第二章无限期模型与世代交叠模型
高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案
第2章无限期模型与世代交叠模型
2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。假设。假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。这是一个典型的最优化
问题。
构造拉格朗日函数:
求一阶导数：
得到:
上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于丫
第二章无限期模型与世代交叠模型
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:
为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：
(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？
(b)两期消费之间的替代弹性为
，或。证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。
答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。
---- ------------ (1)
(2)
求解约束条件：
(3)
将方程(3)代入(1)中，可得：
---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程( 4)两
边对求一阶条件可得：
(5)
解得:
将方程（5）代入（3）,则有:
解得：
------------------- （6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
------------------- （7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
（8）对方程（8）两边取对数可得：
（9）则消费的跨期替代弹性为：
因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部
分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。）
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期内，从到。
考虑家庭在时期减少每单位有效劳动的消费为。然后他在投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本前，在会有一收益，财富的回报率为，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为
后。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满
足下列条件：
前后
在时，有下式：
前后
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数为。考虑家庭在（2.6）的
约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、以及效用函数各参数的函数。
答：
OO X
—————— 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用
OO
OO
令一
建立拉格朗日方程:
求一阶条件:
抵消—项得: OO
(1)
—(2)
第二章无限期模型与世代交叠模型
(1)
(3)
可以推出：
(4)
将其代入预算约束方程，得：
—
(5)
将
代入上式，得：
OO
— (6)
只要 ，则积分项收敛，为
，贝
——
(7)
将方程(7)代入(4):
——
(8)
因此，初始消费为：
——
(9)
个人的初始财富为 ------ ，方程(9)说明消费是初始财富的一个不变的比例。
为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径
上是独立于利率的。对于折现率 而言，越大，家庭越厌恶风险，越
会选择多消费。
2.5设想某家庭的效用函数由(2.1) ~ (2.2)式给定。假设实际利率不变， 令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值 [(2.6)的右端]。已知r 、W 和 效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
OO
—— 2.1 ----- 2.2
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
OO
