2018年全国初中数学竞赛试题及答案
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2018年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间:2018年4月1日上午9:30—11:30
一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6
12y x y x 的实数解的个数为( )
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
解:选(A )。当x ≥0时,则有y -|y|=6,无解;当x<0时,则y +|y|=18,解得:y=9,此时x=-3. 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) (A )14 (B )16 (C )18 (D )20
解:选(B )。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种 3.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax ,
02
=++a cx bx ,02
=++b ax cx 恰有一个公共实数根,则ab
c ca b bc a 2
22++的值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
解:选(D )。设这三条方程唯一公共实数根为t ,则20at bt c ++=,20bt ct a ++=,2
0ct at b ++=
三式相加得:2
()(1)0a b c t t ++++=,因为210t t ++≠,所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=,
所以
ab c ca b bc a 222++=333
a b c abc ++=33abc
abc
= 4.已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相 交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经 过△ABC 的( )
(A )内心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心
解:选(B )。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ,由题意知:⊙O 与⊙F 且弧DmE =弧DnE ,所以∠EAB =∠ABE ,∠DAC =∠ACD ,
即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ,F 作AB ,AC 相交于点H ,则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD =∠ACD ,
所以∠DHE+∠ACD =∠DHE+∠KHD =180°,即点H ,D ,C ,E 在同一个圆上, 也即点H 在⊙O 上,因而⊙O 经过△ABC 的外心。
5.方程2563
2
3
+-=++y y x x x 的整数解x (,)y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )3 (D )无穷多
解:选(A )。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。
2
Q
P
C
O
A
B
βα
A
G
B
C
E
F
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分) 6.如图,点A ,C 都在函数)0(3
3>=
x x
y 的图像上,点B ,D 都在x 轴上, 且使得△OAB , △BCD 都是等边三角形,则点D 的坐标为 . 解:填(26,0)D 。设OB =2a ,BD =2b ,由△OAB ,△BCD 都是等边三角形,得
(3),(23)A a a C a b b +,把点A ,C 坐标代入33
y =
3,63a b == 即(22,0)(26,0)D a b D +=
7.如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB = 90°,CA = 4.点P 是半圆弧AC 的中点,连接BP ,线段BP 把图形APCB (指半圆和三角形ABC 组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值
是 . 解:填4。
连结OP ,OB ,则所求面积之差的绝对值=222OPQ OBQ OPB S S S ∆∆∆+==2×2×2÷2=4。 8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =︒90·n ,则=n . 解:填6。如图:∠A+∠E+∠F =360°-∠α,∠B+∠C+∠G=360°-∠β, 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =(360°-∠α)+(360°-∠β)+∠D =540°=690⨯︒
9.已知点A ,B 的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数3)3(2
+-+=x a x y
的图像与线段AB 只有一个交点,则a 的取值范围是 . 解:填11,3232
a a -≤<-=-或(1)若图像的顶点在AB 上,则有23122
(3)120,a a -⎧≤-≤⎪
⎨⎪∆=--=⎩
解得:323a =-(2)若图像的顶点在x 轴下方,则有(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≤⎧⎨
=+-+>⎩或(1)1330
(2)42(3)30,
f a f a =+-+≥⎧⎨=+-+<⎩
分别解之,得11,2
a -≤<- 综上,得:11,3232
a a -≤<-=-或10.已知对于任意正整数n ,都有3
21n a a a n =+⋯++,则
=-+⋯+-+-1
1
111110032a a a . 解:填
33100
。由321n a a a n =+⋯++及3121(1)n a a a n -++⋯+=-得33
(1)3(1)1n a n n n n =--=-+ 所以11111
()13(1)31n a n n n n ==----,于是100
1002211111133()(1)1
313100100n n n a n n ===-=-=--∑∑ 题图
第6题图
第7题图
第8