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2018年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6
12y x y x 的实数解的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20
解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax ，
02
=++a cx bx ，02
=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab
c ca b bc a 2
22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2
0ct at b ++=
三式相加得：2
()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，
所以
ab c ca b bc a 222++＝333
a b c abc ++＝33abc
abc
= 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ）
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，
即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，
所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。
5．方程2563
2
3
+-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多
解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
２
Q
P
C
O
A
B
βα
A
G
B
C
E
F
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，点A ，C 都在函数)0(3
3>=
x x
y 的图像上，点B ，D 都在x 轴上， 且使得△OAB ， △BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ． 解：填(26,0)D 。设OB ＝2a ，BD ＝2b ，由△OAB ，△BCD 都是等边三角形，得
(3),(23)A a a C a b b +，把点A ，C 坐标代入33
y =
3,63a b == 即(22,0)(26,0)D a b D +=
7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值
是 ． 解：填4。
连结OP ，OB ，则所求面积之差的绝对值＝222OPQ OBQ OPB S S S ∆∆∆+=＝2×2×2÷2＝4。 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =︒90·n ，则=n ． 解：填6。如图：∠A+∠E+∠F ＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D ＝540°＝690⨯︒
9．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数3)3(2
+-+=x a x y
的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ． 解：填11,3232
a a -≤<-=-或（1）若图像的顶点在AB 上，则有23122
(3)120,a a -⎧≤-≤⎪
⎨⎪∆=--=⎩
解得：323a =-（2）若图像的顶点在x 轴下方，则有(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≤⎧⎨
=+-+>⎩或(1)1330
(2)42(3)30,
f a f a =+-+≥⎧⎨=+-+<⎩
分别解之，得11,2
a -≤<- 综上，得：11,3232
a a -≤<-=-或10．已知对于任意正整数n ，都有3
21n a a a n =+⋯++，则
=-+⋯+-+-1
1
111110032a a a ． 解：填
33100
。由321n a a a n =+⋯++及3121(1)n a a a n -++⋯+=-得33
(1)3(1)1n a n n n n =--=-+ 所以11111
()13(1)31n a n n n n ==----，于是100
1002211111133()(1)1
313100100n n n a n n ===-=-=--∑∑ 题图
第6题图
第7题图
第8
