高二数学合情推理与演绎推理1

合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。

合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及意义。

2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决数学问题的能力。

3. 引导学生掌握合情推理与演绎推理的基本方法。

二、教学内容第一章：合情推理1. 合情推理的定义及分类2. 合情推理的方法：归纳推理、类比推理、归纳猜想3. 合情推理在数学中的应用第二章：演绎推理1. 演绎推理的定义及分类2. 演绎推理的方法：演绎法、反证法、归纳法3. 演绎推理在数学中的应用三、教学方法1. 采用讲授法讲解合情推理与演绎推理的基本概念和方法。

2. 通过例题展示合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。

四、教学步骤1. 引入新课：介绍合情推理与演绎推理的定义及意义。

2. 讲解合情推理：讲解归纳推理、类比推理、归纳猜想的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。

3. 讲解演绎推理：讲解演绎法、反证法、归纳法的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。

4. 练习与巩固：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结合情推理与演绎推理的方法及应用，引导学生思考如何在生活中运用这些方法。

五、教学评价1. 课后作业：检查学生对合情推理与演绎推理方法的掌握情况。

2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们的学习进度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度及合作能力。

4. 期中期末考试：全面评估学生对选修内容的掌握情况。

六、教学内容第三章：合情推理与演绎推理的综合应用1. 合情推理与演绎推理在数学证明中的应用2. 合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用3. 合情推理与演绎推理在数学探究活动中的应用第四章：常见的错误与误解1. 合情推理与演绎推理中的常见错误2. 如何避免合情推理与演绎推理中的错误与误解3. 正确评价合情推理与演绎推理的结果七、教学方法1. 通过案例分析，让学生了解合情推理与演绎推理在实际应用中的重要性。

学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版题型一：合情推理【例1】迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是 （ ） A ．1643 B ．1679 C ．1681 D ．1697【例2】下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量A 的性质|A |2=A 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( ) A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③【例3】定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是 ( )（1） （2） （3） （4） （A ） （B ）A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **,【例4】在平面几何里，有勾股定理：“设△A BC 的两边A B ，A C 互相垂直，则A B 2+A C 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面A BC 、A C D 、AD B 两两相互垂直，则可得” （ ）(A)AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2+ CD 2 + BD 2(B)BCD ADB ACD ABCS S S S∆∆∆∆=⨯⨯2222(C)2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ (D)AB 2×AC 2×AD 2=BC 2×CD 2×BD 2【例5】已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 ( ) A.4()22xf x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+【例6】观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x ,y,z,122,…中x ,y,z 的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.【例7】观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( ) （A ） 10 （B ） 13 （C ） 14 （D ） 100【例8】设221)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为 （ ）A 、2B 、22C 、32D 、42【例9】平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成)(n f 块区域，有8)3(,4)2(,2)1(===f f f ，则)(n f 的表达式为 （ ）A 、n 2B 、22+-n nC 、)3)(2)(1(2----n n n nD 、410523-+-n n n【例10】在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）典例分析A ．25B ．6C ．7D ．8【例11】如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心率为512-,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于 （ ）A.512+ B.512- C.51- D.51+【例12】观察式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ ） A 、121131211222-<+++n n B 、121131211222+<+++n nC 、n n n12131211222-<+++D 、122131211222+<+++n nn【例13】公比为4的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有304020301020,,T T T T T T 也成等比数列，且公比为1004；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。

