1.1集合的概念与运算

第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念及运算已知数集A＝{0，1，x＋2}，那么x的取值集合为() A．{x⎪⎪⎪x≠－2} B．{x⎪⎪⎪x≠－1}C．{x⎪⎪⎪x≠－2且x≠－1} D．x∈R下列判断正确的命题个数为()①a∈{a}; ②{a}∈{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}; ④∅⊆{0}；A．1个B．2个C．3个D．4个集合A＝{1，2，3}的非空真子集的个数为()A．3个B．6个C．7个D．8个设全集U＝R，A＝{x⎪⎪x<1}，B＝{x⎪⎪x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围为()A．m<1 B．m≤1 C．m>1 D．m≥1已知{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为____________ .设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝____________；A∪B＝____________；A∪∁U B＝____________．【知识导图】【知识梳理】集合与元素(1)集合中元素的三个特征：______、______、______．(2)元素与集合的关系是____或______两种，用符号__或____表示． (3)集合的表示法：______、______、______． (4)常见数集的记法集合间的基本关系集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为____________．【跟踪反馈】(2020·江苏模拟)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a2019＋b2019＝____________.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92 B.98C．0D．0或98知识点二集合的基本关系(2019·安徽三模)已知集合A＝{x|x(x－2)<0}, B＝{x⎪⎪ln x>0}，则A∩B是( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x<2}C．{x⎪⎪x>0} D．{x⎪⎪x>2}【跟踪反馈】(2019·广东三模)已知集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则集合A∪B＝( )A．{x|x<1} B．{x|x>－2}C．{x|0<x<1} D．{x|－2<x<1}已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为____________．知识点三集合中的新定义问题(1)(2020·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝() A．{0，1} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}(2)若对任意的x∈A，有1x∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为____________．【跟踪反馈】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝____________.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |2x ＜1}，则如图1-1-1所示阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜6}D ．{x |x ＜－1}图1-1-1一、选择题已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B(2019·石嘴山三模)已知集合P＝{－1，1}，集合Q＝{x∈N|x<3}，则P∪Q ＝( )A．{－1，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}(2019·海南三模)设集合A＝{a，a＋1}，B＝{1，2，3}，若A∪B的元素个数为4，则a的取值集合为( )A．{0} B．{0，3}C．{0，1，3} D．{1，2，3}已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0＋∞)(2020·沈阳模拟)已知全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则如图1-1-2所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3，7}D ．{1，3，5}图1-1-2(多选)设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x |1x ＜2，则下列结论中正确的是()A ．NM B ．M NC ．M ∩N ＝M D. M ∩N ＝N二、填空题(2020·江苏模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝____________.(2019·江苏卷)集合{－1，0，1}共有____________个子集．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为____________．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝____________，A∩B的子集个数为____________．三、解答题(2020·江苏模拟)已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a的值．(2020·江苏模拟)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【B 组】 提升篇一、选择题(2019·安徽三模)设集合A ＝{x ∈N |x 2－4x －5<0}，集合B ＝{y |y ＝4－x ，x∈[2，4]}，则A ∩B 等于( )A ．{1，2}B ．{3，4}C ．∅D ．{0，1，2}(2020·湖南模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝( )A ．[－3，1)B ．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)(多选)已知集合P ＝{2，3，4，5，6}，Q ＝{3，5，7}．若M ＝P ∩Q ，则下列结论正确的有( )A ．集合M 中有2个元素B ．集合M 的真子集个数为3C ．集合M 的子集个数为3D ．集合M 的子集个数为4二、填空题若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，集合B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，若全集U＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，则实数m 的取值范围是____________．若＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a ＝____________，a2020＋b2020的值为____________．三、解答题若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．C因为集合的元素满足互异性，所以x＋2≠0且x＋2≠1，得x≠－2且x≠－1，故选C.C①集合的表示方法，正确；②两个集合之间的关系，不正确；③正确；④∅是任何集合的子集，正确，故选C.B若一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，则非空真子集的个数为2n－2，故选B.A因为集合A＝{x⎪⎪x<1}，所以集合∁U A＝{x⎪⎪⎪x≥1}，又∁U A⊆B，所以m<1，故选A.，全集与补集的性质．8问题可转化为求集合{3，4，5}的子集个数，即集合A的个数为8.{x|2＜x≤3}；{x|1≤x＜4}；{x|x≤3或x≥4}在数轴上分别表示出集合A，B，∁U B，即得∁U B＝{x≤2或x≥4}．交集与并集的概念；②交集与并集的运算和性质．集合与元素确定性、互异性、无序性．属于或不属于∈或∈/列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合间的基本关系A B(或B A)集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示－32因为3∈A ，所以m ＋2＝3或者2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3时，m ＝1，此时m ＋2＝2m 2＋m ，不成立，舍去．当2m 2＋m ＝3时，m ＝1(舍去)或者m ＝－32 ，此时集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3.综上所述，满足条件的实数m ＝－32.确定元素与集合之间的关系，注意检验集合是否满足元素的互异性． 【跟踪反馈】－1由条件得ba ＝0，所以b ＝0.因此{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，所以a ＝－1.所以a2019＋b2019＝－1.D知识点二 集合的基本关系A因为集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x ⎪⎪x >1}，所以A ∩B ＝{x ⎪⎪1<x <2}，故答案选A.判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【跟踪反馈】B因为集合A ＝{x |－2<x <1}，所以A ∪B ＝{x ⎪⎪⎪x >－2}，故选B.m ≤1当m ≤0时，B ＝∅；当m ＞0时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，－m ≥－1，得0＜m ≤1.所以m ≤1.知识点三 集合中的新定义问题(1)D ；(2)7(1)A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |2<x <5}，所以A －B ＝{0，1，2，5}． (2)具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1，1}，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12，2，共7个．(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则【跟踪反馈】{0}∪[2，＋∞)A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞).CA＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x＜0}，阴影表示数字集合A∩(∁U B)，而∁U B＝{x|x≥0}，所以A∩(∁U B)＝{x|0≤x＜6}．故选C.C因为集合A＝{y|y≥－1}，所以A∩B＝{x|x≥2}＝B，A∪B＝{x|x≥－1}＝A，故选C.B因为集合Q＝{0，1，2}，所以P∪Q＝{－1，0，1，2}，故选B.B若a＝0，则A∪B＝{0，1，2，3}共4个元素；若a＝1，则A∪B＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝2，则A ∪B ＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝3，则A ∪B ＝{1，2，3，4}共4个元素．所以a ＝0或a ＝3，故选B.D因为A ⊆B ，则a >0，故选D.B将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为{7}．故选B.BC因为集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x ≤0，所以M N ，故选B ，C二、填空题0或98因为集合A 只有一个元素，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，（－3）2－8a ＝0，得a ＝0或a＝98.8元素个数为n的集合的子集个数为2n.－32∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3；当m＋2＝3时，m＝1，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性，m＝1不合题意(舍去)；当2m2＋m＝3时，m＝1(舍去)或m＝－32，m＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3，符合题意，综上m＝－3 2.{1，6}；4因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．三、解答题2因为∁U A ＝{5}，∴5∈U ， ∴a 2＋2a －3＝5，a 2＋2a －8＝0，∴a ＝2或a ＝－4.a ＝2时，|2a －1|＝3满足题设；a ＝－4时，|2a －1|＝9∈/ U ，舍去．所以a 的值为2.(1){x |－2<x <3}；(2)(－∞，－2]；(3)[0，＋∞)(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B知⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，由A ∩B ＝∅得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．【B 组】 提升篇一、选择题D因为集合A ＝{0，1，2，3，4}，集合B ＝{x ⎪⎪⎪0≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0，1，2}，故选D.D由x ＋31－x≥0，得(x ＋3)(x －1)≤0且x ≠1，∴A ＝{x |－3≤x ＜1}，∴∁R A ＝(－∞，－3)∪[1，＋∞)．故选D.ABD因为P ∩Q ＝{3，5}，所以集合M 的子集个数为4，真子集个数为3.故选A ，B ，D .二、填空题(－∞，3]∵集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，全集U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ≤5－m 或x ≥2m －1}，∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，5－m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，2m －1≤－4，解得2＜m ≤3；当B ＝∅时，5－m ≥2m －1，m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，3]．1；1因为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2020＋b 2020＝1.三、解答题m ∈(－∞，－1]∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0，0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0，2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0，2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0，2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0，2]上有解．又∵当x ∈(0，2]时，1x ＋x ≥2(当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”)，∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．。

