点与圆的位置关系

与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d ，那么：（1）点在圆外⇔d ＞r ； （2）点在圆上⇔d ＝r ； （3）点在圆内⇔d ＜r ； 2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ；典例精析例1：已知直线l ：y ＝x －3和点A （0，3），B （3，0），设P 点为l 上一点，试判断P 、A 、B 是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（ ）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l 到⊙O 的圆心的距离为d ，⊙O 的半径为R，并使20x R -+=，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙O 的位置关系.3、圆和圆的位置关系⎧⎨⎩外离(没有公共点)(1)相离内含(包括同心圆) ()⎧⎨⎩外切(2)相切有一个公共点内切(3)相交(有两个公共点)注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 （1）两圆外离⇒d ＞R ＋r （2）两圆外切⇒d ＝R ＋r （3）两圆相交⇒R －r ＜d ＜R +r（4）两圆内切⇒d ＝R －r （5）两圆内含⇒d ＜R －r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则d 的取值范围为______. 例2：已知⊙O 1和⊙O 2内切，圆心距为7cm ，⊙O 1的半径为8cm ，求⊙O 2的半径.DC BA例4：如图：⊙M 的半径为8cm ，⊙N 的半径为6cm ，MN ＝10cm ，两圆相交于A 、B 两点，连接AB 与MN 交于点C ，求AB 的长为多少？与相切有关的性质 定理 1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心. 2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度） （3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度） 两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。

九年级点与圆的位置关系知识点我们生活中到处都是点和圆，而点与圆之间的位置关系是数学中非常重要的一个知识点。

在九年级的数学课程中，我们将学习点与圆的位置关系，探索它们之间的奥妙。

1. 点在圆内：当一个点位于一个圆的内部时，我们称它为圆的内点。

圆的内点与圆心之间的距离小于半径的长度。

这意味着，无论内点与圆的任何一点相连，线段的长度都小于半径。

这个性质对于我们判断几何图形的位置关系尤为重要。

2. 点在圆外：当一个点位于一个圆的外部时，我们称它为圆的外点。

圆的外点与圆心之间的距离大于半径的长度。

同样地，我们可以利用这个特性来推断几何图形的位置关系。

3. 点在圆上：当一个点位于一个圆上时，我们称它为圆的边点。

边点与圆心之间的距离等于半径的长度。

这意味着边点与圆心之间的连线就是圆的半径。

此外，边点还有一个特殊的性质，就是任何通过边点的直径都可以被边点所分成两段相等的弧。

4. 内切圆和外切圆：在九年级，我们还将学习内切圆和外切圆这两个重要的概念。

内切圆是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的内部。

外切圆则是指一个圆恰好与多边形的边相切，且圆的圆心位于多边形的外部。

通过这些概念，我们不仅可以研究多边形与圆的位置关系，还能够解决一些实际问题。

例如，我们可以利用内切圆和外切圆来设计最大面积或最小周长的形状。

5. 点与圆的判定问题：在九年级的数学课程中，我们还会学习如何判定一个点与一个已知圆的位置关系。

这需要我们掌握一些重要的定理和方法。

例如，切线定理可以帮助我们判断一个直线与圆的位置关系，弦切角定理则可以用来判断两条弧的位置关系。

此外，我们还可以使用勾股定理和三角形相似性来解决一些点与圆的位置关系问题。

在学习点与圆的位置关系时，我们不仅仅停留在理论层面，更要加强实际应用。

数学在现实生活中的应用非常广泛，点与圆的位置关系也不例外。

例如，我们可以利用圆与点的位置关系来设计游乐场、车辆行驶轨迹等等。

通过深入理解点与圆的位置关系，我们可以更好地认识和应用数学知识。

初三数学总复习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（二）：【课前练习】1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（） A．3 B．23 C．3 D．43.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（） A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞85.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．二：【经典考题剖析】1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45535.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°三：【课后训练】1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB 切小圆于M ，若环形的面积为9π，求AB 的长．7.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4，求⊙O 的半径．8.如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求 ECF的长9.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．10.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式C O A B x y。

