八年级数学反比例函数的定义1

数学中的反比例函数反比例函数在数学中是一类特殊的函数，其数学表达式为y = k/x，其中k是常数，x和y是函数的自变量和因变量。

1. 反比例函数的定义和性质反比例函数是指当x和y满足y = k/x时，函数y与x成反比例关系。

其中k是常数，反比例函数的定义域为除0以外的所有实数。

反比例函数的一些重要性质如下：- 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0，这也是反比例函数的特点之一。

- 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。

反比例函数的值域也是除0以外的所有实数。

- 反比例函数的图像是通过原点的双曲线，其中无穷远点（即x和y 无穷大的点）对称。

2. 反比例函数的图像和变化趋势反比例函数的图像通常是一个双曲线，其形状取决于常数k的值。

当k>0时，双曲线开口朝上；当k<0时，双曲线开口朝下。

反比例函数的变化趋势可以通过观察其图像得到。

当x增大时，y会减小，反之亦然。

同时，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。

3. 反比例函数的应用举例反比例函数在实际生活中有很多应用。

以下是一些常见的应用举例。

- 电阻和电流的关系：欧姆定律中，电流与电阻成反比例关系。

当电阻增大时，电流减小；反之亦然。

- 速度和时间的关系：在匀速运动中，速度和时间成反比例关系。

当时间增加时，速度减小；反之亦然。

- 工作人员数量和完成任务所需时间的关系：在一项任务中，完成任务所需时间与工作人员数量成反比例关系。

当工作人员数量增加时，完成任务所需时间减小。

4. 反比例函数的求解方法求解反比例函数的关键是求解常数k的值。

一种常见的方法是利用给定的数据点，通过代入x和y的值，得到k的值。

举例说明，假设有一组数据点(2, 6)和(4, 3)，我们可以代入x和y的值，得到以下方程：6 = k/23 = k/4通过求解这个方程组，可以得到k的值为12。

于是反比例函数的数学表达式为y = 12/x。

5. 反比例函数与其他函数的比较反比例函数与直线函数、指数函数和多项式函数等其他函数有着不同的特点和性质。

反比例函数及应用反比例函数是一种常见的函数形式，在数学中广泛应用于各种领域，包括经济、物理、工程等。

本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质以及其应用。

一、反比例函数的定义及图像特征反比例函数的定义为：$$y=\frac{k}{x}$$其中，$k$ 为比例系数，且 $x\neq0$。

反比例函数的图像具有以下特征：1. 曲线始于第一象限，以原点为渐近线。

2. 当 $x>0$ 时，函数值单调递减。

3. 当 $x<0$ 时，函数值单调递增。

4. 反比例函数关于 $x$ 轴对称。

5. 当 $x\to\infty$ 时，函数值趋近于 $0$；当 $x\to0$ 时，函数值趋近于无穷大。

下图为反比例函数图像的示意图：[image]二、反比例函数的性质反比例函数的常见性质包括：1. 定义域为 $x\neq0$，值域为 $y\neq0$。

2. 对称轴为 $x$ 轴。

3. 函数连接点为原点。

4. $k$ 的正负决定了函数的增减性和图像所在的象限。

5. 当 $k>0$ 时，函数单调递减；当 $k<0$ 时，函数单调递增。

三、反比例函数的应用反比例函数在各种学科领域中都有广泛的应用。

下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学中的应用：供给曲线在经济学中，供给曲线描述了在一定时间内产品供给量与价格之间的关系。

在某些情况下，供给量与价格是反比例的关系。

例如，对于某种商品，生产成本不变的情况下，供给量与价格之间的关系可以表示为：$$Q=\frac{k}{p}$$其中，$Q$ 表示供给量，$p$ 表示价格，$k$ 为常数。

这个函数就是反比例函数。

经济学家可以通过这个函数来分析供给量和价格之间的关系，制定合理的政策和措施。

2. 物理学中的应用：洛伦兹力定律在物理学中，洛伦兹力定律描述了运动带电粒子在电场和磁场中所受到的力。

当电荷 $q$ 以速度 $v$ 运动时，所受力可以表示为：$$F=q(v\times B)$$其中，$B$ 为磁感应强度，$v$ 为运动速度。

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八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，也是学生在八年级学习数学的一部分。

