例式，并思考其中的关系。 做与说 第一环节，讨论速度、时间、路程关系。通过具体计算，得到成正比例关系的两个量，相对应的数量比相等，注意速度比与行驶路程比之间蕴含的比的基本性质，同乘一个非零数，比值不变。 第二环节，讨论工作时间、工作效率、工作总量关系。让学生读表，可以先让学生判断表中的两种量是否成正比例，得到40：1＝80：2＝120：3＝160：4＝200：5＝40，即工作总量：工作时间＝工作效率（一定），然后让学生通过自主探索和合作交流，得出结论：当工作效率一定时，两个工作时间的比等于对应的两个工作总量的比。让学生结合正比例的关系解释为什么这两个比相等。 第三环节，直接要求学生判断正比例关系，得出数量一定，总价的数值比等于单价的数值比。教学时，让学生根据正比例的意义，结合比值相等联系比的基本性质，进一步理性地把握正比例的性质。
这三个环节从“扶”到“放”、从具体到抽象，引导学生正确理解正比例的性质。 练与用 第1题，先判断出两车的速度相同，也就是速度一定，行驶的路程和时间成正比，因此两个路程的数值比等于时间的数值比，已知行驶的时间比，可以知道客车与货车所行的路程比也是3：5。 第2题，先引导学生读懂行程图，如甲、乙两地之间的距离，乙、丙两地之间的距离，两人出发的时间，分别到达乙、丙两地的时间等。（1）先求出两人各自的速度，再求速度比，（52÷4）：（38÷2）＝ 13：19。（2）时间相同，速度与路程成正比，利用上一小题求出的速度比，可以知道两人的路程比为13 19 ， 进而求出B所行的路程为19.5÷13×19＝28.5（千米）。（3）C的速度与B相同，先求出C所行的路程，再在纵轴上标出丁地的位置，然后以横轴上的10：00位置为端点与14：00对应的丁位置为端点画一条线段，该线段即是C的行程。
4.1比例线段
记为a：b或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。 (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的 比等于c与d比，即a b=c d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 完成做一做 三、模仿与应用 例题：已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条 线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm ∴ a c＝ 1 2， d b＝ 3 6＝ 1 2 ∴ a c＝ d b，即线段a、c、d、b是成比例线段。 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段. 反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条 线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。 例3如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请找出一 组比例线段，并说明理由。 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例， 只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段 的乘积) (2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识 联系起来？ (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据 所得 的等式可以写出怎样的比例式。 例4如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在 高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？ 注意：要设实际距离为s；求角度时要注意方位。 解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离 为s，则 351 9000000 s = 359000000 s ∴=⨯=315000000(mm) A B C D
4.1比例线段 【教学目标】 一、知识和技能 1.了解比例中项的概念。 2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。 3.通过实例了解黄金分割。 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 二、过程与方法 在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，有意识引导学生从文化角度把握“黄金 分割”这一数学瑰宝 三、情感、态度与价值观 注重体现数学的文化价值，，丰富了学生对数学发展的整体认识，激发学生的学习热情，增强学生学习的责任感 【教学重点】 黄金分割的概念及其简单应用。 【教学难点】 例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。 【教学过程】 一、创设情景，引入新课 感受匀称、协调之美 如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像 之美。 二、合作学习，探索新知 1．线段的比例中项 （1）取一张长与宽之比为 2 ∶1的长方形纸（怎么取？协作学习） （2）将它（上述矩形）对折.请判断图4－4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是 否成比例.如果成比例，请写出比例式.这个比例式有什么特别之处吗？（与同伴交流） a b ＝ 2 1 ， b c ＝b 2 2 b ＝ 2 1 ∴a b ＝b c ，这个比例式的内项相同. 