点与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系：点P与⊙O的位置关系:设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔;rd>点P在圆上⇔;rd=点P在圆内⇔.rd<注意：OP长是两个点之间距离，不是点到直线距离，P点到圆心距离与半径大小关系决定P点与圆的位置关系.过已知点画圆：（1）过已知一点画圆→可画无数个圆→圆心无规律可循；（2）过已知两点画圆→可画无数个圆→圆心在连接两点的线段垂直平分线上；（3）过不在同一直线上的三点画圆→只可画一个圆→圆心是连接两点的线段垂直平分线的交点. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点.（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立.任何一个三角形都有唯一的外接圆反证法定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）推理得出矛盾；（3）得出结论.类型1. 点与圆的位置关系例1.如图，在ABCRt∆中，∠C＝900，BC＝3cm，AC=4cm，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A,C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系?变式题:如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外，求此圆半径R的取值范围.例3. 如图⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是多少?例4. 如图是某平原地区的三个村庄A 、B 、C ，现计划新建一个电站，为了使变电站到三个村庄的距离相等，请你帮助规划者确定变电站P 的位置.例5. 在等腰三角形ABC 中B,C 为定点，且AC=AB ，D 是BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ，回答下列问题：（1）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？ （2）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内？（3）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外？类型2. 证明几个点在同一个圆上例1. 如图，已知菱形ABCD 的对角线为AC 和BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四个点在同一个圆上.例2. 如图，∠A=∠C=∠D ＝900，求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上.类型3. 不在同一直线上的三点确定一个圆例1. （1）已知一个三角形的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形外接圆面积等于 2cm .(2) 下列说法正确的是（ ）A. 经过三个点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接D. 三角形的外心到三角形各边距离相A B C D O H E G F A E B C D . A . B . C例2. 如图，∆ABC 中AB=AC=10，BC=12，求∆ABC 的外接圆半径.类型4. 反证法例1. 求证：经过同一直线上的三个点不能作出一个圆.例2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于600.例3. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.例4. 用反证法证明：已知，如图AB ∥CD ，CD ⊥EF ，垂足是N ，求证：AB ⊥EF.作业：填空题： 1．若⊙O 的半径为r ，点A 到圆心O 的距离为d ，当点A 在圆外时，d ______r ；当点A 在圆上时，d ______r ；当点A 在圆内时，d ______r ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，BC ＝4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以cm 5长为半径画圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有点______，在圆上的有点______，在圆内的有点______．3．已知⊙O 的半径为1，点P 与O 的距离为d ，且方程x 2－2x ＋d ＝0有实数根，则P 在 ⊙O 的______．4．过一点A 可作______个圆，过两点A 、B 可作______个圆，且圆心在线段AB 的______上，过三点A 、B 、C ，当这三点______时能且只能作一个圆，且圆心在______上．5．等边三角形的边长为6cm ，则它的外接圆的面积为______．6．在Rt △ABC 中，已知两直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么Rt △ABC 的外接圆的面积是7．锐角三角形的外心在______，直角三角形的外心在______，钝角三角形的外心在______． 选择题：8．两个圆的圆心都是O ，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )(A)⊙r 1内 (B)⊙r 2外EF AC9．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线L的距离OM＝8cm，在直线L上有一点P，且PM＝6，则点P( )(A)在⊙O内(B)在⊙O上(C)在⊙O外(D)可能在⊙O内也可能在⊙O外10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )(A)点P在⊙O内(B)点P在⊙O上(C)点P在⊙O外(B)点P在⊙O上或在⊙O外11．三角形的外心是( )(A)三条中线的交点(B)三条中垂线的交点(C)三条高的交点(D)三条角平分线的交点解答题：12．如图1，使用直尺和圆规确定如图所示的破残轮片的圆心位置．图113．点P到⊙O上的点的最大距离是6cm，最小距离是2cm，求⊙O的半径．14．某商场有三个销量较大的柜台，经理想修建一个收银台，使得三个柜台到收银台的距离相等．如果三个柜台的位置如图2所示，那么如何确定收银台的位置?图2问题探究：15．已知：如图3，三个边长为2a个单位长度的正方形如图所示方式摆放．图①图②图③∴______为所求作的圆．∴______为所求作的圆．(1)画出覆盖图①的最小圆；(2)将图①中上面的正方形向右平移a个单位长度，得到图②，请用尺规作出覆盖新图形的最小圆(不写作法，保留作图痕迹)；(3)可以利用图③，比较(1)和(2)中的两个圆的大小，通过计算简要说明理由．。