本文将对八年级数学中的反比例函数知识点进行归纳和解析，并给出一些典型例题进行讲解。

一、反比例函数的定义和性质反比例函数，也称为倒数函数，是指在定义域内，变量的值和函数的值成反比关系，即一个变量的增大导致函数值的减小，而变量的减小导致函数值的增大。

反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x ，其中 k 是非零常数。

反比例函数的性质如下：1. 函数图像：反比例函数的图像通常是一个经过原点的开口向上的函数。

2. 定义域和值域：反比例函数的定义域是除去 x = 0 的所有实数，值域是除去 y = 0 的所有实数。

3. 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的。

4. 零点：当x ≠ 0 且 y = 0 时，我们可以得到反比例函数的一个零点。

二、反比例函数的典型例题下面我们将通过一些典型例题来帮助理解反比例函数的性质和应用。

例题1：已知函数 y = 3/x ，求当 x = 2 时，函数的值 y 是多少？解析：根据反比例函数的定义，当 x = 2 时，y = 3/2。

所以函数在 x = 2 时的值为 3/2。

例题2：若反比例函数 y = k/x 的图线经过点 (2, 6)，求常数 k 的值。

解析：将点 (2, 6) 代入反比例函数的表达式，得到 6 = k/2。

解方程可以得到 k = 12，因此常数 k 的值为 12。

例题3：已知 y 和 x 成反比例关系，且 y = 15 当 x = 3，求 y = 2 时x 的值。

解析：由反比例函数的性质可知，在反比例关系中，y 和 x 是互相倒数的关系，即 y = 1/x。

根据已知条件可得 15 = 1/3，所以当 y = 2 时，x =1/2，即反比例函数的值。

例题4：若反比例函数 y = 4/x 经过点 (3, 2)，求函数的值域。

解析：将点 (3, 2) 代入反比例函数的表达式，得到 2 = 4/3x。

初中数学知识归纳反比例函数反比例函数是初中数学中的重要内容，它指的是两个变量之间存在着反比关系的函数。

在学习反比例函数时，我们需要了解其定义、性质以及常见的应用。

本文将对初中数学中关于反比例函数的知识进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、反比例函数的定义反比例函数又称为倒数函数，它的定义可以表示为：若两个变量x 和y满足x×y=k（k≠0），则称y是x的反比例函数。

根据反比例函数的定义可以看出，变量x和y之间的乘积是一个常数k。

当x增大时，y就会减小，反之亦然。

这种函数关系在数学中非常常见，例如时间与速度之间的关系、商品价格与需求量之间的关系等。

二、反比例函数的性质反比例函数具有一些特殊的性质，下面我们来一一介绍。

1. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除去0以外的所有实数，即x≠0。

对于y=f(x)=k/x，其值域为除去0以外的所有实数，即y≠0。

2. 图像特点：通过观察反比例函数的图像，我们可以发现它具有以下特点：- 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。

- 函数的图像关于y轴对称。

3. 零点：反比例函数的零点即为使得函数值为0的解。

由于反比例函数除去x=0时，函数值始终不为零，所以它没有零点。

4. 单调性：反比例函数的单调性与x的取值有关。

当x>0时，函数单调递减；当x<0时，函数单调递增。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中具有广泛的应用，下面我们来介绍几个常见的应用。

1. 速度与时间的关系：当物体匀速运动时，速度和时间之间存在反比关系。

设物体的速度为v，时间为t，则速度和时间的关系可以表示为v×t=k（k为常数）。

这也是为什么我们常说“速度与时间成反比”。

2. 距离与时间的关系：在匀速直线运动中，距离和时间之间也存在反比关系。

设物体在t 时间内的位移为s，则位移和时间的关系可以表示为s×t=k（k为常数）。

3. 分数的倒数：在数学中，分数的倒数即为倒数。

反比例函数知识点整理反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，它的表达式为y=k/x，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

在学习反比例函数时，我们需要了解它的定义、图像特征、性质以及应用等方面的知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数是一种具有特殊形式的函数，其定义如下：当x≠0时，y=k/x，其中k是常数，称为比例系数；当x=0时，函数无定义。

