知识讲解曲线运动复习与巩固基础

高一下学期期末复习《曲线运动》知识点总结1． 曲线运动的速度和加速度(1)速度v ：①方向沿该点的 方向，且时刻改变； ②大小：可以恒定。

(2)加速度a ：①方向：指向曲线的 侧，与速度方向夹角可能为 角（加速）、直角(匀速率)、可能为钝角（减速）；②大小：可以恒定（匀变速曲线运动，如 运动）、可以变化（变加速曲线运动，如 运动），但a≠0。

判断下列说法是否正确．(1)变速运动一定是曲线运动．( )(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．( ) (3)做曲线运动的物体加速度可以为零．( ) (4)做曲线运动的物体加速度可以不变．( ) (5)曲线运动可能是匀变速运动．( )(5)匀变速曲线运动在相同时间内速度变化量相同．( ) 2．小船渡河的三个最值、三个方向、三种方法最短时间最短航程最小速度v 船>v 水v 船<v 水min t =min l =minl = ,cos v v θ=船水v 船min =【划重点】（1）小船渡河中有三个方向——水流方向（分运动）、船头（分运动）、航线（合运动）；（2）位移和速度要一一对应，合位移对应合速度、分位移对应分速度；（3）小船渡河的时间由河的宽度d 和船沿垂直河岸的分速度v 船决定，与水流速度无关； （4）三种解题方法：平行四边形定则法、三角形法和正交分解法。

3． 绳杆速度关联——四步v ＝v 物v 物′＝v 物v 物 ＝v 物′v 物 ＝v 物′4． 接触连接体速度关联——垂直接触面速度相等5． 平抛运动的分运动θv 船v 水dθ(v 船v 水dv 船v 水d)θv 船minv 水 v 船危险区6．平抛运动的基本规律(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝ ，位移x ＝ . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝ ，位移y ＝ . (3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v yv x ＝ .(4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝yx＝ .7．平抛运动物理量的决定因素(1)飞行时间：由t ＝2hg 知，时间取决于 ，与初速度v 0无关． (2)水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由 和 共同决定，与其他因素无关．(3)落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v yv x ＝ ，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关． 8.两个重要推论①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 ，如图中A 点和B 点所示．②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝ tan θ. 9．判断下列说法是否正确．(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．( ) (2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动．( ) (3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大．( )(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大．( ) (5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大．( ) 10．易错易混——速度变化量与速率变化量不同：①速度变化量v ∆= ，对于匀变速直线或曲线运动，加速度恒定，在相等时间内，速度变化量相等。

曲线运动复习与巩固【学习目标】1．知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。

2．了解合运动、分运动及其关系，特点。

知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。

3．知道什么是抛体运动，理解平抛运动的特点和规律，熟练掌握分析平抛运动的方法。

了解斜抛运动及其特点。

4．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。

理解向心力及向心加速度。

5．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。

能正确处理竖直平面内的圆周运动。

6．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。

会分析相关现象的受力特点。

【知识网络】【要点梳理】知识点一、曲线运动（1）曲线运动的速度方向曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。