24.2.1 点和圆的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知1、由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．2、研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．AlBACDOGF(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即：也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．3、经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆l1P的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．4、总结反证法的定义步骤在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例如：92页我们要证明AB ∥CD ，那么∠1=∠2.5、例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：三、巩固练习教材P93 练习1、2、3、4．四、归纳总结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：1、点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用． 五、布置作业1．教材P101 复习巩固 1、2、3．课题检测一、选择题．1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）A．522 B．52C2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点．2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•若AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B CO2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．。

点与圆的位置关系判断方法几何法代数法以点与圆的位置关系判断方法：几何法与代数法引言：在几何学中，点与圆的位置关系是一个重要的研究方向。

几何法和代数法是两种常用的方法，用于判断点与圆之间的位置关系。

本文将介绍这两种方法，并分析它们的优缺点。

一、几何法：几何法是通过几何性质和图形关系来判断点与圆的位置关系的方法。

下面将介绍几种常见的几何法判断方法。

1. 切线法：如果一个点在圆上，则通过该点的切线与圆相切。

因此，我们可以通过判断点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，来确定点与圆的位置关系。

具体而言，如果点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；如果点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；如果点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外。

2. 弦法：如果一个点在圆的内部，则通过该点的弦必定在圆的内部。

因此，我们可以通过判断点与圆心的距离与弦的长度之间的关系，来确定点与圆的位置关系。

具体而言，如果点到圆心的距离小于弦的长度的一半，则点在圆内；如果点到圆心的距离等于弦的长度的一半，则点在圆上；如果点到圆心的距离大于弦的长度的一半，则点在圆外。

3. 弧度法：如果一个点在圆的外部，则通过该点的弧度必定在圆的外部。

因此，我们可以通过计算点与圆心所在直线与圆的交点的弧度，来确定点与圆的位置关系。

具体而言，如果点与圆心所在直线的交点在圆的内部，则点在圆内；如果点与圆心所在直线的交点在圆上，则点在圆上；如果点与圆心所在直线的交点在圆的外部，则点在圆外。

二、代数法：代数法是通过代数方程来判断点与圆的位置关系的方法。

下面将介绍几种常见的代数法判断方法。

1. 坐标代入法：我们可以将点的坐标代入圆的方程，得到一个代数方程。

通过判断代数方程的解的情况，来确定点与圆的位置关系。

具体而言，如果代数方程有两个不相等的实数解，则点在圆的外部；如果代数方程有两个相等的实数解，则点在圆上；如果代数方程没有实数解，则点在圆的内部。

2. 距离公式法：我们可以利用点与圆心之间的距离公式，得到一个代数方程。

与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】对应训练考点二：切线的判定考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定例4 （攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切对应训练3．（黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【聚焦中考】1．（青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5.（滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．6．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．7．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB 与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．12．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．124．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含5．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm6．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC8．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND 的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题10．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．11．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．12．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．13．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．A=30°，AB=43．若动点D在线段18．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．三、解答题19．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．20．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．。

圆和点之间有三种不同的位置关系：
1.点在圆内：当一个点位于圆的内部时，它与圆心的距离小于圆的半径。

2.点在圆上：当一个点位于圆的边界上时，它与圆心的距离等于圆的半径。

3.点在圆外：当一个点位于圆的外部时，它与圆心的距离大于圆的半径。

这些位置关系可以用来解决圆和点之间的几何问题,例如圆的内切圆，外接圆，圆的直径等等。

另外在判断圆和点之间位置关系时，我们还可以使用圆方程来判断。

圆方程为（x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径。

如果给定点(x0,y0) 满足这个方程，则说明该点在圆内，如果点到圆心的距离小于半径，则说明该点在圆上。

如果点到圆心的距离大于半径，则说明该点在圆外。

这种方法可以适用于所有的圆，不管圆的半径是否为0，也不管圆的半径是否为正。

点与圆位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

过三点的圆不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、1.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________；2.经过三角形各顶点的圆叫做这个三角形的圆；3.如图9，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.ABC4. △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°5. 点A 到圆O 的最近点的距离为10厘米，点A 到圆上最远点的距离为6厘米，则圆O 的半径是（A ）8厘米 （B ）2厘米 （C ）8厘米或2厘米 （D ）以上答案都不对6. ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°直线与圆的位置关系：(1)直线l 和⊙O 相交⇔d>r (2)直线l 与⊙O 相切⇔d=r (3)直线l 和⊙O 相离⇔d<r ，其中r 为⊙O 的半径，d 为圆心O 到直线l 的距离。

