微积分初步复习试题
一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数x x x f -++=4)
2ln(1
)(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- .
⒉若24sin lim
0=→kx
x
x ,则=k 2 .
⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y
.
⒋
=+?e 12
d )1ln(d d x x x
0 .
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .
二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈设函数x x y sin =,则该函数是( A ).
A .偶函数
B .奇函数
C .非奇非偶函数
D .既奇又偶函数
⒉当=k ( C )时,函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.
A .0
B .1
C .2
D .3 ⒊下列结论中( C )正确.
A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微.
B .函数的极值点一定发生在其驻点上.
C .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导.
D .函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是( D ).
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x =
C. )d(d x x a x a =
D. )d(2d 1
x x x
= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为( B )
A. 2;
B. 3;
C. 4;
D. 5 三、计算题(本题共44分,每小题11分)
⒈计算极限238
6lim 222+-+-→x x x x x .
原式21
4
lim )1)(2()2)(4(lim
22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=,求y d .
)sin (cos 31
2x x x y -+=
' x x x x
y d )cos sin 31
(d 2-=
⒊计算不定积分x x d )12(10?-
x x d )12(10
?
-= c x x x +-=--?11
10)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分
x x d ln 2
e 1
?
x x d ln 2
e 1
?-
=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 2
22e 12
+=+-=?x x x 四、应用题(本题16分)
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知22108
,108x
h h x ==
x x x
x x xh x y 432
108442222+=?+=+= 令0432
22=-='x x y ,解得6=x 是唯一驻点,
且0432
226
3>?+
=''=x x y , 说明6=x 是函数的极小值点,所以当6=x ,336
108
==h
一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ,则=)(x f 62-x
.
⒉当→x 0 时,x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3),则y '(1) = 2-
.
⒋=+-?-x x x d )135(1
13 2 .
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .
二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是( C ).
A .),1(+∞
B .),1()1,0(+∞?
C .),2()2,1(+∞?
D .),2()2,0(+∞?
⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是(D ). A .2 B .2e C .4e D .42e
⒊下列结论正确的有( B ). A .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点
B .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0
C .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点
D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是(A ). A .?
∞+-0
2d e x x B . ?
∞
+1
d 1x x
C . ?
∞
+1
d 1
x x
D . ?∞+0d in x x s
⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为(D
4
6lim 222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ). A. 1; B. 2; C. 3; D. 4
三、计算题(本题共44分,每小题11分)
⒈计算极限4
6
lim 222----→x x x x . ⒉设x x y 3cos 5sin +=,求y d .
)sin (cos 35cos 52x x x y -+='
x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分?
+-x x x
x x d sin 33 ?+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 32
3
⒋计算定积分?π0d sin 2
x x x
?
π
d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ=+=+-=?x x x x x 四、应用题(本题16分)
用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱,已知钢板每平方米10元,焊接费40元,问水箱的尺寸如何选择,可使总费最低?最低总费是多少?
解:设水箱的底边长为x ,高为h ,表面积为S ,且有24
x
h =
所以,16
4)(22x
x xh x x S +
=+= 2162)(x
x x S -
=' 令0)(='x S ,得2=x ,
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当1,2==h x 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S (元)
一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数x x x f 2)1(2+=+,则=)(x f
12-x
.
⒉=∞→x
x x 1
sin lim 1 . ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2
1
21+=
x y .
⒋若?+=c x x x f 2sin d )(,则=')(x f in2x 4s - . ⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 .
二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈设函数x x y sin 2=,则该函数是( D ).
A .非奇非偶函数
B .既奇又偶函数
C .偶函数
D .奇函数 ⒉当0→x 时,下列变量中为无穷小量的是( C ).
A .x 1
B .x x sin
C .)1ln(x +
D .2x
x
⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是( B ). A .x cos B .x -5 C .2x D . x 2
⒋ 设c x
x
x x f +=?ln d )(,则=)(x f ( C ).
A. x ln ln
B. x x ln
C. 2
ln 1x
x
- D. x 2ln ⒌下列微分方程中,(A )是线性微分方程.
A .x y y x y x ln e sin ='-''
B .x xy y y e 2=+'
C .y y x y e ='+''
D . y y yx '=+ln 2
三、计算题(本题共44分,每小题11分)
⒈计算极限62
3lim 222-++-→x x x x x .
原式5
1
31lim )3)(2()2)(1(lim
22=+-=+---=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 2cos +=,求y d .
2ln 221
sin x x x y +-='
x x
x
y x d )2sin 2ln 2(d -
=
⒊计算不定积分x x d )12(10?-
x x d )12(10
?-=
c x x x +-=--?1110
)12(221)12(d )12(21
⒋计算定积分?π
20
d sin x x x
?
20
d sin π
x x x +
-=20cos π
x x 1
sin d cos 2020
==?
π
π
x x x
四、应用题(本题16分)
欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?
解:设长方体底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知2
2108
,108x h h x =
= x x x
x x xh x y 432108442
2
22+=?
+=+= 令0432
22=-
='x
x y ,解得6=x 是唯一驻点, 因为问题存在最小值,且驻点唯一,所以6=x 是函数的极小值点,即当6=x ,
336
108==h 时用料最省.
一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f
32+x
.
⒉若函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续,则=k 2 .
⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是 ).1[∞+- . ⒋=?∞-dx e x 0
2
2
1 .
⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 .
二、单项选择题(每小题4分,本题共20分) ⒈设函数x x y sin =,则该函数是(B ).
A .奇函数
B .偶函数
C .非奇非偶函数
D .既奇又偶函数 ⒉当+∞→x 时,下列变量为无穷小量的是( A ).
A .
x
x
sin B .)1ln(x + C .x x 1sin D . x x +1
⒊若函数f (x )在点x 0处可导,则( D )是错误的.
A .函数f (x )在点x 0处有定义
B .函数f (x )在点x 0处连续
C .函数f (x )在点x 0处可微
D .A x f x x =→)(lim 0
,但)(0x f A ≠
⒋若)0()(>+=x x x x f ,则='?x x f d )(( C ).
A. c x x ++23
2
2
3
B. c x x ++2
C. c x x ++
D. c x x ++2
3
23
221
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是(B )
A. )(ln d d y x x y ?=;
B. x y x y +=e d d ;
C. y x x y e e d d +=;
D. )ln(d d y x x
y +=
三、计算题(本题共44分,每小题11分)
⒈计算极限234
lim 222+--→x x x x .
原式41
2
lim )1)(2()2)(2(lim
22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=,求y d
x x y x 21
sin 2ln 2?-=' .
x x
x
y x d )2sin 2ln 2(d -
=
⒊计算不定积分x x x d e ?- 解:x xe x d ?-= c
e xe x e xe x x x x +--=+-----?d
⒋计算定积分x x x d ln 113
e 1
?+ 解:x x
x d ln 113
e 1
?
+2ln 12)ln 1d(ln 11331
1
=+=++=?
e e x x x
四、应用题(本题16分)
某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省?
解:设容器的底半径为r ,高为h ,则其表面积为S ,由已知h r V 2π=,于是
2r
V
h π=,则其表面积为
r
V
r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V
r S -='
令0='S ,解得唯一驻点3π2V r =,由实际问题可知,当3π2V
r =时可使用料最
省,此时3
π4V h =,即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π
4V
时,用料最省.
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2