（2）曲线运动的处理方法曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。

（3）一些特别关注的问题①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。

②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。

也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。

③运动的合成与分解是解决问题的手段具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。

④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。

知识点二、抛体运动（1）抛体运动的性质所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。

其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。

课题：曲线运动知识点一：曲线运动的位移和速度1．曲线运动的定义所有物体的运动可根据其轨迹的不同分为两大类，即直线运动和曲线运动．运动轨迹为曲线的运动叫做曲线运动．2．曲线运动的位移曲线运动的位移是指运动的物体从出发点到所研究位置的有向线段．曲线运动的位移是矢量，其大小为有向线段的长度，方向是从出发点指向所研究的位置．3．曲线运动的速度．（1）物体做曲线运动时，速度的方向时刻都在改变．（2）物体在某一点（或某一时刻）的速度方向为沿曲线在这一点的切线方向．要点诠释1．曲线运动的速度方向（1）质点在某一点（或某一时刻）的速度方向沿曲线在该点的切线方向．（2）曲线运动的速度方向时刻改变．速度是描述运动的一个重要的物理量，它既有大小，又有方向．如果物体在运动过程中只有速度大小的改变，而速度方向不变，则物体只能做直线运动．因此，若物体做曲线运动，表明物体的速度方向时刻变化．2．运动性质是变速运动（1）无论物体做怎样的曲线运动，由于轨迹上各点的切线方向不同，物体的速度方向时刻发生变化，因此，曲线运动一定是变速运动．（2）曲线运动是否为匀变速运动决定于物体是否受到恒力作用，如抛体运动中，由于物体只受重力作用，其加速度不变，故物体做匀变速运动，这与物体的运动轨迹无关．典例强化例1．下列说法正确的是（）A．物体在恒力作用下可能做曲线运动B．物体在变力作用下不可能做曲线运动C．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上D．物体在变力作用下有可能做曲线运动举一反三1．关于物体的运动，下列说法中正确的是（）A．物体做曲线运动时，它所受到的合力一定不为零B．做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态C．做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变D．做曲线运动的物体，受到的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上知识点二：曲线运动的条件1．从运动学的角度看：质点加速度的方向与速度的方向不在一条直线上时，质点就做曲线运动．2．从动力学的角度看：当物体所受合外力不为零，且合外力方向与速度方向不在同一条直线上时，物图 3 体做曲线运动．要点诠释1．物体做曲线运动的条件（1）物体受到的合外力方向与其运动方向不共线时，物体做曲线运动．（2）根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与其合外力方向一致，因此物体做曲线运动时，其加速度方向与它的运动方向不在一条直线上．（3）若物体的合外力（或加速度）方向与它的运动方向在一条直线上，物体就做直线运动．3．判断物体做直线运动还是曲线运动的方法．（判断时应紧扣物体做曲线运动的条件进行分析）（1）明确物体的初速度方向．（2）分析合外力的方向或加速度的方向．（3）分析两个方向的关系，从而作出判断．典例强化例1．如图1所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这时突然使它所受的力方向反向而大小不变（即由F 变为－F ）．在此力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）．A ．物体不可能沿曲线Ba 运动B ．物体不可能沿直线Bb 运动C ．物体不可能沿曲线Bc 运动D ．物体不可能沿原曲线由B 返回A举一反三1．质点在一平面内沿曲线由P 运动到Q ，如果用v 、a 、F 分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下列各图中所标方向可能正确的是 （ ）．随堂基础巩固1．对做曲线运动的物体，下列说法正确的是（ ）A ．速度与合外力不可能在同一条直线上B ．加速度与合外力可能不在同一条直线上C ．加速度和速度有可能在同一直线上D ．合外力的方向一定是变化的2．如图2所示，小钢球m 以初速v 0在光滑水平面上运动后，受到磁极的侧向作用力而做图示的曲线运动到D 点，从图中可知磁极的位置及极性可能是（ ）．A ．磁极在A 位置，极性一定是N 极B ．磁极在B 位置，极性一定是S 极C ．磁极在C 位置，极性一定是N 极D ．磁极在B 位置，极性无法确定3．从高处斜向下抛出的物体在各个时刻的速度、加速度方向如图3所示，其中正确的是（ ）．A ．图（a ）B ．图（b ）C ．图（c ）D ．图（d ）4．一个物体以初速度v 0从A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图4中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过A 、B 两点并与轨迹相切的直线．虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是（ ） 图 1图2图 5 A ．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域中B ．如果这个力是引力，则施力物体可能在③区域中C ．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域中D ．如果这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中课时跟踪训练1．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是（ ）A ．速率B ．速度C ．加速度D ．合外力2．下列关于曲线运动的说法中正确的是（ ）A ．曲线运动一定是变速运动B ．变速运动一定是曲线运动C ．速率不变的曲线运动没有加速度D ．曲线运动一定是匀加速运动3．关于曲线运动的速度，下列说法正确的是（ ）A ．速度的大小与方向都在时刻变化B ．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化C ．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化D ．质点在某一点的速度方向是曲线上该点的切线方向4．在弯道上高速行驶的赛车后轮突然脱离赛车，关于脱离了赛车的后轮的运动情况，以下说法正确的是（ ）A ．仍然沿着汽车行驶的弯道运动B ．沿着与弯道垂直的方向飞出C ．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道D ．上述情况都有可能5．若已知物体运动的初速度v 0的方向及它受到的恒定的合外力F 的方向，下图中曲线a 、b 、c 、d 表示物体运动的轨迹，其中正确的是（ ）6．做曲线运动的物体，在其轨迹曲线上某一点的加速度方向（ ） A ．为通过该点的曲线的切线方向 B ．与物体在这一点时所受合外力方向垂直 C ．与物体在这一点的速度方向一致 D ．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零7．物体受到几个恒力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能（ ）A ．静止B ．做匀速直线运动C ．做变加速曲线运动D ．做匀变速曲线运动8．撑开的带有水滴的伞绕着伞柄在竖直面内旋转，伞面上的水滴随伞做曲线运动．若有水滴从伞面边缘最高处O 飞出，如图5所示．则飞出伞面后的水滴可能（ ）A ．沿曲线Oa 运动B ．沿直线Ob 运动C ．沿曲线Oc 运动D ．沿圆弧Od 运动9．一个质点受到两个互成锐角的恒力F 1和F 2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F 1突然减小到F 1－ΔF ，则该质点以后（ ）A ．一定做变加速曲线运动B ．在相等的时间内速度的变化一定相等C ．可能做匀速直线运动D ．可能做变加速直线运动10．一个质点在恒力F 作用下，在xOy 平面上从O 点运动到B 点的轨迹如图6所示，且在A 点时的速度方向与x 轴平行，则恒力F 的方向可能是（ ）A ．沿＋x 方向B ．沿－x 方向C ．沿＋y 方向D ．沿－y 方向11．下列说法中正确的是（ ） 图4A．合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动B．合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动C．合外力方向与速度方向成钝角时，物体做减速直线运动D．合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动12．一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知在此过程中只受一个恒力F作用，运动轨迹如图7所示．则由M到N的过程中，速度的大小（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大13．如图8所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M点到N点的运动过程中，物体的速度（）A．不断增大B．不断减小C．先增大后减小D ．先减小后增大图6图7 图8。

曲线运动相关的知识点总结一、曲线运动的概念和特点曲线运动是指物体在空间中不沿直线运动，而是沿着一定的轨迹运动的运动。

曲线运动的特点有以下几个方面：1. 随着时间的推移，物体在空间中的位置不断变化，形成一定的轨迹；2. 曲线运动的速度和加速度可能随着时间和位置的变化而变化；3. 曲线运动通常受到外界力的作用，这些外界力会影响物体的速度和加速度；4. 曲线运动的轨迹可以是圆形、椭圆形、抛物线形等不同形状。

二、曲线运动的基本参数1. 位移（s）：物体在曲线运动过程中，由于位置的变化而产生的矢量，表示物体在空间中的移动距离和方向。

位移通常用矢量来表示，其大小等于物体起始位置和终点位置之间的直线距离，方向与曲线轨迹的切线方向一致。

2. 速度（v）：物体在曲线运动中的平均速度和瞬时速度分别表示物体在一段时间内的位移与时间的比值和物体在某一瞬时的位置变化率。

曲线运动中的速度通常也是矢量，其大小等于位移与时间的比值，方向与曲线轨迹的切线方向一致。

3. 加速度（a）：物体在曲线运动中的平均加速度和瞬时加速度分别表示物体在一段时间内速度的变化率和物体在某一瞬时的速度变化率。

曲线运动中的加速度也是矢量，其大小等于速度与时间的比值，方向与速度变化的方向一致。

三、曲线运动的数学描述1. 位移-时间图：曲线运动的位移-时间图用来描述物体在不同时间段内的位移变化情况，通过位移-时间图可以了解物体的运动方向、速度和运动过程中的各个阶段。

