二次函数经典测试题附答案
一、选择题
1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．
A ．①②④
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．①③⑤
【答案】C 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b
a
->0， 又∵a>0， ∴b<0；
由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12
则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．
2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b
+
＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2
22ax bx +，
且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②⑤
D ．②③⑤
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】
解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-
2b
a
=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）
：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）
⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2
11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a
a a
-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．
考点：二次函数图像与系数的关系.
3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3
B ．-12＜t ＜4
C ．-12＜t ≤4
D ．-12＜t ＜3
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
【详解】
解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
∴－12＜t≤4，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解．【详解】
∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴
∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a
=1 ∴b<0
∴abc ＞0；①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴
2
44ac b a
=m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜1
B ．﹣3＜x ＜﹣1
C ．x ＜1
D ．﹣3＜x ＜1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
