幂级数练习习题课.docx

考纲要求：①了解彖函数的概念.a 1 1② 结合函y = x, y = x2,y = x3,y = — ,y = x2的图像，了解它们的变化情况.x教材复习1.形如的函数叫做幕函数，其中是自变量，是常数，如MB MM MM MM MM MM MM MM •MM MM MM ■y = x x, y = x?,y =，,y = 2",y = A，y = 2,其中是離函数的有_________________________ ・2函数y = x9y = x^3 y = x1y =y = x'1图像L r r r L0 0定义域值域奇偶性单调性定点.同一坐标系中五种幕函数的图像（右下图）:4.幕函数的特点：①幕函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；②幕函数的图像最多只能出现在两个象限内；® 如果幕函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.④仅的正负：G〉0时，图像过（0,0）和（1,1）,在第一象限的图像上升；&<0时，图像不过原点，盘第一象限的图像下降；⑤曲线在第一象限的凹凸性：Q>1时，曲线下凹；0<a< 1时，曲线上凸；a<0时，曲线下凹.5.在比较幕值大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助单调性进行比较.典例今析:题型一：幕函数的概念及解析式问軀7，⑴下列函数是幕函数的序号是___________® y = 2X;②）'=2才；③ y =（兀+ 2『；④ y = ;⑤ y =/ ］、I /n"（2）已知離函数y = /（x）的图像经过点4丄，则f⑵=A.- B.4C.与 D.迈I 2 丿 4 2题型二：幕函数图像与解析式的对应问龜三，（1）如图给出4个幕函数的图像，则图像与函数大致对应的是D. c <a<b（4）幕函数），=#宀2心（加wz）的图像如图所示，则加的值是A. -1 < /?? < 3B. 0C. 1D. 2（5）若幕函数y =（加—3加+ 3）兀宀”一2的图像不经过原点,求实数加的值.（6）当兀w（l,+oc）时，函数y = x"的图象恒在直线y = x的下方，则°的取值范围是A. 0 <（2 < 1B. a <0C. a <\D. a > 1题型三：幕函数的性质及应用问M 3.（1）下列说法正确的是A.幕函数一定是奇函数或偶函数任意两个舉函数的图像都有两个以上交点；C.如果两个簇函数的图像有三个公共点，那么这两个幕函数相同D图像不经过（-1,1）的幕函数一定不是偶函数（2）已知舉函数/（x）的图象过点（Q2）,舉函数g（兀）的图象过点I 2,-求它们的解析式，并比较它们的大小.问軀乳(1)幕函数的图象过A (3,V3),则它的单调增区间是A. [l,+oo)B. [0,+co)C. (-oo,+oo)D. (-oo,0)B. a> h> c C ・ c> a> h D.h> c> a(3)已知幕函数f(x) = x ,,,2'2,n -3 (m w N*)的图像关于y 轴对称，且在(0,+x)是减函数, 求满足(a + 1)一亍＜(3-2^p 的Q 的取值范围.‘35"2,b =则a.b.c 的大小关系是A. a> c> h(2)设裸后作如1. （ 2013黄冈中学月考）右图为幕函数y 二兀"在第一象限 的图像，则C ］、c 2 > C3、C4的大小为 ____________A. m = -\B. m — 3C.加=—1 或加=2D. m 1 + V34•设a = 0.2°3, b = O.303 , c = 0.3°\ 则 a,b y c 的大小关系是B. a <b <cC. a <c <bD.b <a <c2.幕函数y = （m 2-2m-2）严心当x w （0, +oo ）时为减函数,则实数m 的值为1 <1b<1a3•设一v<<1, 2 迈B. a a <b a <a hC.a h <a a <b aD. a h <h a <a aA. a> b> c 则下列不等式成立的是A. a a< a < b a丄_丄5. （2012杭州模拟）若（a + lp ＜（3-2ap,求a 的取值范围.走向魚老:1. （07广东）若函数/（x ） = x 3 （x G /?）,则函数y = /（—兀）在其定义域上是A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数 D 单调递增的奇函数2. （ 2012陕西文）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 . 14. y = x + lB. y = -x^C. y = —x1 13 （ 2012P 东文）下列函数为偶函数的是A. y = sin xB.C. y = e xD. y = In \lx 2 +1D ・ y = x\x\A.① y = 0, ®y = x2t③y = x2r④ y =iB.① y = x3, ®y = x2r③y = x2t④y = x~}IC.® y = x2,② y = F, ®y = x2 ,④y = x~li iD.® y = X3 ,② y = 2, (3)y = x2 ,④y = x~l(2)函数y = x a,y = x b,y = x c的图像如右上图所示, 则实数a,b,c的大小是A. c <b <aB. a <b <cC. b <c <aI（3）（2013J1海春）函数f（x） = x~^的大致图像是。

题目部分，(卷面共有100 题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择(10小题,共22.0 分)(2 分)[1](2 分)[2] 函数项级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)答( )(2 分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处(A) 发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(3 分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：((2 分)[5] 设级数的收敛半径是1，则级数在点(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(2 分)[6]如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B)当时,收敛；(C)当时,发散；(D)当时,发散；答( )(2分)[7]若幕级数的收敛半径为R,那么(A),(B),(C),(D)不一定存在.答( )(3 分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为(D)当时发散。

( )(2分)[9]如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幕级数的和函数(A)必是，(B)不一定是，(C)不是，(D)可能处处不存在。

(2分)[10]如果能展开成的幕级数，那么该幕级数(A)是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D)是在点处的泰勒级数。