二、反比例函数的图像特征1. 反比例函数的图像呈现出一条直线和坐标轴的分离特点。

2. 当x趋近于正无穷大时，y趋近于0；当x趋近于负无穷大时，y也趋近于0；当x趋近于0时，y的绝对值趋近于正无穷大。

3. 反比例函数的图像关于y轴对称。

三、反比例函数的性质1. 定义域：反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数。

2. 值域：反比例函数的值域为除去y=0之外的所有实数。

3. 单调性：当k>0时，反比例函数在定义域上单调递减；当k<0时，反比例函数在定义域上单调递增。

4. 零点：当x≠0时，反比例函数的零点为x=k。

5. 解方程：对于反比例函数的解方程问题，可以采用代数运算的方式解决。

例如，对于函数y=k/x，若求解y=0的解，则解为x=0；若求解k=0的解，则解为x的全体实数。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用，以下为一些常见的应用场景：1. 比例关系：反比例函数常用于描述两个变量之间的反比关系，例如电阻与电流的关系、速度与时间的关系等。

2. 等时工作问题：在某些需要保持总工作量不变的情况下，反比例函数可用于描述工作人员数量与工作时间的关系。

3. 比例缩放：反比例函数可用于描述物体大小与距离的关系，例如光的强度与距离的关系等。

4. 电磁场强度：反比例函数可用于描述电磁场强度与距离的关系，例如万有引力与质点间距离的关系等。

总结：通过对反比例函数的定义、图像特征、性质以及应用等方面的整理，我们可以更好地理解和应用反比例函数。

初中数学：反比例函数的概念，真简单反比例函数是数学中一个基本的函数类型，它的特点是当自变量增大时，函数值减小；当自变量减小时，函数值增大。

下面，我们将会深入探讨反比例函数的概念以及它的相关知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数，简称反比函数，指的是若一函数 y 与另一函数 x 成反比例关系，即 y = k/x(k为常数)，则称 y 为 x 的反比函数。

其中，k 为反比例函数的比例系数，通常用正数表示。

二、反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出 x 轴的非零实数的全体是定义域，y 轴的非零实数的全体是值域的形态，其图像是一个对称于第二象限和第四象限的双曲线。

三、反比例函数的性质1. 反比函数的定义域为 R - {0}，值域也是 R - {0}。

2. 当 x > 0 时，反比例函数单调递减；当 x < 0 时，反比例函数单调递增。

3. 反比例函数在原点处不存在定义，但是可以趋近于无穷大或无穷小。

4. 当 x 的值增加，k 不变时 y 的值逐渐减小，表现出反比例函数的反比例关系。

四、反比例函数的应用反比例函数是数学中非常重要的函数类型，具有广泛的应用。

下面我们列举一些实际中应用反比例函数的例子：1. 银行利率：银行将存款金额与利息之间的关系建立为反比例关系，可以使用反比例函数来描述。

2. 太阳能电池板：当太阳光照射到电池板上时，电压和电流成反比例关系，可以使用反比例函数来描述。

3. 计算机处理速度：计算机的处理速度与处理任务的复杂程度呈反比例关系。

4. 等比例速度问题：有时需要研究物体在不同速度下的行驶时间，这时可以使用反比例函数来描述。

以上是反比例函数的定义、图像特点、性质及应用的详细介绍。

相信通过对反比例函数的学习，我们可以更好地理解数学中的基本概念。

数学知识点之反比例函数学习数学的目的是“学以致用”，现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合运用能提高我们的数学知识。

下面是作者给大家带来的数学知识点之反比例函数，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：反比例函数的定义一样地，函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，自变量x的取值范畴是x≠0的一切实数，函数值的取值范畴也是一切非零实数。

注：(1)由于分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零;(2)由，所以反比例函数，自变量x的次数为-1; (3)在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的情势，即两个变量的积是不是一个常数。

自变量的取值范畴：①在一样的情形下,自变量x的取值范畴可以是不等于0的任意实数;②函数y的取值范畴也是任意非零实数。

反比例函数性质：①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式;②反比例函数表达式中，常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;③反比例函数(k是常数，k≠0)的自变量x的取值范畴是不等式0的任意实数，函数值y的取值范畴也是非零实数。

