华南师范大学电磁学习题课磁场的源

B dr

B 2r
=
0
r 2 R 2
I
(r R)
L
0 rI
0I
(r R)
(r R)
2R 2
所以 B= 0 I
(r R)
8
2r
0rI (r R) 2R 2
B= 0I 2r
(r R)
在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线
的磁通量为


•• θ
×I
dI Id
••
dθ •• •
•
图1 12
dI Id
它在半圆柱面轴线上产生的磁感应强度为
dB 0dI 0 Id 方向如图2所示 y 2R 2 2 R
由对称性可知，无限长半圆柱面上 电流在其轴线上的磁场必沿y轴,即有
By dBy 0
又
dBx

dB sin

0 Id 2 2 R
s in
所以
于是
Bx B

dBx Bxiˆ


0
By ˆj
0 Id sin 2 2 R

0I 2R
iˆ
d

0I 2R
x
••••d••l•R•d••θ•θ•×•• IdB 图2
13
B

Bxiˆ

By
ˆj

边的距离都是 r 3 a
a
(c)
6
故
BP
3 0I 4r
(cos
6
cos5 )
6

90 I 2a
方向垂直屏幕向内
4
8.5 两平行直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1 = I2 = 20A,如图所示. 求：
(1) 两导线所在平面内与该两导线等距离的一点处的磁 感应强度；
7
8.15 无限长导体圆柱沿轴向通以电流I，截面上各处
电流密度均匀分布，柱半径为R. 求柱内外磁场分布.
在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？
解：由于电流具有轴对称性，所以磁场分
布也具有轴对称性.
I
那么如有图所B示，dr选一B环 2路rL环绕圆柱.
r
L
L
据安培环路定理得
Rd
••d•θ • • •
•
θ
• r
•
• •
dB
dF
• •
dl
•• • • • ••
df

dF dldL
0 j 2 R d 2r

0 j2R 2 2R sin
d

0 j2 4 sin
d
2
2
由对称性可知，单位面积筒壁受的磁力的垂直半径
方向的分量为零，只有沿半径方向的分量.
σS
则极板间的位移电流为
I d

0
de
dt

0
d dt
S
E

dS

0S
dE dt
E
而 E q CU
0 0S 0S
于是
Id
C dU dt
设 U U m cost
所以极板间的位移电流的最大值为
I d max CU m CU m 2 5.5 10 5 ( A)
(cos0 cos )
2

0I 4r
(b)
下面水平段电流在P点处产生的磁感应强度同样可
用课本P246公式(8.3)计算
B2

0I 4r
(cos
2
cos )

0I 4r
半圆形电流在P点处产生的磁感应强度可用课本
P248公式(8.8)按比例计算
B3

0I 1
2r 2

0I
S
B dS

R 0
0 Ir 2R 2
ldr
源自文库 0I l 4
I
dr
rl
9
8.19 如图所示，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共
面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线. 线圈长度
为l，宽为b，近边距长直导线距离为a，长直导线中通 有电流I. 当矩形线圈中通有电流I1时，它受的磁力的 大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？
(2) 通过图中斜线所示面积的磁通量. (设r1=r3=10cm，
l=25cm)
d
解:(1)如图所示，设P点与该两导线
等距离.
I1
由于两载流导线在P点处产生的磁
场大小、方向都相同，故P点处的磁 r1 感应强度大小为
BP

2
0I 2d / 2

4.0 10 5
(T )
• P l I2
r2 r3
磁场的源 习题、例题分析
+
8.1 求下面各图中P点处的磁感应强度B的大小和方向.
I
I
I
a
•P
(a)
r
P• I
r I
(b)
I
P•
a
(c)
解:(1) (a)图中水平段电流在P点处不产生磁场，即
B1=0. 对于竖直段电流在P点处产生的磁感应强度可 用课本P246公式(8.3)计算.
B2