学法提炼1、解题方法1、判断一个点与圆的位置关系，只需求出这个点到圆心的距离，然后和半径的长度比较大小即可得解。

2、判断多点共圆只需要证明这些点到同一个定点的距离相等即可。

2、注意事项1、圆是指“圆周”，而非“圆面”。

知识点一：圆的概念圆的定义有以下两种：(1)用点的集合观点给圆下定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径）．以点为圆心O的圆记作O，读作“圆O".(2)描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆.固定端点O叫做圆心．线段OA叫做半径．注意：(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r).(2)到定点O的距离等于定长r的所有点都在同一个圆上．(3)确定一个圆需要两个要素：一是圆心，二是半径，二者缺一不可，圆心确定其位置，半径确定其大小．1、下面关于圆的叙述正确的是( )A．圆是一个面B．圆是一条封闭曲线C．圆是由圆心唯一确定的D．圆是到定点的距离等于或小于定长的点的集合2、如图，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍在滑动过程中点P的运动规律，并说明理由，3、下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3cm 且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，3cm 为半径的圆有无数个．其中正确的有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4一、专题精讲题型一：有关多点共圆问题的证明例1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O 、E 、F 、C 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么点E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上？分析：只需说明E 、F ，、G 、H 四点到点O 的距离相等即可，故可连接OE 、OF 、OG 、OH ，并证明OE =OF =OG =OH 即可，解：E 、F 、G 、H 在以点O 为圆心的圆上，理由如下：连接OE 、OF 、OG 、OH . ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA .AC ⊥BD .又∵在Rt △AOB 中，点E 为AB 边的中点，.21AB OE =∴ 同理： 111,,.222OF BC OG CD OH DA === ∴OE =OF =OG =OH .∴E 、F 、G 、H 四点在以D 为圆心，OE 为半径的圆上，点拨：判断多点共圆只需要证明这些点到同一个定点的距离相等即可．题型二：利用点与圆的位置关系确定半径的取值范围例2、如图所示，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．(1)以点A为圆心，4cm长为半径作OA，则点B、C、D与OA的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作OA，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则OA的半径r的取值范围是多少？题型三：利用点与圆的位置关系解决实际问题例4、如图所示，海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应按哪条射线方向航行？请给予说明，夯实基础1．下列条件中，能确定圆的是( )．A．以点O为圆心B．以2cm为半径C．以点O为圆心，以5cm长为半径D．经过已知点A2．已知OO的半径为4cm，点A为线段OP的中点，且OP=8cm，则点A与OO的位置关系是( )．A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定3. OO的半径为5，圆心D的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )．A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外4．如果一个直角三角形的两条直角边AB=8cm，BC=6cm，以点B为圆心，以某一直角边长为半径画圆，则( )．A．若点A在OB上，则点C在⊙B外B．若点C在OB上，则点A在⊙B外C．若点A在OB上，则点C在⊙B上D．以上都不正确5．如图所示，已知AB=2cm．到点A距离小于1cm，且到点B的距离大于1.5cm的所有点组成的图形大致是( )中的阴影部分（选项中各图阴影部分均不包含边界）．6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，以CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于( )．A.5DB.C.67．在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=3，以点C为圆心，以r为半径作OC，如果点B在圆内，而点A在圆外，那么r的取值范围是____8.已知⊙O的半径为1，点P到圆心的距离为m，且关于X的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则点P与⊙O的位置关系是____9. 如图，A、B城是两座现代城市，C城是一个古城遗址，C城在A城的北偏东30度，在B城的北偏西45度，且C城与A城相距120km，B城在A城的正东方向．以点C为圆心，60km为半径的圆形区域内有古迹和地下文物．现要在A、B两城市间修建一条笔直的高速公路．(1)请你计算公路的长度；（结果保留根号）(2)请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．参考答案1．C2．B 提示：OA =r =4cm ．3．A 提示：5OP ==即d <r4．B 提示：按题中的数量关系作图观察．5．A 提示：到点A 距离小于1cm ，且到点B 距离大于1.5cm 的所有点组成的图形是OA 的内部与OB 的外部的公共部分（不包含边界）．6．A 提示：连接CD 。

点与圆、直线与圆的位置关系，一篇文章全学会！参考答案点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：2.圆的确定易错警示理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”需要注意两点：①“不在同一条直线上”是必不可少的条件；②“确定一个圆”应理解为“有且仅有一个圆”。