§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若则），则称A a ∉B a ∈集合A 为集合B 的子集，记为A B 或B A ；如果A B ，并且A B ，这时集合A 称为集⊆⊇⊆≠合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A B 、B A ，则A=B.⊆⊇5.补集：设A S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，⊆记为 .A C s 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B.⋂8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B.⋃9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.Φ10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理*数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和⊆⊇⊆“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间⊇∈∉的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =易漏掉的情况.Φ5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1n 2n2三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组 得 或 ∴选B⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}{}{}21或[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又∈∈{}Z a a x x ∈=,2|{}Z a a x x ∈+=,12|C=，则有： （ ）{}Z a a x x ∈+=,14|A ．m +n A B. m +n B C.m +n C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个∈∈∈错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C∈Z ∈∈错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m A, ∴设m =2a 1,a 1Z , 又∵n ,∴n =2a 2+1,a 2 Z ,∈∈B ∈∈∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2 Z , ∴m +n B, 故选B.∈∈[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须 3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－．21点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则A ，且1∉A.a -11∈1≠a ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.a1⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒∈A ⇒ 2∈A 21∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即＝012+-a a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ ∈A ⇒ ∈A ⇒A ，即1－∈A a -11a --1111111---a a ∈a 1⑷由⑶知a∈A 时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.a-11a 1a 1a -11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠a -11a-11②若a=1－，即a 2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1a1 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a 1a -11a 1a -11综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={|=,∈N +}，集合B={|=,∈N +}，试证：a a 12+n n b b 542+-k k k A B ．证明：任设∈A，a 则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N +),a 12+n n n n ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1，而由{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈B={|=,∈N +}={|=，∈N +}知1∈B，于是A≠B b b 542+-k k k b b 1)2(2+-k k ②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x∈ Z}，则A∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－ }C ．{±2，± }D ．{，－}55553. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．P Q5．若集合M ＝｛｝，N ＝{|≤}，则M N ＝（ ）11|<xx x 2x x A ． B ．}11|{<<-x x }10|{<<x x C ． D ．}01|{<<-x x ∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设，函数若的解集为A ，a R ∈2()22.f x ax x a =--()0f x >，求实数的取值范围。