0I 4a
(cos
方向垂直屏幕向外
5
(2) 由于对称性，两载流导线在图中
d
斜线所示面积产生的磁通量相同.
I1在图中斜线所示面积产生的磁 I1 r dr l I2 通量，可作如下计算.
在图中斜线所示面积中取一面积元， r1 r2 r3
该面积元到I1的距离为r，宽度为dr,取 这面积元的正方向为向外.
那么，
d1
I1

解:(1)矩形线圈各边受力情况如图所示.
F3
据安培力公式可得
F1

B1 I 1l

0I 2a
I1l
方向向左
I I1 F1 a
l F2
F2
B2 I1l

0I 2 (a
b)
I1l
方向向右
b F4
由对称性可知，F3、F4大小相等、方向相反,叠加为零.
故矩形线圈受的磁力大小为
F

F1

F2

I1 r dr l I2 所以通过图中斜线所示面积的磁
通量为
r1
r2 r3
21 2.2 10 6 (Wb )
讨论 有人作如下计算，是否正确？
2 r1r2 0 I1 ldr 2 0 I1 ln r1 r2
r1
2r
2
r1
2.2 10 6 (Wb )
和方向.
解：在筒壁上取一宽为dl，长为dL的 电流元dI，在与其相距为r的筒壁上 取另一宽为Rdθ的无限长的电流元dI´.
这一宽为Rdθ的无限长的电流元dI´
Rd
r dl
dI
j
dL
dI
在宽为dl，长为dL的电流元dI处产生的
磁感应强度为dB，且产生的磁力为dF， dB， dF的方向如图所示.
则有 dB 0dI 0 jRd 2r 2r
大载流平面的电流方向应如图所示. B1
B2
这无限大载流平面在其两侧产生的磁感应强度大小
分别为B左和B右，B左=B右＝Bj，方向如图所示.
Bj

0 j
2
23
Bj

0 j
2
因此有
B1

B0
Bj

Rd
••d•θ • • • •• •
•
θ
d•rF• ••••
• • ••
dB dl
dF dI dL dB jdl dL 0 jRd 0 j 2 R ddldL
2r
2r
dF 0 j 2 R ddldL 方向指向dI´ 2r
那么，电流元dI´使单位面积筒壁受 的磁力大小为
0 II1lb 2a(a b)
F

F1

F2

0 II1lb 2a(a b)
F
的方向向左
由于各力与线圈共面，所以对线圈 无力矩作用.
F3
I I1 F1 a
l F2
b F4
11
8.23 如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面
导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的
电流等值反向，电流I在半圆柱面上均匀分布.
yI •
I×
d
令 0I 2 0I 2 2d 2 R
解得 d R
2
图4
14
8.29 在一对平行圆形极板组成的电容器(电容为
C=1×10－12F)上，加上频率为50Hz，峰值为1.74
×105V的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值.
解：设极板的面积为S，面电荷密度
为σ,极板间的电场强度为E.
(1) 试求轴线上导线单位长度所受的力；
I
(2) 若将另一无限长直导线(通有大小、方向 I
与半圆柱面相同的电流I)代替圆柱面，产生
同样的作用力，该导线应放在何处？
解: (1)如图1所示，建立xoy坐标系，并在在
x
这半元一圆. 电柱流面元上的取电一流弧为长为dl=Rdθ的无限长电y 流•••d•lR• •
l1
I A l2
O•
2
I2 CI
又据并联电路的特点有 I1R1 I 2 R2
而
R1


l1 S
，
R2


l2 S
由以上各式得 I1l1 I 2l2
因此 B1 B2 由于B1和 B2方向相反，所以环中心O处的磁感应强
度为零. 17
8.14 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密
0I 2R
iˆ
由安培力公式可得轴线上导线单位 y
长度所受的力为
f
Il B IBˆj
0I 2
ˆj
2R
x
f ••••d••l•R•d••θ•θ•×•• BI
图3
(2) 如图4所示，将另一无限长直导线(通有
x
大小、方向与半圆柱面相同的电流I)代替
圆柱面，产生同样的作用力. 设该导线位 于y轴上，并与轴线上的导线相距为d.
4r
3

