二元函数取极值的充分条件
二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况：
1. 二次型矩阵的正负性：
设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。
则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。
2. 一阶偏导数的消失：
设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且
$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。
仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。
3. 二阶导数的正负性：
设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且
$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。
(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是
$f(x,y)$ 的极小值点。
(2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是
$f(x,y)$ 的极大值点。
(3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。
(4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。
4. 鞍点与拐点：
当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。此时，若二
元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个方向一阶导数为 $0$，另一个方
向一阶导数不为 $0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的鞍点。
若 $\Delta H=0$，则有可能是 $f(x,y)$ 的拐点，还需要进一步研究。
综上所述，二元函数取极值的充分条件主要有以上几种情况，分别需
要进行不同的判断。因此，在研究二元函数的极值时需要注意这些条件，并进行综合分析和判断。
第六节 多元函数的极值及其求法 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 线性回归问题 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 内容要点 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于 ),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(, 0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导
二元函数取极值的充分条件 二元函数取极值的充分条件分为以下几种情况： 1. 二次型矩阵的正负性： 设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且$\Delta H=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2>0$。 则当 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极小值；当$f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取极大值。 2. 一阶偏导数的消失： 设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的偏导数，且 $f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的一个驻点。 仅凭一阶偏导数消失的条件不能判断极值，需进一步判断。 3. 二阶导数的正负性： 设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 附近有连续的二阶偏导数，且 $f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。
(1) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的极小值点。 (2) 若 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 且 $\Delta H>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的极大值点。 (3) 若 $\Delta H<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。 (4) 若 $\Delta H=0$，则无法判断 $(x_0,y_0)$ 是否是 $f(x,y)$ 的极值点，需作进一步研究。 4. 鞍点与拐点： 当 $\Delta H<0$ 时， $(x_0,y_0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点。此时，若二 元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个方向一阶导数为 $0$，另一个方 向一阶导数不为 $0$，则 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的鞍点。 若 $\Delta H=0$，则有可能是 $f(x,y)$ 的拐点，还需要进一步研究。 综上所述，二元函数取极值的充分条件主要有以上几种情况，分别需 要进行不同的判断。因此，在研究二元函数的极值时需要注意这些条件，并进行综合分析和判断。
§10–7 二元函数的极值 基础知识导学 1. 二元函数的极值与驻点 ⑴ 极值与驻点 ①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义， 如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点. ⑵ 极值存在的必要条件 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x . 注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则 ①当02 <-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02 >-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；
二元函数极值的充分条件 一、引言 在数学中，极值是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解许多实际问题。在二元函数中，极值也是一个非常重要的概念。本文将介绍二元函数极值的充分条件。 二、二元函数 二元函数是指具有两个自变量的函数，通常用f(x,y)表示。其中x和y 可以是任意实数。在平面直角坐标系中，可以将二元函数表示为一个三维曲面。 三、极值 在一元函数中，极值分为最大值和最小值。而在二元函数中，极值则包括最大值、最小值和鞍点（即既不是最大值也不是最小值的点）。 四、局部极值 局部极值指的是在某一区域内取得的最大或最小的函数值。如果一个