庖丁巧解牛知识²巧学一、合情推理1.归纳推理由某类事件的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者是由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).要点提示①归纳推理的前提是已知的几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属于未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.知识拓展归纳推理的步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.深化升华①归纳推理的实质是由部分到整体、由个别到一般.②应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.2.类比推理由两类对象具有某些类似的特征和已知其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).方法点拨①类比推理实质是由特殊到特殊的推理.②运用类比推理常常要先寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.知识拓展类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.3.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.深化升华①合情推理是指“合乎情理”的推理,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思想和方向.②一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.③合情推理的过程概括为:二、演绎推理1.演绎推理从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,演绎推理又称为逻辑推理.深化升华①演绎推理是由一般到特殊的推理.②数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.2.三段论推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.(2)“三段论”可以表示为:大前提:M是P小前提:S是M结论:S是P.(3)公理化方法:尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.深化升华①利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.②应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提,但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.知识拓展假言推理①定义:如果一个推理规则能用符号表示为“如果p q,p真,则q真”,那么这种推理规则叫做假言推理.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.②假言推理的步骤:确定命题p能够推出命题q;判断命题p是否为真,如果p为真,则q为真.知识拓展关系推理①定义:如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b,b≥c,则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.②关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在的关系a≥b;论证式子b和c存在关系b≥c,从而推出a≥c.知识拓展完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.例如,对所有的n(3≤n<+∞),证明n边形的内角和为(n-2)π就是完全归纳推理.3.合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明. 问题²探究问题1 类比平面向量和空间向量,列出它们相似(相同)的性质.思路:从平面向量和空间向量的定义、运算法则、运算律、数量积、共线,共面以及向量基本定理等几个方面来进行类比.探究:(1)从定义的角度考虑:平面向量:平面内既有大小又有方向的向量;空间向量:空间内既有大小又有方向的向量. (2)从运算法则的角度考虑:两个平面向量相加的三角形法则和平行四边形法则在空间中仍成立.始点相同的三个不共面的向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量,这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.(3)从运算律、数量积的角度考虑,平面向量和空间向量是相同的.运算律:①a+b=b+a(加法交换律);②(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律);③λ(a+b)=λa+λb(数乘分配律).数量积的性质:①a²e=|a|cos〈a,e〉(e是单位向量);②a⊥b a²b=0;③|a|2=a²a.数量积的运算律:①(λa)²b=λ(a²b);②a²b=b²a(交换律);③a²(b+c)=a²b+a²c(分配律).(4)从向量共线,共面的角度考虑:共线向量定理:向量b与a(a≠0)共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b=λa.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=x a+y b.(5)从向量基本定理的角度考虑:平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2表示平面向量的一组基底. 空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=x a+y b+z c,其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c都叫基向量. 问题2 将三角形与四面体进行类比,你能想出几种类比呢?思路:可以取三角形为类比源,由三角形的已知知识预测和发现关于四面体的某些新命题. 探究:第一,三角形的内角平分线交于一点,这一点是三角形的内切圆的圆心.于是得到类比猜想:四面体各个面所成二面角的平分面交于一点,该点为四面体内切球的球心.第二,三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的重心,并分各条中线成2∶1两部分.由此得到类比猜想:四面体的四条中线(顶点与相对面三角形重心的连线)交于一点,该点是四面体的重心,且分各中线成2∶1两部分.第三,直角三角形的三边之间有关系c2=a2+b2.由此猜想:三个侧面两两垂直的四面体的各面面积之间有关系D2=A2+B2+C2.问题3 从A地出发到河边饮完马再到B地去,在河边哪个地方饮马可使路途最短?如图2-1-1所示.图2-1-1思路:先作点A关于MN的对称点A′,连结BA′,交MN于P,则P点即为所求.探究:用演绎法证明如下:如图2-1-1所示,在MN上取一点P′(异于点P),则AP ′=P ′A ′,AP=PA ′,从而AP ′+P ′B=A ′P ′+P ′B>A ′P+PB=AP+PB. 由此可知:A 到B 经P 点距离最短. 典题²热题例1设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)=___________;当n>4时,f(n)=___________. 思路解析:f(2)=0,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…, f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)=f(2)+2+3+4+…+n-1=2)]1(2)[2(-+-n n =21(n+1)(n-2).答案:521(n+1)(n-2) 深化升华 本小题考查观察、分析、归纳推理、累加求通项等知识,是一个很灵活的题目. 例2在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=nn a a +22(n ∈N *),猜想这个数列的通项公式.思路分析:根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项.然后总结归纳其中的规律,写出通项.解:{a n }中,a 1=1,a 2=322211=+a a ,a 3=,42212222==+a a a 4=522233=+a a ,…. ∴{a n }的通项公式为a n =12+n . 证明:∵a 1=1,a n+1=211221122+=+=+∴+n n n n n n a a a a a a ∴21111=-+n n a a . 即数列{n a 1}是以11a =1为首项,公差为21的等差数列.na 1=1+21(n-1)=21(n+1),a n =12+n .例3已知在△ABC 中,不等式π9111≥∠+∠+∠C B A ,在四边形ABCD 中,不等式π2161111≥∠+∠+∠+∠D C B A 成立, 在五边形ABCDE 中,不等式π32511111≥∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ,猜想在n 边形A 1A 2…A n 中,有怎样的不等式成立? 思路分析:根据已知特殊的值: πππ3252169、、,…,总结归纳出一般性的规律:π)2(2-n n (n ≥3).s解:在n 边形A 1A 2…A n 中,π)2(1111121321-≥∠+∠++∠+∠+∠-n n A A A A A n n (n ≥3). 拓展延伸 平面内有n 条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不过同一点,试归纳它们的交点的个数.解:n=2时,交点的个数f(2)=1. n=3时,交点的个数f(3)=3. n=4时,交点的个数f(4)=6. n=5时,交点的个数f(5)=10. 猜想归纳:f(n)=21n(n-1)(n ≥2). 深化升华 运用归纳推理可以去发现一些新的几何命题,再运用相关的方法证明它的真假,这是数学发明,创新的一条途径.例4已知在Rt △ABC 中,若∠C=90°,则cos 2A+cos 2B=1;在立体几何中,给出四面体性质的猜想.思路分析:考虑到平面中的图形是直角三角形,所以我们在空间选取有3个面两两垂直的直四面体P —A ′B ′C ′,且三个面分别与面A ′B ′C ′所成的二面角为α、β、γ.解:如图212所示,在Rt △ABC 中,cos 2A+cos 2B=(c b )2+2222)(cb ac a +==1. 于是把结论类比到四面体P —A ′B ′C ′中,我们猜想,三棱锥P-A ′B ′C ′中,若三个侧面PA ′B ′,PB ′C ′,PC ′A ′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α、β、γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.图2-1-2深化升华 类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,归纳,提出猜想.拓展延伸 在Rt △ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径r=222b a +.把上面的结论推广到空间,写出相似的结论.解:我们同样取空间有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥外接球的半径R=2222c b a ++.例5设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1++++43211a a a 为无穷连分数,例如2=(2-1)+1=1+++++=+2121211121,这里a 1=1,a n =2(n ∈N *,n ≥2).请你与上式类似地将3写成无穷连分数,并写出a n .思路分析:本题给出了无穷连分数的定义以及范例,依定义仿范例,即可解决问题. 解:3=1+(3-1)=1+13111121311121311132+++=-++=++=++++++=-+++=211121111)13(21111同时有a 1=a 2n =1,a 2n+1=2(n ∈N *).深化升华 对有些提供了范例的信息迁移型创新题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比推理,使问题得以解决,另外在解有些信息迁移型创新题时,也可类比旧的问题的解决方法,依照它解决新信息中的问题. 例6试将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;(4)等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q(p,q 是常数),数列1,2,3,…,n 是等差数列,所以数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.思路分析:分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键. 解:(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行; 小前提:冥王星是太阳系里的大行星; 结论:冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (2)大前提:所有导体通电发热; 小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式a n =pn+q; 小前提:数列1,2,3,…,n 是等差数列;结论:数列1,2,3,…,n 的通项具有a n =pn+q 的形式.深化升华 分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论,要抓住它们的定义,即大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断.例7用三段论证明:x 2+3>3x.思路分析:证明本例所依据的是:a-b>0⇔a>b.小前提是证明:(x 2+3)-3x>0,这是证明本例的关键.解:∵(x 2+3)-3x=(x-23)2+43≥43>0, ∴根据“三段论”,得x 2+3>3x.深化升华 由于本例所依据的大前提a-b>0⇔a>b 很明显,因此在证明过程中往往将其省略掉了.例8求证函数y=1212+-x x 是奇函数,且在定义域上是增函数.思路分析:本题在证明过程中使用了三段论推理,假言推理等推理规则.解:y=1221122)12(+-=+-+xx x 所以f(x)的定义域为x ∈R . f(-x)+f(x)=(1-122+-x )+(1-122+x )=2-(122+x +122+-x) =2-(1222121+∙++x x x )=2-12)12(2++xx =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2. 则f(x 1)-f(x 2)=(1-1221+x )-(1-1222+x )=2(1222+x -1221+x ) =2²)12)(12(221221++-x x x x . 由于x 1<x 2,从而022,222121<-<x x x x ,所以f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数.例9(2005全国高考 )设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x=8π. (1)求φ;(2)求y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切. (1)解:∵x=8π是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2³8π+φ)=±1. ∴4π+φ=k π+2π,k ∈Z . ∵-π<φ<0,∴φ=43π-.(2)解:由(1)知φ=43π-,因此y=sin(2x-43π-).由题意得2k π-2π≤2x 43π-≤2k π+2π,k ∈Z .∴函数y=sin(2x-43π-)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］,k ∈Z .(3)证明:∵|y ′|=|［sin(2x-43π-)］′|=|2cos(2x-4π)|≤2,∴曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围为［-2,2］. 而直线5x-2y+c=0的斜率为25>2, ∴直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π-)的图象不相切. 深化升华 第三问考查直线与三角函数图象的位置关系,很有新意.把函数值域、导数、斜率有机地联系在一起,是一道灵活的好题.。