由于 B1、B2、B3 方向相同，都是垂
直屏幕向内，故据磁场叠加原理可得P
I
r
P• I
点处的磁感应强度为
r
Bp

B1

B2

B3
2
0I 4 r

0I
4r
I
(b)
0 I ( 2 1) 方向垂直屏幕向内
4r
I
(3) 由于对称性，(c)图中各段电流在P点处产 P•
生的磁场的大小、方向都相同. 因为P点到各
2
cos )

0I 4a
方向垂直屏幕向外.
据磁场叠加原理可得 方向垂直屏幕向外.
BP

B1

B2

0I 4a
2
(2) 图(b)中各段电流在P点处产生的磁 I
场的方向都是垂直屏幕向内. 上面水平段电流在P点处产生的磁
r
P• I
r
感应强度可用课本P246公式(8.3)计算
I
B1

0I 4r
方向如图所示
两板外的磁感应强度大小为 B B1 B2 0
18
8.18 一塑料圆盘，半径为R，表面均匀分布电量 q. 试
证明：当它绕通过盘心而垂直于盘面的轴以角速度ω
转动时，盘心处的磁感应强度为

B 0q 2R
证明:在圆盘中取一半径为r，宽度 dr 为dr的细圆环.
当这细圆环以ω的角速度绕通过盘心 且垂直于盘面的轴旋转时，其在盘心处 产生的磁感应强度大小为
15
8.4 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流 方向如图所示. 求环中心O处的磁感应强度是多少？
解：这是一个并联电路. 设两支路的 弧长分别为l1和l2，通过的电流分别 为I1和I2，又设环的半径为r.
两根长直导线在环中心O处的磁场都 为零.
I1 1
l1
I A l2
O•
2
I2 CI
I1在环中心O处的产生的磁感应强度大小为
q
r •O
R
dB 0dI
2r
0 2rdr
2r T
0qdr 2R 2
19
dB

0qdr 2R 2
积分可得
B

R 0
0qdr 2R 2
0q 2R

q
dr
r •O
R
20
8.20 一无限长薄壁金属筒，沿轴线有均匀电流流通，
面电流密度为j(A/m). 求单位面积筒壁受的磁力的大小
df //

df

sin 2

0 j2 4
d
单位面积筒壁受到的磁力
f f//
df //
2 0 j 2 0 4
d

0 j2
2
方向沿半径 指向筒轴线
22
8.21 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀
磁场中，电流方向与此磁场垂直. 已知平面两侧的磁感
解为载右应积由边 所： 流B强0于，的设平受度将磁原面方的分场来 放一向磁别比均 入均如场为左匀 均匀图力B1边磁 匀分和所的的场磁示大布B2磁的场小(着.如场磁后和电图强感，方流所，应使向的示故强得无.)，无度平限求限面大该载BB左流0 平× ××× ××× × ×j面单BB位0右 面
在这面积元产生的磁通量大小为
B dS

BdS

0 I1
ldr
2r
积分可得I1在图中斜线所示面积产生的磁通量
1
r1r2 0 I1 ldr 0 I1 ln r1 r2
r1 2r
2
r1
1.110 6 (Wb )
6
1 1.110 6 (Wb )
d
度都是j，但方向相反. 求板间和板外的磁场分布.
解：本题可利用已知场强公式和磁
B
场叠加原理来解.
j
j
据课本p262公式(8.26)可得每块板的 • ×
电流在其两侧产生的磁感应强度大小
都是
B1

B2

0 j
2
因此据磁场叠加原理可得
B1 B2 B1 B2 B1 B2
1
2
两板间的磁感应强度大小为 B B1 B2 0 j
B1

0 I1
2r

l1
2r

0 I1l1 4r 2
方向垂直屏幕向外
I2在环中心O处的产生的磁感应强度大小为
B2

0I2
2r

l2
2r

0 I 2l2 4r 2
方向垂直屏幕向内
16
B1

0 I1l1 4r 2
方向垂直屏幕向外
B2

0 I 2l2 4r 2
方向垂直屏幕向内
I1 1