答()。

二、填空(54小题，共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是 ____________________（2分）［2］讨论x值的取值范围，使当_______________ 时收敛当 ________________ 时发散（3分）［3］设级数的部分和函数，级数的通项。

（2分）［4］级数的和是 ____________________________ 。

（2分）［5］级数在上的和函数是。

（3分）［6］设不是负整数，对的值讨论级数的收敛性得当_______________ 时，绝对收敛，当____________ 时，条件收敛。

3.3 幂函数练习一、单选题1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．32D ．22、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝31x3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )4、幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-5、若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )A ．⎣⎡⎭⎫2，167B ．(0，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝()12255a a a x---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )A ．1B ．6C ．2D ．－17、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>>8、已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ CD ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞11、已知幂函数f (x )＝()2231mm m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足2121)()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能12．若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）A ．1-B ．1C ．2D ．3三、填空题13．若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()21221112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2__________.16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题17．已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得139α=，解得2α=-，故()2f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；其函数图象如下所示：数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R)为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.19、已知幂函数f (x )＝21()mm x-+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－12()12m m +-，即122＝2()12mm +-，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝12x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．20、19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.解：(1)因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+212t x -=，11,0123,032x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，(2max 31()(3)33122g t g === 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为1312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。

⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。

13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。

幂级数专题训练解题策略4 利用幂级数的求和公式利用幂级数的求和公式求数列的极限，其原理是： 设有幂级数n n nx a∑∞=1，我们想办法求出其和函数)(x S （怎样求和函数见注解），则)(1x S x ann n=∑∞=，即)( (2211)x S x a x a x a x a n n n n n =++++=∑∞=，令0x x =，则有)(......0020201x S x a x a x a nn =++++，而 )...(lim ......020*********nn n n n x a x a x a x a x a x a +++=++++∞→，于是 )()...(lim 0020201x S x a x a x a nn n =+++∞→，即无穷多项相加的数列的极限求出了。

注解 怎样求幂级数n n nx a∑∞=1的和函数)(x S 呢？一般来说，有这几种情况：（1）若n n nx a∑∞=1是等比级数，则利用等比数列的求和公式即可；例如：级数.....12642++++++n x x x x 是公比为2x q =的等比级数，因此其和为2264211 (1x)x x x x n -=++++++，且12<=x q ； 注意求等比级数的和时，一定要注明公比属于1-和1+之间。

（2）若n n nx a∑∞=1不是等比级数，但将其逐项求导后是等比级数，则先求导变成等比级数求出和函数，再通过积分变回原级数的和函数。

例如，级数 (1)2)1( (7531)21753+--++-+--+n x x x x x n n 不是等比级数，但将其求导后有...)1( (1221)642+-++-+--+n n x x x x 是一个公比为2x q -=的等比级数，于是依据等比级数的求和公式有222164211...)1( (1x)x x x x n n +=+-++-+--+，且12<-=x q （即1<x ）， 于是两边积分有⎰⎰+=+-++-+--+xxn n dx x dx xx x x 0222164211]...)1(...1[，即有x x dx x n x x x x x xx n n arctan arctan 11 (1)2)1( (7530021)21753==+=+--++-+-⎰-+，且1<x 。

1．求下列级数的收敛域： ⑴1()nn nx ∞=-∑；【解】将级数1()nn nx ∞=-∑化为幂级数，得1()nn nx ∞=-∑1(1)nnnn n x∞==-∑，即由1lim n n na a +→∞11(1)(1)lim (1)n n n n n n n ++→∞-+=-(1)lim (1)n n n n n n →∞+=+ 1lim(1)(1)n n n n→∞=++=∞， 得级数1()nn nx ∞=-∑的收敛半径0R =,可知级数1()nn nx ∞=-∑的收敛域为{}0。

⑵124(2)nn x n ∞=⋅∑L ；【解】由1limn n na a +→∞124(2)(22)lim 124(2)n n n n →∞⋅+=⋅L L 24(2)lim 24(2)(22)n n n n →∞⋅=⋅+L L 1lim022n n →∞==+得级数124(2)nn x n ∞=⋅∑L 的收敛半径R =∞,可知级数124(2)nn x n ∞=⋅∑L 的收敛域为(,)-∞+∞。

⑶21(1)nnn x n ∞=-∑；【解】由1limn n na a +→∞1221(1)(1)lim 1(1)n n n n n+→∞-+=-21lim 1(1)n n →∞=+1=，得级数21(1)nnn x n ∞=-∑的收敛半径1R =，当1x =-时，幂级数为211n n∞=∑，为收敛的P 级数（21P =>）， 当1x =时，幂级数为211(1)nn n ∞=-∑，由于211n n ∞=∑为收敛的P 级数，知211(1)n n n ∞=-∑是绝对收敛的交错级数，可知级数21(1)nnn x n ∞=-∑的收敛域为[1,1]-。

⑷21(2)1nn x n ∞=+∑；【解】将级数21(2)1n n x n ∞=+∑化为标准幂级数，得21(2)1n n x n ∞=+∑2121n nn x n ∞==+∑由1limn n na a +→∞1222(1)1lim 21n n n n n +→∞++=+221lim 2(1)1n n n →∞+=++22211lim 211(1)n n n n →∞+=++2=， 得级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径12R =，当12x =-时，级数为21(1)1nn n ∞=-+∑，绝对收敛；当12x =时，级数为2111n n ∞=+∑，收敛，可知级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛域为11[,]22-。