点处取得了局部极大（或局部极小）的函数值，则这个点被称为局部 极大（或局部极小）点。 五、全局极值 全局极值指的是在整个定义域内取得的最大或最小的函数值。如果一 个点处取得了全局极大（或全局极小）的函数值，则这个点被称为全 局极大（或全局极小）点。 六、二元函数极值的充分条件 在一元函数中，我们可以通过求导数来判断极值点。而在二元函数中，我们需要使用偏导数来判断极值点。具体地说，如果一个点处的偏导 数都为0，则这个点可能是极值点。 七、二元函数的偏导数 在二元函数中，我们需要计算两个偏导数：f(x,y)对x的偏导数和f(x,y)对y的偏导数。具体计算方法如下： 1. 对x求偏导：将y视为常量，对x求一阶导数。 2. 对y求偏导：将x视为常量，对y求一阶导数。
八、判断极值点 在得到二元函数的偏导数后，我们需要判断哪些点是极值点。具体步骤如下： 1. 求出所有可能的极值点（即使得两个偏导数都为0的点）。 2. 对于每一个可能的极值点，计算它们所在位置处的二阶偏导数矩阵（也称海森矩阵）。 3. 判断该矩阵是否正定或负定。如果是正定，则该点为局部极小点；如果是负定，则该点为局部极大点；如果不是正定也不是负定，则该点为鞍点。 4. 对于所有的局部极小点和局部极大点，比较它们的函数值，得到全局极小点和全局极大点。 九、海森矩阵 海森矩阵是一个二阶矩阵，它的元素为二元函数在某一点处的二阶偏导数。具体计算方法如下：
第八节二元函数的极值 教学目的与要求：理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条 件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用 问题 教学重难点：二元函数的极值的充分条件，拉格朗日乘数法 教法：讲授 课时：2 课时 一、引例 伴随着社会进步和生产力的不断发展，在工程技术，科学研究，经济活动分析诸多领域都提出了大量最优化问题。这些问题的本质特征是：在一定的投入水平下，如何寻求最大的效益或与之等价的含义，在设定的效益水平下，如何降低投入。刻划这类问题的数学语言是：对于变量之间的函数，当自变量取何值时，函数变量的值能达到相对的最大或最小。这就是构成多元函数极值问题的实际背景。 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店 主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 注：对于多元函数的极值问题，我们将重点研究二元函数。 二、二元函数极值的一般概念 1 、二元函数极值定义设函数z= f( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) , 都有f( x, y)< f( x0 , y0 ) ( 或f( x, y)> f( x0 , y0 )) , 则称函数在点( x0 , y0 ) 有极大值( 或极小值) f( x0 , y0 ) .
极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 讨论函数在点的状态。 因为，而当x,y 不同时为零时，恒 大于零，所以函数在（0,0 ）取得的函数值是函数的一个极小值。这个结论由图一可看出其正确性。 由于的图形是顶点在(0,0,0) 的开口向上的 旋转抛物面，(0,0,0) 恰为它的顶点。 例如，函数z= 3 x2 + 4 y2 在点(0 , 0) 处有极小值。 当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z> 0 . 因此z= 0 是函数的极小值。 例如，函数在点(0 , 0) 处有极大值。 当( x, y) = (0 , 0) 时, z= 0 , 而当( x, y) 1 (0 , 0) 时, z< 0 . 因此z= 0 是函数的极大值。例如，函数z= xy在点(0 , 0) 处既不取得极大值也不取得极小值。 因为在点(0 , 0) 处的函数值为零, 而在点(0 , 0) 的任一邻域内, 总有使函数值为正的点, 也有使函数值为负的点。 以上关于二元函数的极值概念, 可推广到n元函数。 注：关于多元函数极值的概念应注意理解好两个要点： 一是极值点指的是某个区域的内点而不能是边界点。
第十四章 极值和条件极值 在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。 §1 无条件极值 一、基本概念： 设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。 定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。 注：类似可定义极小值（点）。 注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。 类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而： 00(,)|x df x y dx =0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x ?=?。 类似：0(,)|0M f x y y ?=?。 故，若0M 是极值点，则必有 0(,)|M f x y x ?=?0， 0(,)|0M f x y y ?=?。
定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足 0(,)|M f x y x ?=?0，0(,)|0M f x y y ?=?，称0M 为函数),(y x f 的驻点。 定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。 上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如xy y x f u ==),(，则0M (0,0)点为其驻点，但0M 不是极值点。 也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如：x y x f =),(，y 轴上的任一点0M ),0(y 都是其极小值点。事实上， ∈?),(y x M )(0M U ，)(0)(0M f x M f =≥=， 但可验证：偏导数)(0M f x 不存在；事实上 ???<->=-=-→→0 ,10,10lim ),0(),(lim 00x x x x x y f y x f x x ， 故)(0M f x 不存在。 综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证， 就是驻点成为极值点的二阶导数判别法： 设0M 为驻点，记),(),(0000y x f y y x x f u -?+?+=?，则0≥?u 时，0M 应为极小值点；0≤?u 时，0M 应为极大值点。
第四节 二元函数的极值 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例2 ★ 例3 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点 一、二元函数极值的概念 定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导