2. 速度-时间图：曲线运动的速度-时间图用来描述物体在不同时间段内的速度变化情况，通过速度-时间图可以了解物体的加速度、减速度和速度达到最大值和最小值的时间点。

3. 加速度-时间图：曲线运动的加速度-时间图用来描述物体在不同时间段内的加速度变化情况，通过加速度-时间图可以了解物体的变速情况和加速度的大小和方向变化情况。

四、曲线运动的相关定理和公式1. 物体的位移与速度关系：曲线运动中，物体的位移与速度之间存在着一定的关系，如在匀变速直线运动中，位移与速度之间的关系可以表示为s=v0t+1/2at^2或v^2=v0^2+2as 等。

曲线运动基础一、基础知识1、定义：轨迹为曲线的运动2、成因：合外力与速度方向不共线3、曲线运动合外力、轨迹、速度画法、关系和关系：（1）速度a速度方向方向：速度沿着轨迹切线b曲线运动速度特点：速度一定改变，一定是变速运动；速率/速度的大小不一定改变（2）受力a方向方向：合外力力指轨迹凹侧。

b加速减速：合外力与速度夹角为钝角，物体减速；为直角，物体速率不变。

为锐角，物体加速。

c曲线运动合外力/加速度特点：加速度方向和大小都未必改变，但是一定与速度不共线（3）关系：速度合力夹轨迹，轨迹方向偏向力，力指凹侧与高速4、概念辨析：曲线运动物体的速度大小一定改变（）速率改变的运动是曲线运动（）曲线运动速度一定不断改变（）曲线运动加速度大小一定不断改变（）曲线运动加速度一定不断改变（）物体做曲线运动，则其加速度可能不变（）加速度恒定的运动不可能是曲线运动（）物体受恒力作用下不可能做曲线运动（）物体在变力作用下一定做曲线运动（）物体只有收到一个方向时刻改变的力才能做曲线运动（）5、经典例题1、在阅兵式中，空中梯队的表演震撼人心，更令人自豪的是，参阅飞机全部是国产先进飞机．如图所示，虚线为一架歼-15战斗机飞过天安门上空时的一段轨迹，P是轨迹上的一点．四位同学分别画出了带有箭头的线段甲、乙、丙、丁来描述飞机经过P点时的速度方向，其中描述最准确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁17．图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向入水，图中哪个位置头部的速度方向与入水速度方向相同（）A．a点B．b点C．c点D．d点2、狗拉雪橇，雪橇在位于水平冰面的圆弧形道路上匀速率滑行．如图为4个关于雪橇运动到某位置时受到的合外力F及滑动摩擦力f的示意图（图中O为圆心），其中正确的是（）A．B．C．D．3、汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N减速行驶，下图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（）A．B．C．D．4、某质点在恒力F作用下从A点沿图所示曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小不变，但方向恰与F相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的哪条曲线（）A．曲线a B．曲线b C．曲线c D．以上三条曲线都不可能二、运动的合成与分解1、运动的分类（1）按运动轨迹分为直线运动与曲线运动。

第四章曲线运动第一模块：曲线运动、运动的合成和分解『夯实基础知识』■考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。

2、物体做曲线运动的方向：做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。

3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

4、物体做曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。

（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。

可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。

（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。

5、分类⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑴非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。

■考点二、运动的合成与分解1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。

运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。

2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3、合运动与分运动的关系：■运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；■等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等■独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

物理必修二曲线运动知识点物理必修二曲线运动知识点在现实学习生活中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

掌握知识点有助于大家更好的学习。

下面是店铺收集整理的物理必修二曲线运动知识点，欢迎阅读与收藏。

物理必修二曲线运动知识点 11.曲线运动⑴物体作曲线运动的条件：①初速度和合外力不为零。

②两者不在一直线上。

⑵速度：①合外力的作用是改变速度(大小、方向)。

②任一点的速度方向在该点曲线的切线方向上。

③运动中速度不断改变，是一种变速运动，如果合外力是恒定的，属匀变速运动。

2.运动的合成和分解⑴两类基本运动：匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动是最常见的两类基本运动;⑵运动合成：①几个同类运动的合运动仍是同类运动。

②合速度或合加速度按力的合成方法求。

③不同类运动的合运动可能是直线运动(V0与a在同一直线上)，也可能是曲线运动(V0与a不在同一直线上)。

⑶运动分解：一个复杂的运动也可分解成几个较简单的分运动(一般用正交分解)，各个分运动可独立求解，其相互关系是它们具有等时性。

⑷船渡河和拖船问题：①船渡河：它是船在静水中的运动和水的运动的合运动，它是两种匀速直线运动的合成，合运动也是匀速直线运动。

船渡河的时间由河宽和船垂直河岸的分速度决定，与水的流速度无关，船渡河沿河岸的位移与渡河时间和水的流速有关。

当船的静水速度大于水的流速时，可以使它们的合速度方向垂直河岸，此时渡河最小位移等于河宽，当船的静水速度小于水的流速时，无法使它们的合速度方向垂直河岸，此时要通过画圆弧方法求解。

②岸上拖船：包括汽车通过滑轮提升重物问题，存在两个不同的运动，一般岸上的运动是匀速直线运动，而比岸低的水中船的运动是一种变速运动，船在水中的速度是合速度(实际效果)，连接绳的速度是船的分速度(它的大小等于岸上拉绳力的速度大小)，船的移动距离要通过绳被拖过的长度计算。