反比例函数的定义的教学目标1、从现实情境和已有的知识体会动身，讨论两个变量之间的类似关系，加深对函数概念的知道。

2、经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，知道反比例函数的概念。

3、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件肯定反比例函数表达式。

初中数学知识点：反比例函数的图像反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷接近坐标轴，但永久达不到坐标轴。

初中数学知识点总结反比例函数
1、定义：一般地，形如y=k/x (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。

2、表达式：y=k/x ( k为常数)
注：反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值，即xy＝ｋ
①等号左边是函数y，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1。

②比例系数k不等于0。

③自变量x 的取值为一切非零实数。

（反比例函数有意义的条件：分母≠0）。

④函数y 的取值是一切非零实数。

3、增减性（单调性）：
k>0，y随x的增大而减小（单调减）；
k<0，y随x增大而增大（单调增)。

4、反比例函数的图象：
（1）图象呈现：双曲线
反比例函数y=k/x （k为常数，k≠0）中自变量x不等于0，函数值y 不等于0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

图像（草图）
（2）图像的画法：描点法
①列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
（3）对称性：
①是中心对称图形，对称中心是原点
②是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和y=-x
注意：①反比例函数的增减性只能在每个象限内讨论；
②反比例函数图象的位置和函数的增减性都与ｋ的符号有关；反之，由反比例函数图象的位置或函数的增减性也可判断ｋ的符号。

5、比例系数k 的几何含义：
6、反比例函数表达式的确定。

反比例函数知识点总结反比例函数是数学中的重要概念之一，它在我们日常生活中有着广泛的应用。

在本文中，我将为大家总结一下反比例函数的一些基本知识点，让大家对它有更深入的了解。

1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个函数，它的函数值和自变量之间的关系满足一个固定的比例关系。

具体来说，当自变量的值增大时，函数值会随之减小，并且二者的乘积保持不变。

这个比例关系可以用一个方程来表示，即：y = k/x，其中k为比例常数。

2. 反比例函数的特点反比例函数具有一些独特的特点，这也是它与其他函数形式的区别之一。

首先，它的定义域不能包含0，因为在反比例函数中，分母不可以为0，否则函数就没有意义。

其次，反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，即双曲线。

这种曲线对称于两个坐标轴，其中一个坐标轴是反比例函数的渐近线，即函数曲线始终趋近于这条直线而不会触及它。

3. 反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是一条双曲线，它在坐标平面中的形状与直线重要的不同之处在于，它的图像永远不会与坐标轴相交。

这是因为反比例函数的定义域中不包含0。

除此之外，反比例函数的图像关于原点对称，这也是双曲线的一般特点。

另外，反比例函数的图像在接近坐标轴时会变得越来越陡峭，这意味着当自变量的绝对值变得非常大时，函数值的变化将非常敏感。

4. 反比例函数的应用反比例函数在现实世界中有着广泛的应用。

一个典型的例子是电阻与电流的关系。

根据欧姆定律，电阻与电流之间的关系可以用反比例函数来表示。

当电流增大时，电阻变小，两者之间的比例关系保持不变。

这是因为电流通过电阻时受到的阻力越小，电阻的值就越小。

另一个例子是速度和时间之间的关系。

当我们在一段固定的路程上以恒定速度行驶时，速度和所需时间之间的关系也可以用反比例函数来表示。

速度越大，我们所需的时间就越短，两者的乘积保持不变。

除此之外，反比例函数还可以用于工程学、物理学、经济学等领域中的许多问题，如波动频率与介质密度的关系、产品的成本与销售量之间的关系等。

反比例的所有概念和性质反比例是指两个变量之间存在一种相互制约的关系，当其中一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。