第一章 集合与简易逻辑１ 集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。

（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法； （4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ； （5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ； （6）常用数集：自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。

*N N Z Q R ⊂⊂⊂⊂1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 1.3 真子集（1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 （1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（2）U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=（3）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

第1讲：集合及运算1.1集合的概念一．基本概念1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．二．典例分析考点1：集合的基本概念例1.下列各组对象能构成集合的有：①平面内到点O(坐标原点)的距离等于1的点；②的近似值；③高一年级中年龄比较大的学生；④1，2，3，1．A．1组B．2组C．3组D．4组考点2：元素和集合的关系例2.（1）下列说法正确的是（）A．B．C．D．（2）.已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4考点3：用列举法表示集合例3.方程组的解构成的集合为（）A．B．C．D．练习1.用列举法表示集合10|,1M m Z m Zm⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________．2.用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集；（3）方程x2+2x–15=0的解．1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．考点4：用描述法表示集合例4.集合是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点练习1.平面直角坐标系中纵轴上的点的坐标组成的集合为________．2.用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x ∈R.考点5：忽略集合中元素的互异性例5.若，则a =（ ）A ．B ．0C ．1D ．0或1练习1.已知，且，则实数的取值集合是______．2.设集合，{}23,21,1B a a a =--+，，求的值．1.2集合间的基本关系一．基本概念1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．二．典例分析考点1：集合间关系的判定例题1.已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则A．B．C．D．【练习】1.设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（）A．B．C．D．2.已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．小结：判断集合关系的方法有三种：(1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．考点2：有限集合的子集确定问题例题2.已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．16 B．15 C．8 D．7【练习】1.已知集合，则的真子集共有（）个A．3 B．4 C．6 D．72.集合的真子集的个数是．小结1．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．考点3：由集合间的关系求参数的值和范围例题3.已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．{0,2}【练习】1.集合，若，则a 的取值范围为________.2.已知集合，，.是否存在a ，使？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.小结：(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围． 【练习题】1已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若，则等于（ ）A ．或3B ．0或C ．3D ．2.设，，，则A ，B 的关系是________.3.已知集合，，则集合与集合的关系是__________． 4.集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5.已知集合，，求满足的实数的取值范围.6.设集合，或，若，求实数p 的取值范围．1.3集合的基本运算一．基本概念1．并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言2．并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A3．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集4.补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言二．典例分析考点1.并集的概念及运算例题1已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【练习】1.已知集合，，则________．2.已知集合{0,1}A =，，则中的元素个数为________.【小结】并集运算应注意的问题(1)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． (2)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．考点2.交集的概念及其运算例题2.已知集合，，则为（ ） A ．或B ．或C ．或D ．或【练习】1.已知集合，则________.2.已知集合，{}2,3B a a =+，若则实数的值为________考点3.集合交集、并集运算的性质及应用例题3.已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若，则（ ） A ．或B ．或C ．或D ．或【练习】1.设集合，．若，则 ( )A ．B ．C ．D ．2.已知若,则实数的值为( )A ．0或1或2B ．1或2C ．0D ．0或1【小结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A ∪B ＝B ，A ∩B ＝A 等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ．(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解． 练习题 1.集合，{|}B x x a =<． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围．2.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________ 4.设集合，，则（ ） A ． B ． C ．D ．或考点4.补集的基本运算例题4.设，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则（ ） A ．B ．C ．D ．【练习】1.已知集合，则_____2. 设全集，集合，则=__________．考点5. 交集、并集、补集的综合运算例题5.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．练习.1设全集U =R ，A ={x |﹣3＜x -1＜3}，B ={x |﹣2≤x +1≤3} （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B ．2.已知集合R B C A x x B a x x A R =⋃<<=<=)(},31|{},|{若,求实数a 的取值范围.3.已知集合},,|{}12|{a x a x x B a x x A ≥-≤=+<<-=或，若R B A =⋃,求实数a 的取值范围.总练习题.1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．12．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4} 3．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤< 4．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤5．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ） A ．∅ B ．S C ．T D ．Z 6．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．48．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．49．设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.10．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.11．若集合{}5|3A x x =-≤≤和{}232|B x m x m =-+≤≤. （1）当3m =-时，求集合A B ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值集合.12．已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =． （1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．。