如果是河中的船(匀速)拖动岸上物体，则船速也是合速度。

高三物理曲线运动知识点归纳总结曲线运动作为物理学中的一个重要概念，是指物体在运动过程中路径为曲线的运动形式。

在高三物理学习中，曲线运动是一个必须掌握的知识点。

下面将对高三物理曲线运动的相关知识点进行归纳总结。

一、曲线运动的分类曲线运动可以分为平面曲线运动和空间曲线运动两种类型。

1. 平面曲线运动：物体在同一平面内沿着曲线路径运动。

例如，弹体自由落体运动中的弹体以抛物线的形式运动。

2. 空间曲线运动：物体在三维空间中沿着曲线路径运动。

例如，行星围绕太阳旋转的轨道就是一个空间曲线运动。

二、曲线运动的基本概念了解曲线运动的基本概念对于理解具体问题具有重要意义。

1. 速度：曲线运动的速度分为瞬时速度和平均速度。

瞬时速度指物体在某一时刻的速度，平均速度指物体在一定时间内的速度。

2. 加速度：曲线运动的加速度也分为瞬时加速度和平均加速度。

瞬时加速度是物体在某一时刻的加速度，平均加速度是物体在一定时间内加速度的平均值。

3. 曲率和半径：曲线运动中曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大表示曲线的弯曲程度越大。

半径是曲线运动中用于描述曲线形状的重要参数。

三、曲线运动的数学表达为了更好地描述曲线运动，我们可以利用数学方程来表达。

1. 一般曲线方程：对于平面曲线运动，可以利用一般曲线方程来描述物体的位置变化。

曲线方程一般由位置矢量的分量形式给出。

2. 极坐标方程：对于某些特殊的曲线运动，如圆周运动，我们可以使用极坐标方程进行描述。

极坐标方程由半径和角度的关系给出。

3. 参数方程：参数方程是曲线运动中常用的表达形式，通过参数来表示物体在不同时刻的位置坐标。

参数方程能够更好地描述曲线运动的细节。

四、曲线运动的相关性质与实际应用曲线运动具有很多重要的性质，同时也有广泛的实际应用。

1. 周期性与频率：曲线运动可能具有周期性或者频率。

周期性是指物体运动经过一定时间后回到原来的位置，频率是指单位时间内周期的个数。

2. 碰撞与轨道：曲线运动中经常会出现物体碰撞和运动轨道的问题。

曲线运动知识巩固说明：此次小结面向高一年级学生，涉及知识仅有曲线运动，平抛（类平抛）运动，万有引力与航天，机械能守恒等，至于电场、磁场、复合场中的曲线运动尚未涉及。

由于本人能力所限，不足和谬误之处难以避免，还望读者指正。

——曾春一、曲线运动概念理解：1、曲线运动的条件。

2、曲线运动中线速度和角速度的关系及其各自的表达式。

3、圆周运动中常用的公式小结。

二、平抛（类平抛）运动：1、（平抛概念理解）如图1，自h高处以v0水平抛出一个小球，求小球经多少秒落地以及落地点与抛出点的距离和其水平距离。

V0图12（越沟问题）一摩托车表演杂技，如图2所示，第一次试探时没有越过小河且恰好没有掉到河里，第二次他决定越过小河，(AB=20m，BC=CD=10m且B、C、D在同一水平面上)问：（1）摩托车第一次离开A点的速度为多大？（2）第二次离开A点的速度至少为多大？ AB C D图23、传送带上货问题同题型2，请同学们自己思考。

4、（迎面撞击斜面）如图3所示，以v0=10 m / s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是多少？图35、（空中相遇问题）从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为s2，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s。

两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

yBAO F E x图56、（结合天体）宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为l3。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。

7、（结合能量）如图6，一质量为m 的小物体从倾角为︒30的斜面顶点A 水平抛出，落在斜面上B 点，若物体到达B 点时的动能为35J ，试求小物体抛出时的初动能为多大？(不计运动过程中的空气阻力)v 0AB v 0v tv yαβ图68、（残缺轨迹）某一平抛的部分轨迹如图7所示，已知a x x ==21，b y =1，c y =2，求0v 。

曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动的基本概念1．曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．二、运动的合成与分解1．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．2．合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．一、易混易错判断1．做曲线运动的物体加速度一定不为零．( √)2．做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．( ×)3．曲线运动可能是匀变速运动．( √)4．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等．( √)5．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．( ×)6．分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则．( √)第四章曲线运动万有引力与航天二、教材习题及改编1. (人教版必修2·P6·演示实验改编)如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小铁球运动的说法正确的是( )A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动解析：选D．磁铁放在A处时，小铁球受磁力作用向前加速，逐渐靠近磁铁，磁力增大，加速度增大，故A、B均错误；磁铁放在B处时，小铁球受到的磁力与速度方向不共线，做曲线运动，因磁力的大小和方向均随距离的变化而变化，故加速度大小是变化的，C错误，D正确．2. (人教版必修2·P4·“演示实验”改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮．在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动．红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L.则下列说法正确的是( )A．v增大时，L减小B．v增大时，L增大C．v增大时，t减小D．v增大时，t增大解析：选B．由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确．3．如图所示，在灭火抢救过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，消防队员沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退，则关于消防队员的运动，下列说法正确的是( )A．消防队员做匀加速直线运动B．消防队员做匀变速曲线运动C．消防队员做变加速曲线运动D．消防队员水平方向的速度保持不变解析：选B．根据运动的合成，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，其合加速度的方向、大小不变，所以消防队员做匀变速曲线运动，故A、C错误，B正确．将消防队员的运动分解为水平方向和竖直方向，知水平方向上的最终的速度为匀速后退的速度和沿梯子方向速度在水平方向上的分速度的合速度，因为沿梯子方向的速度在水平方向上的分速度在变，所以消防队员水平方向的速度在变，故D错误．考点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析1．运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．2．合力方向与速率变化的关系1．(曲线运动的条件)一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( ) A．一定做匀变速直线运动B．在相等时间内速度的变化一定相等C．可能做匀速直线运动D．可能做变加速曲线运动解析：选B．在互成锐角的恒力F1和F2作用下，质点由静止开始运动，做匀加速直线运动．当保持F1、F2方向不变，F1大小突然增大到F1＋ΔF，则此时合力的方向与速度方向不共线，质点做曲线运动．由于合力恒定，所以质点做匀变速曲线运动，加速度是定值，所以在相等的时间内速度的变化一定相等，故B正确，A、C、D错误．2. (曲线运动的轨迹)如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹最接近图中的( )A．直线P B．曲线QC．曲线R D．无法确定解析：选B．红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，物体做曲线运动，根据轨迹夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向大致指向轨迹凹的一侧，知轨迹可能为曲线Q，故B正确，A、C、D错误．3．(加速度方向与速率变化的关系)如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直．在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )A．质点经过C点的速率比经过D点的大B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：选A．质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；由于在D点时速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C到D速率减小，所以经过C点的速率比经过D点的大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角逐渐减小，D错误．【题后反思】曲线运动的两点注意(1) 曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；该点的力(加速度)越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越明显．(2) 曲线轨迹必定夹在F(a)、v方向之间．考点二运动的合成与分解的应用1．运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．2．合运动的性质和轨迹的判断(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动．(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动．如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场．若飞机在水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )A．飞机的运动轨迹为曲线B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s解析：选D．由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A 错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝v0x t20＋12a x t220－v0x t19－12a x t219＝21 m，竖直位移y＝v0y t20＋12a y t220－v0y t19－12a y t219＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确．【题后反思】“化曲为直”思想在运动的合成与分解中的应用(1)分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动．(2)要注意分析物体在两个分方向上的受力及运动规律，分别列式求解．(3)两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点．1．(合运动与分运动的关系)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目．当跳伞运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中若受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的空中表演动作B．风力越大，运动员下落时间越短，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力大小无关D．运动员着地速度与风力大小无关解析：选C．运动员同时参与了两个分运动，即竖直方向向下的运动和水平方向随风的运动，两个分运动同时发生，相互独立，因此，水平分速度越大，落地的合速度越大，但落地时间不变，故A、B错误，C正确；运动员着地速度与风力大小有关，故D错误．2．(运动性质的判断)(多选)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)．关于物体的运动，下列说法正确的是( )A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动C．物体运动的轨迹是一条直线D．物体运动的轨迹是一条曲线解析：选BC．对应位移时间公式x＝v0t＋12at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度a x＝－4 m/s2，a y＝6 m/s2.物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度和加速度数值也是相同的，即合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．3．(由分运动的图象分析物体的运动规律)质量为2 kg的质点在x­y平面上运动，x 方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图所示，则质点( )A．初速度为4 m/sB．所受合外力为4 NC．做匀变速直线运动D．初速度的方向与合外力的方向垂直解析：选B．由题图可知，质点在x轴方向的初速度为v x＝4 m/s，在y轴方向的初速度v y＝3 m/s，则质点的初速度v0＝v2x＋v2y＝5 m/s，故A错误；由题图可知，质点在x轴方向的加速度a＝2 m/s2，在y轴方向做匀速直线运动，所以质点所受合力F合＝ma＝4 N，故B正确；质点在x轴方向的合力恒定不变，在y轴方向做匀速直线运动，在y轴方向合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；质点的合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，所以质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误．考点三小船渡河问题1．小船渡河问题的分析思路2．小船渡河的两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间t min＝dv船渡河位移最短如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水v船(2020·长春模拟)某物理兴趣小组的同学在研究运动的合成和分解时，驾驶一艘快艇进行了实地演练．如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一目标靶，经测量该目标靶距离两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小为v1＝8 m/s，快艇在静水中的速度大小为v2＝10 m/s.现要求快艇从图示中的下方河岸出发完成以下两个过程：第一个过程以最短的时间运动到目标靶；第二个过程由目标靶以最小的位移运动到图示中的上方河岸，则下列说法正确的是( )A．第一个过程快艇的出发点位于M点左侧8 m处B．第一个过程所用的时间约为1.17 sC．第二个过程快艇的船头方向应垂直河岸D．第二个过程所用的时间为2 s解析：选D．快艇在水中一方面航行前进，另一方面随水流向右运动，当快艇的速度方向垂直于河岸时，到达目标靶的时间最短，所以到达目标靶所用时间t＝MOv2＝1.5 s，快艇平行河岸向右的位移为x ＝v 1t ＝12 m ，则出发点应位于M 点左侧12 m 处，A 、B 错误；第二个过程要求位移最小，因此快艇应垂直到达对岸，则船头应指向河岸的上游，C 错误；要使快艇由目标靶到达正对岸，快艇的位移为12 m ，快艇的实际速度大小为v ＝v 22－v 21＝6 m/s ，所用的时间为t ′＝NO v＝2 s ，D 正确．【题后反思】 (1)船的航行方向即船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．(2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．