定义：一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b c （或a:b ＝b: c ），则b 叫做a ，c 的比例中项. a b c b 图4-4 相关以往知识： __________________________________________________________________ ______________________ 教学内容和方法： _______________________ ______________________________________________ _______________________________________________________________ 个性化教学思路及改进 建议： _______________________ _______________________ ______________________________________________ _______________________ _________________ ______________________ _______________________ _________________________________________________________________ ______________________ __________________________________________________________________ ______________________ __________________________________________________________________
浙教版2019-2020学年初中数学九年级上学期期末复习专题10 比例线段 一、单选题 1. 已知，则等于（） A . B . C . 2 D . 3 2. 若（xy≠0），则下列比例式成立的是（） A . B . C . D . 3. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（） A . B . C . D . 4. 若，且，则的值是（） A . 4 B . 2 C . 20 D . 14 5. 四条线段，，，成比例，其中，， ，则（） A . 2㎝ B . 4㎝ C . 6㎝ D . 8㎝ 6. 下面四条线段中，是成比例线段的是( ) A . 3cm、6cm、8cm、9cm B . 3cm、6cm、9cm、l8cm C . 3cm、6cm、7cm、9cm D . 3cm、5cm、6cm、9cm 7. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）
A . AB2＝AC•BC B . BC2＝AC•B C C . AC＝ BC D . BC＝ AC 8. 已知，则直线一定经过的象限是（） A . 第一、三、四象限 B . 第一、二、四象限 C . 第一、四象限 D . 第二、三象限 9. 如图，点 B 在线段 AC 上，且 ,设BC=1，则AC的长是（） A . B . C . D . 10. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是( ) A . B . C . D . 1 二、填空题
4.1比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ (2)比与比例有什么区别？ (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =⇔= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++=====++++≠++++L L L L 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线
l1 l2l3 m n F E D C B A 段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 4 321 1、板书： 12AB BD = ,12EF FH = →1 2 AB EF BD FH == 2、仿上可得： 板书： 13AB AD = ，13EF EH =→1 3 AB EF AD EH == （引导结论）： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 ↓ 平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简 称“平行线分线段成比例”） l1 l2l3m n m' C' (B') A' F E D C B A 4 2 1
基础知识训练 知识点一、比例的概念 1.下列各组数成比例的是（ B ） A ．1，2，3，4 B C ．2，4，6，8 D ．2，5，3，10 2. 6的约数有 4 个，如果这些约数能成比例，请写出一个比值最大的比例6：2=3：1． 3. 判断，1，2，四个数是否成比例．如果成比例，试写出一个比例式． 解：222 1== 则比例式是： 2 1= 知识点二、比例的基本性质 4. 已知57 x y =，那么下列式子中一定成立的是( A ) A. 7x ＝5y B. 5x ＝7y C. x ＝35y D. xy ＝35 5. 若:1:3x y =，23y z =，则 2x y z y +-的值是( A ) A.5- B.103- C.103 D.5 6. 如果 26x y =，那么x y = . 13 7. 若21=b a ，则=+b b a __________．2 3 8.求下列各比例式中的x 的值．
(1)x ∶2＝3∶4；(2)3x ＝4x －2 . (1)∵ x ∶2＝3∶4， ∴ 4x ＝6. ∴ x ＝32 . (2)∵ 3x ＝4x －2 ， ∴ 4x ＝3(x －2)． ∴ 4x ＝3x －6. ∴ x ＝－6. 综合技能训练 9. 若 234a b c ==,且a −b+c=6,则a+b −c 的值是（ ） A. 4 B. 12 C. 2 D. 1 答案：C 解析：设2a k =，则3b k =，4c k =，又a −b+c=2，所以2k-3k+4k=6，解得k=2.所以a=4，b=6，c=8，所以a+b-c=4+6-8=2. 10. 已知57b a =，则a b a b -+的值是 . 16解析：因为57b a =，所以可取a=7，则b=5，则a b a b -+=7521.75126 -==+ 11. 已知三个数分别是4，5和10，则再添加一个数 ，才能使这四个数成比例. 252或8或2 解析：设所添加的数是x ，则，解得x=252 或8或2. 12.