3.三角形的外接圆①概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

②外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

③性质：a.三角形的外心到三个顶点的距离相等；b. 如图，☉O为△ABC的外接圆，∠BOC = 2∠BAC，∠AOC = 2∠ABC，∠AOB= 2∠ACB。

直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系①相交：直线与圆有两个公共点，这时我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线；②相切：直线与圆有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③相离：直线与圆没有公共点，这时我们说这条直线与圆相离。

如下表，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，则有：2.切线①切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例如：如图，若AB是☉O的切线，点C是切点，则OC⊥AB。

①切线的判定方法：a. 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.b. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

例如：如上图，若OC是☉O的半径，直线AB⊥OC于点C，则直线AB是☉O 的切线。

3.切线长(1) 切线长的概念：经过圆外一点的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

例如：如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与☉O相切，PA，PB 两条线段的长为点P到☉O的切线长。

②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

例如：如上图，PA，PB分别切☉O于A，B两点，则PA=PB，∠OPA=∠OPB= ½∠APB。

点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系知识梳理：考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．考点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．【典型例题分析】【例1】(1)(2009·江西)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确．．．的是()A．当a<5时，点B在⊙A内B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外D．当a>5时，点B在⊙A外(2)(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交(3)(2010·门头沟)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x 的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤ 2C．0≤x≤ 2 D．x> 2【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.(2)过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B.(3)当P与O重合时，PO＝0.当过点P 且与OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO ＝2，即0≤x ≤ 2.故选C.【例2】 (2010·聊城)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD.(1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；(2)取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．【解答】(1)由AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，AD ＝3，BD ＝4，∴AB ＝5在Rt △ADB 和Rt △ABC 中，∵∠ADB ＝∠ABC ＝90°，∠DAB ＝∠BAC ，∴Rt △ADB ∽Rt △ABC.∴AD BD ＝AB BC ，即34＝5BC .∴BC ＝203.(2)如图，连结OD.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.在Rt △BDC 中，点E 为斜边BC 的中点，∴EB ＝ED.∴∠EBD ＝∠EDB.∴∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝90°.∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径，∴ED 与⊙O 相切．【例3】 (2010·陕西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；(2)若AB ＝1，BC ＝2时，求△DEC 外接圆的半径．【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线．(2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．【解答】(1)∵DE 垂直平分AC ，∴∠DEC ＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点O 即为圆心，如图，连结OE.又知BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD ＋∠BOE ＝90°.在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴BE ＝EC.∴∠EBC ＝∠C.又∵∠BOE ＝2∠C ，∴∠C ＋2∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴EC ＝12AC ＝52.∵∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴△ABC ∽△DEC. ∴AC DC ＝BC EC ，∴DC ＝5×52÷2＝54. ∴△DEC 外接圆的半径为58. 【巩固练习】1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO 等于( B ) A.45 B.35 C.43 D.34(第1题) (第2题)2．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是( B )A ．4B ．8C ．4 3D ．8 33．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，CD 切⊙O 于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点A.若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( B )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°(第4题) (第5题)5．如图，⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为6cm.6．△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，以点B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B ，则边AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．【考点训练】一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解析】连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DOC ＝2∠A ＝50°.【答案】A2．(2009中考变式题)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5【解析】连结OD ，则OD ⊥AD ，又BC ⊥AD ，∴BC ∥OD.∵AB ＝OB ＝2，∴BC ＝12OD ＝12×2＝1. 【答案】C3．(2009中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(2，－1)，则点N 的坐标是( )A ．(2，－4)B ．(2，－4.5)C ．(2，－5)D ．(2，－5.5)【解析】过点P 作PA ⊥MN 于点A ，设NA ＝x ，连结PN ，则MA ＝x.∴⊙P 半径为x ＋1，在Rt △PNA 中，∵PN 2＝NA 2＋PA 2，∴(x ＋1)2＝x 2＋22，解得x ＝1.5，∴N(2，－4)．【答案】A4．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为R ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为( )A ．