专题一集合与常用逻辑用语【真题典例】1.1集合的概念及运算挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.集合的含义与表示1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2018课标Ⅱ,2集合中元素个数的判断集合间的基本关系、集合的基本运算★☆☆2.集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集2011北京,1集合间的基本关系二次不等式的解法★☆☆2.在具体情境中,了解全集与空集的含义3.集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集3.能使用韦恩(Venn)图表示集合间的关系及运算2018北京,12017北京,12016北京,12016北京文,142015北京文,12014北京,12013北京,1集合的交、并、补运算不等式和方程的解法★★★分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一集合的含义与表示1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4答案 A2.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10答案 D考点二集合间的基本关系3.已知集合A={0,a},B={x|-1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.-1B.0C.1D.2答案 C4.若集合A={x|0<x<1},B={x|x2-2x<0},则下列结论中正确的是()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A答案 C考点三集合的基本运算5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则(∁U A)∩B=()A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D.{1,3,5,6}答案 B6.若集合A={x|-3<x<1},B={x|x<-1或x>2},则A∩B=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-3<x<-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<2}答案 B7.设全集U={x|x<5},集合A={x|x-2≤0},则∁U A=()A.{x|x≤2}B.{x|x>2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x<5}答案 C8.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C炼技法【方法集训】方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=()A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B2.(2014重庆,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.答案{7,9}方法2集合间的基本关系的解题方法3.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是()A.M=NB.M∩N=NC.M∪N=ND.M∩N=⌀答案 B方法3解决与集合有关的新定义问题的方法4.S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆{1,2,3,4,5},若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是()A.10B.11C.12D.13答案 B过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案 A2.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A3.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案 C4.(2014北京,1,5分)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}答案 C5.(2013北京,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案 B6.(2011北京,1,5分)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 C7.(2016北京文,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.答案①16②29B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一集合的含义与表示(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案 C考点二集合间的基本关系(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案 D考点三集合的基本运算1.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案 A2.(2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1},B={(x,y)|y=x},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B3.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A ∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 答案 C4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ) A.(-3,-32) B.(-3,32) C.(1,32) D.(32,3) 答案 D5.(2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z },则A ∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案 C6.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A ∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 答案 A7.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 答案 D8.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x 2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A ∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 答案 A9.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A ∩B= . 答案 {1,8}C 组 教师专用题组1.(2018天津,1,5分)设全集为R ,集合A={x|0<x<2},B={x|x ≥1},则A ∩(∁R B)=( ) A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 答案 B2.(2017山东,1,5分)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x ∈R |-1≤x ≤5} 答案 B4.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P ∪Q=( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A5.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈A},则A ∩B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D6.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案 C7.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B8.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案 C9.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]答案 C10.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案 B11.(2014陕西,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B12.(2014四川,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A13.(2014山东,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=()A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案 C14.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D15.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A 中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].M(α,β)=12(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=1[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,2[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.M(α,β)=12(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.16.(2014北京,20,13分,0.23)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.思路分析(1)根据题目中所给定义和已知的数对序列,直接求值;(2)利用最小值m的不同取值,对求出的结果比较大小;(3)依据数对序列的顺序对结果的影响,写出结论.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.17.(2016北京,20,13分)设数列A:a1,a2,…,a N(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有a k<a n,则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;(2)证明:若数列A中存在a n使得a n>a1,则G(A)≠⌀;(3)证明:若数列A满足a n-a n-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于a N-a1.解析(1)G(A)的元素为2和5.(2)证明:因为存在a n使得a n>a1,所以{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1}≠⌀.记m=min{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1},则m≥2,且对任意正整数k<m,a k≤a1<a m.因此m∈G(A).从而G(A)≠⌀.(3)证明:当a N≤a1时,结论成立.以下设a N>a1.由(2)知G(A)≠⌀.设G(A)={n1,n2,…,n p},n1<n2<…<n p.记n0=1,则a n0<a n1<a n2<…<a np.对i=0,1,…,p,记G i={k∈N*|n i<k≤N,a k>a ni}.如果G i≠⌀,取m i=min G i,则对任何1≤k<m i,a k≤a ni <a mi.从而m i∈G(A)且m i=n i+1.又因为n p是G(A)中的最大元素,所以G p=⌀.