(3)船沿河岸方向的速度为船在静水中的速度沿河岸方向的分速度与水流速度的合速度，而船头垂直于河岸方向时，船沿河岸方向的速度等于水流速度．1．(小船渡河轨迹分析)如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大，一条小船保持船头垂直于河岸的方向匀速航行．现沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系xOy ，则该小船渡河的大致轨迹是( )解析：选C ．小船垂直于河岸方向航行的速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因此小船渡河过程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特点可知，加速度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项C 正确．2．(小船渡河的位移最短模型)一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸．已知小船在静水中的速度为v .现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是( )A ．减小α角，减小船速vB ．减小α角，增大船速vC ．增大α角，增大船速vD ．增大α角，减小船速v解析：选B ．由题意可知，小船相对水的速度为v ，其航线恰好垂直于河岸，如图所示，当水流速度v 1稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，则船速变化如图v ′所示，可知B 正确．3．(小船渡河的两类模型对比分析)有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v 的大河．一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为2v 3 .回程与去程所用时间之比为( ) A．3∶2B ．2∶1C ．3∶1D ．23∶1解析：选B ．设河宽为d ，则去程所用的时间t 1＝d 2v 3＝3d 2v；返程时的合速度：v ′＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v 32－v 2＝v 3，回程的时间为：t 2＝d v 3＝3d v ；故回程与去程所用时间之比为t 2∶t 1＝2∶1，选项B 正确．考点四 绳(杆)端速度分解问题1．模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．2．思路与方法合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v分速度→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳(杆)的速度v 1其二：与绳(杆)垂直的分速度v 2 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则．3．解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．1．(绳端速度分解模型)如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1<m2.若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ.这时m1的速度大小v1等于( )A．v2sin θB．v2 sin θC．v2cos θD．v2 cos θ解析：选C．物体m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)．因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cos θ，C正确．2．(杆端速度分解模型)如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )A．v1＝v2B．v1＝v2cos θC．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θ解析：选C．将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确．限时规范训练[基础巩固题组]1．关于两个运动的合成，下列说法正确的是( )A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动B．不同方向的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动C．小船渡河的运动中，小船对地的速度一定大于水流速度D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短解析：选B．两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项A错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项B正确；小船对地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)，等于水速，或小于水速，故选项C错误；渡河时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项D错误．2．(多选)一质点做匀速直线运动．现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则( )A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变解析：选BC．质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，且加速度大小不变，选项B、C正确，A错误；由a＝ΔvΔt可知，质点单位时间内速度的变化量Δv总是不变的，但速率的变化量不确定，D错误．3．如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动．现从t ＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点．则t1∶t2为( )A．2∶1 B．1∶ 2C．1∶ 3 D．1∶(2－1)解析：选A．雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t 1∶t 2＝AB v ∶AF v＝2∶1，选项A 正确． 4．如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升．当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )A ．v sin αL B ．v L sin α C ．v cos αL D ．vL cos α解析：选B ．由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上的分量等于v ，即ωL sin α＝v ，所以ω＝v L sin α，B正确．5．(多选)如图所示，小船以大小为v 1、方向与上游河岸成θ角的速度(在静水中的速度)从A 处过河，经过t 时间正好到达正对岸的B 处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B 处，在水流速度不变的情况下，不可采取下列方法中的哪一种( )A ．只要增大v 1大小，不必改变θ角B ．只要增大θ角，不必改变v 1大小C ．在增大v 1的同时，也必须适当增大θ角D ．在增大v 1的同时，也必须适当减小θ角解析：选ABD ．若只增大v 1大小，不改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A 错误；若只增大θ角，不改变v 1大小，同理可知，船在水流方向的分速度在减小，船不可能垂直到达对岸，故B 错误；若在增大v 1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C 正确；若增大v 1的同时，也适当减小θ角，则水流方向的分速度增大，不能垂直到达对岸，故D 错误．6．一小船渡河，已知河水的流速与距某一河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则( )A ．船渡河的最短时间为75 sB ．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线C ．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直D ．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s解析：选A ．当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t ＝d v 船＝3004s ＝75 s ，故A 正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B 错误；要使船以最短路程渡河，必须是小船合速度始终与河岸垂直，故C 错误；根据速度的合成可知，船在河水正中间时速度最大，为5 m/s ，其余位置小于5 m/s ，故D 错误．7.一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两球A 和B (可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )A ．v 2＝12v 1 B ．v 2＝2v 1 C ．v 2＝v 1 D ．v 2＝3v 1解析：选C ．球A 与球形容器球心等高，速度v 1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v 11＝v 1sin 30°＝12v 1，球B 此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v 21＝v 2cos 60°＝12v 2，沿杆方向两球速度相等，即v 21＝v 11，解得v 2＝v 1，C 项正确．[能力提升题组]8．如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q ，跨过悬挂于O 点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q ，另一端悬挂一物块P .设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P 、Q 由静止同时释放，关于P 、Q 以后的运动下列说法正确的是( )A ．当θ＝60°时，P 、Q 的速度之比是3∶2B ．当θ＝90°时，Q 的速度最大C ．当θ＝90°时，Q 的速度为零D ．当θ向90°增大的过程中Q 的合力一直增大解析：选B ．P 、Q 用同一根绳连接，则Q 沿绳子方向的分速度与P 的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q 的速度v Q cos 60°＝v P ，解得v P v Q ＝12，故选项A 错误；当θ＝90°时，即Q 到达O 点正下方，垂直Q 运动方向上的分速度为0，即v P ＝0，此时Q 的速度最大，故选项B 正确，C 错误；当θ向90°增大的过程中Q 的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q 的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D 错误．9．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy ，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O (0，0)，t ＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中F x 表示沿x 轴方向的外力，图乙中F y 表示沿y 轴方向的外力，下列描述正确的是( )A ．0～4 s 内物体的运动轨迹是一条直线B ．0～4 s 内物体的运动轨迹是一条抛物线C ．前2 s 内物体做匀加速直线运动，后2 s 内物体做匀加速曲线运动D ．前2 s 内物体做匀加速直线运动，后2 s 内物体做匀速圆周运动解析：选C ．0～2 s 内物体沿x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s 时受沿y 轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s 内物体做类平抛运动，C 项正确．10.如图所示，河水由西向东流，河宽为d ＝800 m ，河中各点的水流速度大小为v 水，各点到较近河岸的距离为x ，v 水与x 的关系为v 水＝3400x (m/s)(x 的单位为m)．让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v 船＝4 m/s.则下列说法正确的是( )。