2R B.3R C ．R D.32R 【解析】连结OC ，则OC ⊥OD.∵∠CAB ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠D ＝30°，则OD ＝2R.∴BD ＝OD －OB ＝2R －R ＝R.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 交⊙O 于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12AC C ．AC>AB D ．AD>DC 【解析】易证△ABC 为等腰直角三角形，AD 为斜边上的中线，∴AD ＝12BC. 【答案】A6．(2011中考预测题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心、3 cm 长为半径的圆与AB 的关系为( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．无法判断【解析】易求C 到AB 的距离为125<3，∴⊙C 与AB 相交． 【答案】C7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【解析】本题考查切线的性质．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．70°【解析】∵∠BAC ＝35°，∠OAP ＝90°，∴∠PAB ＝55°.由切线长定理得PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝70°.【答案】D9．(2009中考变式题)下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，②④是正确的．【答案】C10．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】∵OA ＝OC ，∠A ＝35°，∴∠A ＝∠ACO ＝35°，∴∠COP ＝70°.又OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠COP ＝20°.【答案】B11．(2009中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为( )A. 3B. 5 C ．2 3 D ．2 5【解析】过O 作OE ⊥BC 于点E ，连结OB ，在Rt △OBE 中，OB ＝2，∠OBE ＝30°，∴BE ＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.【答案】C12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为( )A ．7B ．7 2C ．8 2D ．9【解析】连结BD 、AD ，作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝6，AB ＝10，根据勾股定理得BC ＝8.∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°.∵BE ⊥CD ，∴CE ＝BE.∵BC ＝8，根据勾股定理得CE ＝BE ＝4 2.∵AD ＝BD ，AB 是直径，∴BD ＝5 2.在Rt △BDE 中，BD ＝52，BE ＝42，∴DE ＝32，∴CD ＝CE ＋DE ＝72，故选B.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2009·河北)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC.若∠A ＝36°，则∠C ＝________.【解析】连结OB ，则OB ⊥AB ，又∠A ＝36°，∴∠AOB ＝54°.又OB ＝OC ，∠C ＝∠OBC ＝12∠AOB ＝27°. 【答案】27°14．(2010·河南)如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是OMA 上异于点C 、A 的一点．若∠ABO ＝32°，则∠ADC 的度数是________．【解析】∵AB 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AB.∵∠ABO ＝32°，∴∠AOB ＝90°－32°＝58°，则∠ADC ＝12∠AOB ＝29°. 【答案】29°15．(2011中考预测题)如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA ＝8 cm ，C 是AB 上的一个动点(点C 与A 、B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是________．【解析】由切线长定理得DC ＝DA ，CE ＝BE ，∴DE ＝DA ＋EB ，∴△PED 的周长＝PA ＋PB ＝2PA ＝16 cm.【答案】16 cm16．(2010·杭州)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________.【解析】连结DO ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，则DO ⊥AC.∵∠C ＝90°，∴DO ∥CG ，由DO ＝OF ，可推得BF ＝BG.由AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，得AB ＝62，∴AO ＝3 2.在Rt △ADO 中，∠A ＝45°，∴DO ＝3，BF ＝AB －AO －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋GB ＝6＋32－3＝3＋3 2.【答案】3＋3 2三、解答题(共36分)17．(12分)(2010·广东)如图，PA 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O相交于D 点．已知OA ＝2，OP ＝4.(1)求∠POA 的度数；(2)计算弦AB 的长．解：(1)因为PA 与⊙O 相切于A 点，所以OA ⊥AP.在Rt △PAO 中，cos ∠POA ＝OA OP ＝24＝12，所以∠POA ＝60°. (2)因为AB ⊥OP ，所AC ＝BC ＝12AB. 在Rt △ACO 中，sin ∠COA ＝AC OA， 所以AC ＝OA·sin ∠COA ＝2×sin60°＝2×32＝ 3. 所以AB ＝2AC ＝2 3.18．(12分)(2010·北京)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.(1)求证：直线AC 是⊙O 的切线；(2)如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．(1)证明：∵OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45°.∵∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝45°.∴∠ACD ＋∠OCD ＝∠OCA ＝90°.∵点C 在⊙O 上，∴直线AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OD ＝OC ＝2，∠DOC ＝90°，可求CD ＝2 2.∵∠ACB ＝75°，∠ACD ＝45°，∴∠BCD ＝30°.作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC ＝90°，∴DE ＝DC·sin30°＝ 2.∵∠B ＝45°，∴BD ＝2.19．(12分)(2010·襄樊)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连结OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并予以证明；(3)求sin ∠OPA 的值．(1)证明：连结OB ，∵BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB.又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO ，∴∠POB ＝∠POA.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴△POB ≌△POA(SAS)．∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC(或PO ＝32BC 亦可)． 证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA.∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO.∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴DC DO ＝BD PD ＝23. 即DC ＝23OD ，∴DC ＝2OC. 设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2＋(2y)2.即2x 2＝y 2.∵x>0，y>0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x.∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.。