从而对任意n p≤k≤N,a k≤a np ,特别地,a N≤a np.对i=0,1,…,p-1,a ni+1-1≤a ni.因此a ni+1=a ni+1-1+(a ni+1-a ni+1-1)≤a ni+1.所以a N-a1≤a np -a1=∑i=1p(a ni-a ni-1)≤p.因此G(A)的元素个数p不小于a N-a1.思路分析(1)先理解G时刻的新定义,然后对(1)中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律;(2)根据a n>a1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.18.(2015北京,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数. 如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.思路分析 (1)利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M 的所有元素;(2)利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;(3)根据a n 的范围,分a 1是3的倍数和a 1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M 的元素个数的最大值.19.(2014天津,20,14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. 解析 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得 s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.评析本题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前n 项和公式,不等式的证明等基础知识.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.20.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =a t 1+a t 2+…+a t k .例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k},求证:S T <a k+1; (3)设C ⊆U,D ⊆U,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D . 解析 (1)由已知得a n =a 1·3n-1,n ∈N *.于是当T={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1. 又S T =30,故30a 1=30,即a 1=1.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)因为T ⊆{1,2,…,k},a n =3n-1>0,n ∈N *, 所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,S T <a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E=C ∩∁U D,F=D ∩∁U C,则E ≠⌀,F ≠⌀,E ∩F=⌀. 于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l.由(2)知,S E <a k+1.于是3l-1=a l ≤S F ≤S E <a k+1=3k,所以l-1<k,即l ≤k.又k ≠l,故l ≤k-1.从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=3l -12≤3k -1-12=a k -12≤S E -12, 故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1.综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共75分)1.(2019届北京顺义一中10月月考文,1)设全集U=R ,A={x ∈N *|1≤x ≤10},B={x ∈R |x 2+x-6=0},则下图中阴影部分表示的集合是( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}答案 A2.(2018北京门头沟一模,1)设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=()A.{0,4}B.{1,5}C.{0,2,4}D.{2,0,5}答案 C3.(2019届北京潞河中学10月月考文,1)已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若B⊆A,则m=()A.0B.2C.0或2D.1或2答案 C4.(2019届北京潞河中学10月月考,1)已知集合A={-1,0,1},B={x|x2<1},则A∩B=()A.{-1,1}B.{0}C.{-1,0,1}D.{x|-1≤x≤1}答案 B5.(2018北京顺义二模,1)设集合A={x|x2+3x+2=0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2}答案 A6.(2018北京房山一模,1)若集合M={-1,0,1,2},N={y|y=2x+1,x∈M},则集合M∩N等于()A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,3,5}D.{-1,0,1,2}答案 A7.(2019届中央民大附中10月月考,1)已知全集U=R,M={x|x≤1},P={x|x≥2},则∁U(M∪P)=()A.{x|1<x<2}B.{x|x≥1}C.{x|x≤2}D.{x|x≤1或x≥2}答案 A8.(2019届北京牛栏山一中期中,1)已知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x2-1>0},那么A∩∁U B=()A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x<2}答案 B9.(2019届北京十四中10月月考,1)设集合M={x|0≤x<3},N={x|x2-3x-4<0},则集合M∩N等于()A.{x|0≤x<3}B.{x|0≤x≤3}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x<1}答案 A10.(2019届北京一零一中学10月月考,1)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|x2-x-2<0},则(∁R A)∩B=()A.(-1,0]B.[-1,2)C.[1,2)D.(1,2]答案 C11.(2018北京东城二模,1)若集合A={x|-1<x<2},B={x|x<-2或x>1},则A∪B=()A.{x|x<-2或x>1}B.{x|x<-2或x>-1}C.{x|-2<x<2}D.{x|1<x<2}答案 B12.(2018北京石景山一模,1)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案 A13.(2018北京朝阳二模,1)已知集合A={x|log 2x>1},B={x|x ≥1},则A ∪B=( )A.(1,2]B.(1,+∞)C.(1,2)D.[1,+∞)答案 D14.(2018北京一六一中学期中,1)已知全集U=R ,集合A={x|y=√x -1},B={x|x 2-2x<0},则A ∪B=( )A.{x|x>0}B.{x|x ≥0}C.{x|0<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 A15.(2019届北京海淀期中,1)已知集合A={x|x-a ≤0},B={1,2,3},若A ∩B ≠⌀,则a 的取值范围为( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)答案 B 二、填空题(每小题5分,共5分)16.(2019届北京潞河中学10月月考,16)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个说法:①a=2,②b≠2,③c=3,④d≠4中有且只有一个是正确的,则满足上述条件的一个有序数组(a,b,c,d)可以是 ,符合条件的全部有序数组(a,b,c,d)的个数是 .答案 (1,2,3,4)(答案不唯一,例如(1,2,4,3),(1,3,2,4),(3,1,2,4),(3,2,4,1),(4,2,1,3));6三、解答题(共20分)17.(2019届北京四中期中,15)已知集合A={x ∈R|6x+1≥1},B={x ∈R |x 2-2x-m<0}. (1)当m=3时,求A ∩(∁R B);(2)若A ∩B={x|-1<x<4},求实数m 的值.解析 由6x+1≥1,得x -5x+1≤0,∴-1<x ≤5,∴集合A={x|-1<x ≤5}.(1)当m=3时,B={x|-1<x<3},则∁R B={x|x ≤-1或x ≥3},∴A∩(∁R B)={x|3≤x ≤5}.(2)∵A={x|-1<x ≤5},A ∩B={x|-1<x<4},∴4为方程x 2-2x-m=0的一个根,即42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,故实数m 的值为8.18.(2019届北京牛栏山一中期中,20)已知集合S n ={X|X=(x 1,x 2,…,x n ),x i ∈{0,1},i=1,2,…,n(n ≥2)}.若A=(a 1,a 2,…,a n )∈S n ,B=(b 1,b 2,…,b n )∈S n ,定义A 与B 的差为A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,…,|a n -b n |),A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑i=1n |a i -b i |. (1)当n=5时,试写出满足d(A,B)=3的一组A 和B;(2)∀A,B,C ∈S n ,证明:A-B ∈S n ,d(A-C,B-C)=d(A,B);(3)∀A,B,C ∈S n ,证明:d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.解析 (1)A=(1,1,1,0,0),B=(0,0,0,0,0).(2)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,因为a i ,b i ∈{0,1},所以|a i -b i |∈{0,1}(i=1,2,...,n),故A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,...,|a n -b n |)∈S n .又d(A-C,B-C)=∑i=1n||a i -c i |-|b i -c i ||, 由题意知a i ,b i ,c i ∈{0,1}(i=1,2,...,n).当c i =0时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|a i -b i |;当c i =1时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|(1-a i )-(1-b i )|=|a i -b i |,所以d(A-C,B-C)=∑i=1n|a i -b i |=d(A,B). (3)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h. 记O=(0,0,...,0)∈S n ,由(2)可知,d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(O,B-A)=k,d(A,C)=d(A-A,C-A)=d(O,C-A)=l,d(B,C)=d(B-A,C-A)=h,所以|b i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为k,|c i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为l.设t 是当|b i -a i |=|c i -a i |=1成立时i 的个数,则h=l+k-2t,由此可知,k,l,h 三个数不可能都是奇数,即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.评析对于集合中的新定义问题,应该首先把新的概念分析透彻,然后静下心来,慢慢地从第(1)问开始,由浅入深的分析.。