4.2由平行线截得的比例线段 教学目标 ⒈利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法 ⒉培养学生分解基本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 教学重点和难点 重点是平行线分线段成比例定理、推论及应用。 难点是分解基本图形，利用换线段、换中间比及分析法寻找解题思路。 教学过程设计 整理知识结构 在复杂的几何题中我们经常会遇到一些性质比较多的常见图形，在证题过程中起着举足轻重的作用，我们暂称它为基本图形。 （1）平行线分线段成比例定理的基本图形有： （2）分解平行线分线段成比例定理的基本图形的方法： 具体的方法如下： 由一个比中出现的字母作为结点（为了便于理解，我们不妨将这些点命名为结点），观察包含结点的图形，找出基本图形（A 和8字型）。如下图： C B D A E O F C B D E F 课堂练习： 根据下列的比，在下图中画出对应的基本图形。 FO BO （CO AO ） EO BO （CO AO ） EF BF （FF AF ） 8字型 日字型 A 字型 8字型
上述各题的答案如下： C B A O F C B A E O B D A E F （3）利用平行线分线段成比例定理的基本图形证等积式或比例式形式。如bc ad =或 d c b a =（为了学习的方便采用小写字母表示线段） （4）常见的证明方法有： ① (换比) ② (换比 换线段) ③ 应用举例： 例1：如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ，求证： OE OA OC ⋅=2 O A B E D C O A B D C O B E D C 分析： ⑴欲证等积式，而定理提供的是比例式，因此须先将所需证的等积式化为比例式OC OE OA OC =。 ⑵分解出所要求证的两个比所在的基本图形，如上图 ⑶综合使用分析法和综合法，探求解题思路。 思路 OE OA OC ⋅=2 n m d c n m b a =d c b a =d c b a =f e f m d c e m b a == =f e n m f e d c n m b a ===d c b a =
比例线段 一、比例 1、四个数a，b，c，d成比例定义，比例的项，内、外项的含义。 (1)两个比相等的式子叫比例，记作：(a∶b＝c∶d)，称作：a，b，c，d成比例(其中a， b，c，d均不为0)。 (2)“比”——两数相除叫两数的比，记作：(a∶b)，在此a是比的前项，b是比的后项。 (3)中各部分名称①a，d叫比例的外项②b，c叫比例的内项 ③d叫做a，b，c的第四比例项(a，b，c顺序不准乱动) (4)比例中项若a∶b＝b∶c，则b叫a，c的比例中项。 2、比例的基本性质(7种变化形式) 3、应用比例的基本性质判断成比例线段 将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a＞b＞c＞d，若最长(a)和最短(d)两条线段之积ad与另两条线b、c之积bc相等，则说明线段a，b，c，d 成比例。 4、记住一些常用的结论： 合比性质：如果，那么， 等比性质：:如果＝……＝(b＋d＋……＋n≠0)，那么 【典型例题分析】 例1：判断下列每组线段是否成比例： ①a＝4，b＝，c＝，d＝ ②a＝，b＝4，c＝3，d＝ ③a＝3，b＝4，c＝5，d＝6 ④a＝3，b＝5，c＝6，d＝10 例2：已知，线段a＝cm，b＝4cm，c＝cm，求a，b，c的第四比例项。 例3 ：已知，a＝2.4cm，c＝5.4cm，求a和c的比例中项b。 例4 ：已知，线段a＝1，b＝，c＝，求证：线段b是线段a，c的比例中项。 例5 ：若3x＝4y，求。 例6：已知，。
①当b ＋d ＋f≠0时，求的值。 ②当b －2d ＋3f≠0时，求的值。 例7：在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时，高为1.5米的测竿的影长为2.5米 ，那么古塔的高是多少米？ 例8：如图， ，AD ＝15，AB ＝40，AC ＝28, 求：AE 。 例9： (1)若3x ＝4y ，求xy 、xx －y 、x －2yx ＋y 的值。 (2)若a ＋ba ＝53，求a －2bb 的值。 (3)x:y:z ＝2:3:4，求x －y ＋z2x ＋3y －z 的值。 (4)已知a:b:c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值。 (5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm 。求AB:CD 的值。 例10： (1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若2x-3yx+y=12，求yx 。 (3) 若a ＋bb ＝65，求 ab ，a －bb (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求yx (5)已知x2=y3=z4求2x+3y-zz+2y-3x ，x+y+zx (6)已知x:y:z=4:5:7,求235x y z z ++，x y y z ++ (7)a ：b ：c=1：3：5 且a+2b —c=8求a 、b 、c (8)已知x ：y=3：4，x ：z=2：3，求x ：y ：Z 的值。 (9)若25 a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+- (10)y+zx=z+xy=x+yz=k,求k 的值(两种情况)。 (11)已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AB ＝12,AE ＝6,EC ＝4,且ADDB ＝AEEC.求AD 的长。 黄金分割： 1．黄金分割点 如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），若 AC BC AB AC =，则称线段AB 被点C 黄金 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC= 2 15-AB. A C B