高三曲线运动知识点总结高三阶段是每个学生学习生涯中的关键时期，也是为了迎接高考做最后冲刺的时期。

在物理学科中，曲线运动是一个重要的知识点。

掌握曲线运动的相关知识对于解答物理题目、理解物理现象有着重要的作用。

本文将对高三曲线运动的一些关键知识点进行总结与归纳。

一、曲线运动的基本概念曲线运动是指物体在运动过程中所描述的轨迹是曲线形状的运动。

相比于直线运动，曲线运动具有更多的变化和复杂性。

在曲线运动中，主要包括速度、加速度和曲率等概念。

二、曲线运动的速度与加速度在曲线运动中，速度和加速度是两个非常重要的物理量。

速度描述了物体在单位时间内运动的位移变化情况，而加速度描述了单位时间内速度的变化情况。

当物体在曲线运动中时，速度的方向会随着时间变化而发生变化。

而加速度则是速度的变化率，即加速度描述了速度的变化情况。

在曲线运动中，速度和加速度的方向并不一定相同。

三、曲线运动的中心力与向心力在曲线运动中，物体所受到的力可以分为中心力和向心力两种。

中心力是指物体所受力的合力指向曲线的中心，不改变物体在曲线中运动的方向。

而向心力是指物体受力的合力指向曲线的切线方向，改变物体在曲线中运动的方向。

向心力是曲线运动中产生的一种惯性力。

四、曲线运动的圆周运动在物理学中，圆周运动是一种重要的曲线运动形式。

圆周运动是指物体在一个固定点周围作圆周状运动的情况。

在圆周运动中，存在着一些特殊的力和物理量。

其中，角速度是圆周运动的重要概念之一，它描述了物体在圆周运动过程中单位时间内对应的角位移。

同时，通过角速度和半径的乘积，可以计算出线速度，即物体在圆周运动过程中的实际速度大小。

五、曲线运动的抛体运动抛体运动是曲线运动中的另一个重要概念。

抛体运动是指以一定的初速度和发射角度进行的运动。

在抛体运动中，物体同时受到竖直方向和水平方向的重力作用，这两个方向上的力的合力决定了物体的运动轨迹。

在抛体运动中，常常需要解决的问题是求解物体的飞行时间、最大高度和最大水平距离等。

高中物理必修二知识点总结之曲线运动曲线运动知识点：一、曲线运动1.曲线运动的特征(1)曲线运动的轨迹是曲线。

(2)由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

(3)由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

(注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

)曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2.物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3.匀变速运动：加速度(大小和方向)不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4.曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系(1)轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

(2)合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

(举例：匀速圆周运动)二、绳拉物体合运动：实际的运动。

对应的是合速度。

方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。

三、小船渡河例1:一艘小船在200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s，小船在静水中的速度是5m/s，求：(1)欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移多大?(2)欲使航行位移最短，船应该怎样渡河?最短位移是多少?渡河时间多长?船渡河时间：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸没有分速度，则不能渡河。

曲线运动知识点总结考点梳理： 一.曲线运动1.运动性质————变速运动，具有加速度2.速度方向————沿曲线一点的切线方向3.质点做曲线运动的条件 （1）从动力学看，物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上，合力指向轨迹的凹侧。

（2）从运动学看，物体加速度方向跟物体的速度方向不共线 二.运动的合成与分解1.合运动和分运动:当物体同时参与几个运动时,其实际运动就叫做这几个运动的合运动,这几个运动叫做实际运动的分运动.2.运动的合成与分解(1)已知分运动(速度v 、加速度a 、位移s)求合运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的合成.(2)已知合运动(速度v 、加速度a 、位移s)求分运动(速度v 、加速度a 、位移s),叫做运动的分解.(3)运动的合成与分解遵循平行四边形定则. 3.合运动与分运动的关系(1)等时性:合运动和分运动进行的时间相等.(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果. (3)等效性:整体的合运动是各分运动决定的总效果,它替代所有的分运动. 三.平抛运动 1.定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动. 2.性质:是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动,轨迹是抛3.平抛运动的研究方法 (1)平抛运动的两个分运动:水平方向是匀速直线运动,竖直方向是自由落体运动.(2)平抛运动的速度 水平方向:0v v x = ; 竖直方向:gt v y =合速度:22y x v v v +=,方向:xy v v tg =θ(3)平抛运动的位移水平方向水平位移：s x =v 0t 竖直位移：s y =21gt 2合位移：22yx ss s +=,方向：tg φ＝xy s ss 图5-2-24.平抛运动的轨迹:抛物线；轨迹方程：2202x v g y =5.几个有用的结论(1)运行时间和水平射程:水平方向和竖直方向的两个分运动既有独立性,又有等时性,所以运动时间为ght 2=,即运行时间由高度h 决定,与初速度v 0无关.水平射程ghv x 20=,即由v 0和h 共同决定. (2)相同时间内速度改变量相等,即△v =g △t, △v 的方向竖直向下.【例题】1.证明:(一个有用的推论)平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半.四.匀速圆周运动1.匀速圆周运动(1)定义:做圆周运动的质点,若在相等的时间内通过的圆弧长度相等,叫做匀速圆周运动.(2)运动学特征: v 大小不变,T 不变,ω不变,a 向大小不变; v 和a 向的方向时刻在变.匀速圆周运动是变加速运动.(3)动力学特征:合外力大小恒定,方向始终指向圆心. 2.描述圆周运动的物理量 (1)线速度①物理意义:描述质点沿圆周运动的快慢.②方向:质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向.③大小:tsv =(s 是t 时间内通过的弧长). (2)角速度①物理意义:描述质点绕圆心转动快慢. ②大小:tφω=(单位rad/s),其中φ是连结质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度.(3)周期T 、频率f做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.单位:s.做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数,叫做频率,也叫转速.单位:Hz.0 1 v 2v 1y v v图5-2-3v t v x 图5-2-4(4) v 、ω、T 、f 的关系f T 1=,f T ππ22==ω,ωr vr v ==π2 (5)向心加速度①物理意义:描述线速度方向改变的快慢.②大小: 22222222444v a w r r f r n rr T πππ=====③方向:总是指向圆心.所以不论a 的大小是否变化,它都是个变化的量.3.向心力F 向①作用效果:产生向心加速度,不断改变质点的速度方向,维持质点做圆周运动,不改变速度的大小.②大小: 22222222444v F m mw r m r m f r m n rr T πππ=====③来源:向心力是按效果命名的力.可以由某个力提供,也可由几个力的合力提供,或由某个力的分力提供.如同步卫星的向心力由万有引力提供,圆锥摆摆球的向心力由重力和绳上拉力提供(或由绳上拉力的水平分力提供).④匀速圆周运动的向心力就是合外力,而在非匀速圆周运动中,向心力是合外力沿半径方向的分力,而合外力沿切线方向的分力改变线速度的大小.4.质点做匀速圆周运动的条件: (1)质点具有初速度;(2)质点受到的合外力始终与速度方向垂直;(3)合外力F 的大小保持不变,且r m rv m F 22ω== 若r m r v m F 22ω=<,质点做离心运动;若r m rv m F 22ω=>,质点做向心运动; 若F =0,质点沿切线做直线运动.F< mr ω,图5-3-1二.小船过河问题1．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船ddt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为vd，合运动沿v 的方向进行。