1.1 集合的概念及运算五年高考考点1 集合的含义与表示1．（2013山东．2，5分）已知集合},2,1,0{=A 则集合-=x B {},|A y A x y ∈∈中元素的个数是 ( )1.A 3.B 5.C 9.D2．（2012课标全国，1，5分）已知集合==B A },5,4,3,2,1{},,,|),{(A y x A y A x y x ∈-∈∈则B 中所含元素的个数为 ( )3.A 6.B 8.C 10.D3．（2011广东．2，5分）已知集合y x y x A ,|),{(=为实数，且2x },12=+y |),{(y x B =x ，y 为实数，且},x y =则B A的元素个数为 ( ) 0.A 1.B 2.C 3.D4．（2011福建，1,5分）i 是虚数单位，若集合},1,0,1{-=S 则 ( )S i A ∈. s i B ∈2. S i C ∈3. s iD ∈2. 5．（2010福建．9，5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合},,,{d c b a S =具有性质“对任意,,S y x ∈必有”，s xy ∈则当⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅==b c c b b a 22*,,1,1d +等于 ( )1.A 1.-B 0.C i D .考点2 集合问的基本关系1．（2012江西，1，5分）若集合},2,0{},1,1{=-=B A 则集合,|{y x z z +=},B y A x ∈∈中的元素的个数为 ( )5.A 4.B 3.C 2.D2．（2011北京，1,5分）已知集合}.{},1|{2a M x x P =≤=若,P M P = 则a 的取值范围是 ( )]1,.(--∞A ),1.[+∞B ]1,1[-⋅c ),1[]1,.(+∞--∞ D 3．（2011辽宁．2,5分）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若=∅=N wJM M C NI , ( )M A . N B . I C . ∅.D4．（2010天津．9,5分）设集合|{},,1|||{x B R x a x x A =∈<-=}.,2||R x b x ∈>-若,B A ⊆则实数a 、b 必满足 ( )3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D5．（2013江苏，4，5分）集合}1,0,1{-共有____个子集， 考点3集合的基本运算1．（2013广东．1,5分）设集合=∈=+=N R x x x x M },,02|{2,02{2=-x xix },R x ∈则=N M( ) }0.{A }2,0.{B }0,2.{-C }2,0,2.{-D2．（2013四川．1,5分）设集合},02|{=+=x x A 集合2|{x x B ===-B A则},04 ( ) }2{-⋅A }2.{B }2,2.{-C ∅.D3．（2013浙江．2,5分）设集合-+=->=x x x T x x s 3|{},2|{2},04≤则（=T s C R) ( ) ]1,2.(-A ]4,.(--∞B ]1,.(-∞C ),1.[+∞D4．（2013辽宁．2,5分）已知集合x x B x o x A |{},1.10|{=<<=},2≤则=B A( ) )1,0.(A ]2,0.(B )2,1.(C ]2,1.(D5．（2013天津．1,5分）已知集合∈=≤∈=x B x R x A {},2|{|{},1|≤x R 则=B A( ) ]2,.(-∞A ]2,1.[B ]2,2[-⋅C ]1,2.[-D6．（2013北京．1,5分）已知集合x x B A ≤-=-=1|{},1,0,1{},1<则=B A( ) }0.{A }0,1{-⋅B }1,0.{C }1,0,1.{-D7．（2013课标全国‖．1，5分）已知集合x x x M ,4)1(|{2<-==∈N R },},3,2,1,0,1{-则=N M( )}2,1,0.{A }2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D8．（2013湖北．2,5分）已知全集为R ，集合},1)21(|{≤=xx A },086|{2≤+-=x x x B 则=B C A R ( )}0|.{≤x x A }42|.{≤≤x x B 20|.{<≤x x C 或}4>x 20|.{≤<x x D 或}4≥x9．（2013重庆．1,5分）已知全集},4,3,2,1{=U 集合,1{=A },3,2{},2=B 则=)(B A C U( ) }4,3,1.{A }4,3.{B }3.{C }4.{D10.（2012山东，2,5分）已知全集},4,3,2,1,0{=U 集合=A },4,2{},3,2,1{=B 则B A C U )为 ( )}4,2,1.{A }4,3,2.{B }4,2,0.{C }4,3,2,0.{D智力背景以“规”“矩 ”度天下之方圆。

