高考数学题型全归纳：数列要点讲解(含答案)

数列

一、高考要求

1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，

并能根据递推公式写出数列

的前n 项.

2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前

n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.

二、热点分析

1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的

代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常

使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题

3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如2435

46225a a a a a a ，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有2

23355225a a a a ，即235()25a a .

4.对客观题，应注意寻求简捷方法

解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法

5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜

想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，

其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降

. 三、复习建议

1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前

n 项和. 2．注意等差（比）数列性质的灵活运用.

3．掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n 项和的求和方法.

4．注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.

5．注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率

,分期付款等问题中的应用. 6．数列是高中数学的重要内容之一，

也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

四、典型例题

【例1】已知由正数组成的等比数列n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项

之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列

n a 的通项公式.

解：∵q=1时122na S n

，1na S 偶数项又01a 显然11

112na na ，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q

q

a S n n n 偶数项依题意221211)1(111)1(q q q a q

q

a n n ；解之101q 又42142214

3),1(q a a a q q a a a ，依题意4212111)1(q a q q a ，将101

q 代入得10

1a

n

n n a 2110)101

(10【例2】等差数列{a n }中，1233

a a =30，33a =15，求使a n ≤0的最小自然数n 。解：设公差为d ，则3012230211

d a d a 或3012230211d

a d a 或3012230211d a d a 或3012230211d a d a 解得：0301d

a a 33 = 30 与已知矛盾或21

31

1d a a 33 = - 15 与已知矛盾或21

31

1d a a 33 = 15 或0301

d a a 33 = - 30 与已知矛盾

∴a n = 31+(n - 1) (21) 31

21n 0 n ≥63 ∴满足条件的最小自然数为63。

【例3】

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=44,S 7=35 （1）求数列{a n

}的通项公式与前n 项和公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和Tn 。

解：（1）设数列的公差为

d ，由已知S 4=44,S 7=35可得a 1=17,d=-4 ∴ａn =-4n+21 (n ∈N),S n =-2n 2+19 (n ∈N).

（2）由a n =-4n+21≥0 得n ≤

421

, 故当n ≤５时，a n ≥0, 当n ≥６时，0n

a 当n ≤５时,T n =S n =-2n 2+19n 当n ≥６时,T

n =2S 5-S n =2n 2-19n+90. 【例4】已知等差数列a n 的第2项是8，前10项和是185，从数列

n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，,,，第

2n 项，依次排列一个新数列n b ，求数列n b 的通项公式b n 及前n 项和公式S n 。

解：由1852910

108

11012d a S d a a 得3

51d a ∴23)

1(35)1(1n n d n a a n ∴2232n n n a b ·6

232122

2321121n n n n n n b b b S ·,,【例5】已知数列1，1，2,,它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列