曲线运动知识点复习纲要知识点一曲线运动特点⒈速度的方向：质点在某一点的瞬时速度，沿曲线在这一点的方向。

⒉运动的性质：作曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是运动，也就是具有。

练习1一质点在某段时间内做曲线运动,则在这段时间内（）A.速度一定在不断地改变,加速度也一定不断地改变B.速度一定在不断地改变,加速度可以不变C.速度可以不变,加速度一定不断地改变D.速度可以不变,加速度也可以不变练习2下列说法正确的是A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动；B、物体在变力作用下有可能作曲线运动；C、作曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在同一直线上；D、物体在变力作用下不可能作直线运动；练习3 一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力不变，此物体可能做（）A、匀加速直线运动B、匀减速直线运动C、类似于平抛运动D、匀速圆周运动练习4关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )A.它所受的合力一定不为零B.有可能处于平衡状态C.速度方向一定时刻改变D.受的合外力方向有可能与速度方向在同一条直线上知识点二曲线运动的轨迹练习1质点做曲线运动，它的轨迹如图所示，由A向C运动，关于它通过B点时的速度v的方向和加速度a的方向正确的是：（）知识点三合运动与分运动（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是（2）一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是练习1 关于运动的合成，下列说法中正确的是（）A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B．两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动C．两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动D．合运动的两个分运动的时间不一定相等知识点四平抛运动的规律①水平方向不为零的初速度；②只受作用，有恒定的竖直向下的重力加速度；③任一相同的时间间隔内的速度的变化量都④是运动1、处理方法：可以分解为水平方向的 运动和竖直方向的 运动。

2、速度：水平=x v ，竖直=y v ，合速度=v ，合速度与水平方向的夹角=θtan3、位移：水平=x ，竖直=y ，合位移=s ，合位移与水平方向的夹角=αtan注意：合位移与合速度方向不一致。

曲线运动知识点总结如下曲线运动知识点总结如下：一、基本概念1.定义：曲线运动是指物体运动轨迹是曲线的运动。

当物体所受的合外力和它速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

2.种类：曲线运动可分为平面曲线运动和空间曲线运动两种。

平面曲线运动包括圆周运动、椭圆运动、抛物线运动等；空间曲线运动包括螺旋线运动、球面运动、圆锥曲线运动等。

二、特点1.速度方向：曲线运动中质点在某一点的速度方向就是曲线上这一点的切线方向。

2.轨迹：曲线永远在合外力和速度方向的夹角里，曲线相对合外力（F合）上凸，相对速度方向（V）下凹。

3.加速度：由牛顿第二定律可知，加速度的方向始终与合外力的方向相同。

当合外力是恒力时，物体做匀变速曲线运动；当合外力为变力时，物体做非匀变速曲线运动。

三、公式总结1.2.位移公式：o匀速曲线运动：s = v × t，其中s为位移，v为速度，t为时间。

o非匀速曲线运动：s = ∫ v dt，即位移等于速度随时间的积分。

3.4.速度公式：o匀速曲线运动：v = s / t，即速度等于位移除以时间。

o非匀速曲线运动：v = ds / dt，即速度等于位移对时间的导数。

5.6.加速度公式：o匀加速曲线运动：a = (v - u) / t，其中a为加速度，v为末速度，u为初速度，t为时间。

o非匀加速曲线运动：a = dv / dt，即加速度等于速度对时间的导数。

四、种类举例1.自由落体运动：物体在重力作用下垂直下落的运动，轨迹为抛物线。

2.空中飞行运动：包括风筝悬停、滑翔和飞行器飞行等，空气阻力和推力的作用导致曲线运动的产生。

3.星体运动：太阳系中的行星和卫星运动，如地球绕太阳公转、月球绕地球公转等。

4.弹道运动：在重力和空气阻力的作用下，物体进行的自由飞行运动，如炮弹、导弹等的飞行轨迹。

五、应用1.自然界中的曲线运动：地球绕太阳公转、月球绕地球公转等。

2.体育竞技中的曲线运动：乒乓球、网球、高尔夫等项目中的球类运动。