参考答案与提示第一章 集合与函数1.1.1集合的概念与运算 一、选择题1．C 2．B 3．B 4．D提示：１．由集合的确定性可知答案为C ．通常象“接近”、“著名”，“差不多”，“很高”等限定的事物，没有明确的定义不能构成集合．2． ①集合M 表示由点（1，2）组成的单点集，集合N 表示点（2，1）组成的单点集；②由集合元素无序性可知M ，N 表示同一个集合； ③对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关．而③中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选B ．3．92≤≤x ，又∵x 为偶数，∴x 为2、4、6、8．答案为｛2，4，6，8｝．用列举法表示集合时，要注意集合元素互异性的基本特征． 二、填空题5．｛2，3，5，7｝． 6．{}+∈=N ,2|n n x x ；{}Z ,13|∈+=n n x x ． 7．∉∉∉∈,,,；∈∉∈∉,,,；∈；∈．提示： 7．∵23<， ∴{}23≤∈x x ；点（1，2）在直线1+=x y 上，而{}1),(+=x y y x 表示直线1+=x y 上的点集，故{}1),()2,1(+=∈x y y x ． 三、解答题8．坐标平面内不在第一、三象限的点集为：{}0),(≤xy y x ．9．分析：判断一对象a 与集合B 的关系，即判断“属于”或“不属于”关系．若“A a ∈”，则a 可写成“*∈+N n n ,12”的形式；判断a 是否属于集合B ，则看a 是否可表示成“542+-k k ，*∈N k ”的形式． 解：∵A a ∈，∴ 12+=n a 54442+-+-=n n n 5)2(4)44(2++-++=n n n5)2(4)2(2++-+=n n∵ *∈N n ，∴*∈+N n 2.∴B a ∈小结：在由A a ∈判断a 是否属于集合B 的过程中，关键是先要变（或凑）形式，即由“12+n ”向“542+-k k ”的形式变化，然后再判断． 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B提示：１．（A ）不正确．{}3,2,1与{}1,2,3表示同一集合；(B )不正确．{}1,0的所有子集是{}{}{}φ,1,0,1,0；（C ）正确；（D ）不正确．B A =时，B A ⊇与A B ⊆能同时成立． 二、填空题5．0∈{}0，0∉∅，∅{}0，∅＝{}R x x x ∈=+,012．6．A ＝B ； C B ． 7. 2≥a提示：6．∵A ，B 均表示奇数集，∴A ＝B ； C B ． 三、解答题8．由已知{}1是所求集合A 的真子集，集合A 又是{}4,3,2,1子集，于是集合A 至少是含有1在内的2个元素，并且其他元素只能在{}4,3,2中选取，故A 中元素除包括1以外，还可能包括2，3，4中的1个、2个或3个，然后根据集合中元素的互异性逐一列出．满足条件的所有集合A 是{}{}{}4,1,3,1,2,1，{}{}{},4,3,1,4,2,1,3,2,1，{}4,3,2,1．9．(Ⅰ)a ＝0,S ＝φ，φ⊆P 成立 a ≠0，S ≠φ，由S ⊆P ，P ＝{3，－1} 得3a ＋2＝0，a ＝－32或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－32或2. (Ⅱ)由于12215121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，所以m 的取值范围是[]2,3。