在数学中，反比例通常用一个函数来表示，即y = k/x，其中k表示一个常数。

反比例的概念和性质如下：1. 反比例函数的定义：反比例函数是一种形式为y = k/x的函数，其中k为常数。

当x不等于零时，函数是定义良好的。

2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像呈现出一种特殊的形态，即一个双曲线。

随着自变量x趋近于零，因变量y趋近于无穷大；随着自变量x趋近于无穷大，因变量y趋近于零。

3. 反比例的变化趋势：反比例的关系是由两个变量之间的相互制约所决定的。

当其中一个变量增大时，另一个变量会相应地减小；当其中一个变量减小时，另一个变量会相应地增大。

这种变化趋势与正比例关系相反。

4. 反比例的例子：反比例关系在现实生活中有许多实际应用，例如弹簧刚度与其伸长长度的关系、密度与体积的关系、速度与时间的关系等等。

5. 反比例的性质：反比例具有以下性质：a. 零点：反比例函数的图像经过坐标轴的原点。

b. 单调性：反比例函数在自变量的正值区间上是单调递减的，在自变量的负值区间上是单调递增的。

c. 渐进线：反比例函数的图像有两条渐近线，即y轴和x轴。

当自变量趋近于无穷大时，函数的图像趋近于x轴；当因变量趋近于无穷大时，函数的图像趋近于y轴。

d. 定比关系：反比例函数中，y/x的值始终等于常数k，即y = k/x。

6. 反比例的应用：反比例关系在实际生活中有广泛的应用，例如电阻和电流的关系、速度和时间的关系、浓度和体积的关系等等。

这些应用可以通过反比例关系来描述和解释。

7. 反比例的变种：在一些情况下，变量之间的关系可能不是严格的反比例，而是近似反比例。

在这种情况下，函数可能具有形式为y = k/x^n的一般反比例关系，其中n为正整数。

8. 反比例与正比例的关系：反比例和正比例是两个相关但相反的概念。

反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★【答案】【解析】【例2】（1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★【答案】【解析】【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =；（2）12y x -=；（3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+．【难度】★【答案】【解析】【例4】（1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】【解析】例题解析【例5】下列说法中正确的有（）个．（1）当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2）如果2213y y x x=，那么与成反比例；（3）如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±；（4）如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【难度】★★【答案】【解析】【例10】设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】（1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x=≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【难度】★【答案】【解析】【例13】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【答案】【解析】知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例14】当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小．【难度】★【答案】【解析】【例15】已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★【答案】【解析】【例16】（1）已知函数1y x -=是反比例函数，则k 的取值范围是________；（2）已知反比例函数1k y x+=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】【解析】【例17】下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★【答案】【解析】【例18】下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★【答案】【解析】【例19】（1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x <0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】函数122(4)m y m m x=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结2.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【难度】★【答案】【解析】【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x =-=和的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★【答案】【解析】知识精讲例题解析ABC OPxy模块三：反比例函数的综合【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例26】过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】【解析】A B CDE OxyyABCDOx【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x =>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x =>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】A BC PE FyOxyABPFOxE【习题1】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x=-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y xπ=；（6）21y x =.【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题4】在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★【答案】【解析】【习题5】反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题：（1）当4x =时，求y 的值；（2）当2y =-时，求x 的值；（3）当2y >时，求x 的范围．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】（1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】如图，点A 、B 在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小．【难度】★★★【答案】【解析】A BG D EFCOxy【习题11】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题12】已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）．（1）求此正比例函数解析式；（2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB ∆面积．【难度】★★★【答案】【解析】ABOxy【习题13】如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ；（2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ；（3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知反比例函数(0)ky k x=<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★【答案】【解析】课后作业1234xyO 1P 2P 3P 4P 3S 2S 1S【作业3】（1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★【答案】【解析】【作业5】作出反比例函数xy 4-=的图像，结合图像回答：（1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当14y ≤<时，y 的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】等腰直角POA 的直角顶点P 在反比例函数4y x=(0)x >的图像上，A 点在x 轴正半轴上，求A 点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知，如图点P 是双曲线24y x=上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线11y x=于点D 、C ．求△PCD 的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线(0)ky x x=>经过点D ．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDOP yxyABCDEF Ox。

反比例函数定义和性质一、反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：①xky =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

至于这一组对应值给出的方式一般有以下几种：①当x= 时,y= ②从列表中找 ③点坐标 ④图像上的一个能看出坐标的点。

二、反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠）k 的符号k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

八年级数学下册《反比例函数》知识点总结.定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和y=-x。

对称中心是：原点3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k&gt;0k&lt;0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k&gt;0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k&lt;0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。