第1讲合情推理与演绎推理自主梳理1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断，我们将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由到，由到的推理；(2)由归纳推理得到的结论正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．4．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是之间的推理．5．合情推理：合情推理是根据和的结果、个人的和、和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果正确．6．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的，利用的法则将命题推导出来．7．三段论探究点一归纳推理例1在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式a n.探究点二：归纳推理在图形变化中的应用例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝_；f(n)＝ (答案用含n的代数式表示)．变式迁移2：在平面内观察：凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？ 探究点三：归纳推理在算式问题中的应用例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．(1)1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52， ……(2)1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， ……变式迁移3：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为 探究点四：类比推理在几何中的应用例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_______________________________________________． 探究点五：定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立． 变式迁移5：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4， ， ，T 16T 12成等比数列． 探究点六：演绎推理三段论的应用例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E的距离相等．变式迁移6已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.课后小试身手一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于() A．47 B．65 C．63 D．1282．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)3．下列推理正确的是() A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④5．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．上表述正确的是()6．下列说法不正确的是() A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D ．归纳推理的结论都不可靠7． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin (x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确8．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 9． 下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图10． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 二、选择题11． f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．12． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________.13． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________． 14． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是________． ①b 4＋b 8>b 5＋b 7；②b 5＋b 7>b 4＋b 8；③b 4＋b 7>b 5＋b 8；④b 4＋b 5>b 7＋b 8.15． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．16．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．三，解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．18．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．19．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间 四面体性质的猜想．20．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．。