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。

；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。

2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。

集合的概念及运算一、 集合的含义与表示1. 集合的含义一些确定的元素组成的总体叫做集合。

2. 元素与集合的关系1. 集合用大写字母 ,,,C B A 表示2. 元素用小写字母 ,,,c b a 表示3. 元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号""∈表示）和不属于（用符号""∉表示）。

4. 不含任何元素的集合叫做空集，记做∅。

注意 空集属于任何集合。

3. 集合中元素的性质1. 确定性2. 互异性3. 无序性4. 集合的分类1. 无限集，2. 有限集。

5. 常用数集及其符号表示6. 集合的表示方法1. 列举法 如2. 描述法 如7. 练习1. 已知集合{}2,1,0=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈-=,,中元素的个数是2. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(中元素的个数是3. i 是虚数单位，若集合{}1,0,1-=S ，则S i A ∈. S i B ∈2. S i C ∈3. S i D ∈2. 二、 集合间的基本关系1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}3,2=B 则，集合A 与集合B 的关系2. 集合{}1,0,1-共有 个子集。

三、 集合的基本运算1. 已知集合{}m A ,3,1=，{}m B ,1=，A B A =⋃，则m=2. 已知M ，N 为集合I 的非空子集，且M ，N 不相等，若=⋃∅=⋂N M M C N I 则,3. 已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，{}0)2)(1(<+-=x x x B ，则=⋂B A4. 已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}6,5,3,2=A ，集合{}7,6,4,3,1=B ，则集合=⋂B C A U5. 若集合{}432,,,i i i i A =（i 是虚数单位），{}1,1-=B ，则=⋂B A6. 设集合{}0)2)(1(<-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=⋃B A7. 已知集合{}0322≥--=x x x A ，{}22≤≤-=x x B ，则=⋂B A8. 已知集合U=R ，{}0≤=x A ，{}1≥=x x B ，则集合=⋃)(B A C U9. 设全集{}2≥∈=x N x U ，集合{}52≥∈=x N x A ，则=A C U10.已知集合{}1log 04<<=x x A ，{}2≤=x x B ，则=⋂B A11.已知集合{}023>+∈=x R x A ，{}0)3)(1(>-+∈=x x R x B ，则=⋂B A。