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第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。
解：
S = 1000s 20
¬p
7%+Xs 10
¬p
7%
X =
50000 − 1000s 20
¬p
7% s 10
¬p7%
= 651.72
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有
10000 = X + 250a 48
¬p1.5%
解得
X = 1489.36
3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1
。试计算该年金的现值。
解：
P V = na¬n pi
1 − v n
n
= n 1
n
=
(n + 1)n
n 2
− n n
+2 (n + 1)n
4．已知：a¬n p
= X ，a 2
¬n p
= Y 。
试用X 和Y 表示d 。
解： a 2
¬n p
= a¬n p
+ a¬n
p (1 − d)n
则
Y − X
1
d = 1 − ( X ) n
5．已知：a¬7
p
= 5.58238, a 11
¬p
= 7.88687, a 18
¬p
= 10.82760。计算i 。
解：
a 18
¬p = a¬7
p + a 11
¬p v 7
解得
6.证明： 1
1−v 10
=
s 10¬p +a ∞¬p
。
s 10¬p
i = 6.0%
北京大学数学科学学院金融数学系
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证明：
s 10
¬p + a ∞¬p
(1+i)10−1+1
1 s 10
¬p
=
i
(1+i)10−1
i
i
= 1 − v 10
7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：
P V = 100a¬8p3% + 100a 20¬p 3% = 2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日
1000¨25¬p8%=
X¨15¬
p7% 解得
9．已知贴现率为10%，计算¨¬8
p
。
X = 8101.65
解： d = 10%，则 i
=1
10.求证： (1) ¨¬n
p = a¬n
p + 1 −
v n
；
1−d
− 1 =1
9
¨¬8
p = (1 + i)
1 − v 8
i
= 5.6953
(2) ¨¬n
p = s¬ −n
p 1 + (1 + i)n
并给出两等式的实际解释。
证明： (1)¨¬n
p =1
−d
v n
=1
−i
v n
=1
−v n
i
+ 1
− v n
所以
(2)¨¬n
p =
(1+
i)n
−1
1+i
¨¬n
p = a¬n
p + 1 − v n
(1+i )n −1=(1+i)n
−1
n
− 1
d =
i
1+i
i
+ (1 + i)
所以
¨¬n
p = s¬ −n
p 1 + (1 + i)n
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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：
P V = 100a49¬p1.5% − 100a¬2p1.5% = 3256.88
AV = 100s49¬p1.5% − 100s¬2p1.5% = 6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y 。
解：因两种年金价值相等，则有
2
a30¬p i+a10¬p i v10=Y a30¬ −p i Y a10¬pi v10
所以Y =3−v10−2v30
1+v10−2v30
= 1.8
14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。
解：由题意知，
2a2¬n pi+ 3a¬n pi = 36
2a¬n pi v n= 6
解得
a¬7p a¬3p + s X¬p
i = 8.33%
15.已知a11¬p
=
a Y¬p + s Z¬p 。求X，Y和Z。
解：由题意得
解得1 − v7
1 − v11
= (1 + i)X− v3
(1 + i)Z − v Y
16.化简a15¬p (1 + v15+ v30)。
解：
X = 4, Y = 7, Z = 4
a15¬p (1 + v15+ v30) = a45¬p
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