易错点08 不等式
-备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知a >0，b 〉0，且a +b =1，则（ ） A 。 221
2
a b +≥
B 。
1
22
a b ->
C 。
22log log 2a b +≥-
D.
≤
【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A,()
2
2
2221221a b a a a a +=+-=-+2
1211222a ⎛
⎫⎪⎭+ ⎝
≥-=，
当且仅当1
2a b ==时，等号成立，故
A 正确;
对于B,
211a b a -=->-，所以11
222
a b -->=，故B 正确；
对于
C ，2
222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫
+=≤==- ⎪
⎝⎭
， 当且仅当1
2a b ==时，等号成立,故
C 不正确；
对于D,因为2
112
a b =+++=，
≤，当且仅当1
2a b ==
时，等号成立，故
D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。 【易错警示】
易错点1．随意消项致误 【例1】解不等式；
22(1025)(43)0
x x x x -+-+≥．
【错解】原不等式可化为:2
(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2
(5)
x -≥，
所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或． 【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2
(5)0
x -=时，
原不等式亦成立．
【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0
x x x -≠⎧⎨
--≥⎩
或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．
所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或
易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例2】解不等式；
1
02
x x -≤+． 【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不
等式的解集为[2,1]-．
【错因】没有考虑分母不能为0
【正解】原不等式可化为：(1)(2)0
2
x x x -+≤⎧⎨
≠-⎩
,解得21x -<≤, 所以原不等式的解集为(2,1]-．
易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例3】解不等式；
1
22
x x -≤+． 【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-， 所以原不等式的解集为[5,)-+∞． 【错因】两边同乘以2x +，导致错误
【正解】原不等式可化为:15
20022
x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，
所以原不等式的解集为(,5](2,)
-∞--+∞．
易错点4．漏端点致误 【例4】集合{}{}2
|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，
且A B φ=，则实数的取值范围是______ 【错解】{}{}2
|20|12A x x
x x x =--≤=-≤≤ ，若使A
B φ
=，
需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或,所以实数a 的取值范围是
24a a ><-或．
【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2
a =
时{}|25B x x =<<,满足A B φ
=;当31a +=-时,即4a =-时也满足A
B φ
=．
【正解】{}{}2
|20|12A x x
x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或,
解得24a a ≥≤-或,所以实数a 的取值范围是24a a ≥≤-或． 易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数
1
y x x
=+
的值域．
【错解】因为12y x x
=+≥=，所以函数 1
y x x
=+的值域为[2,)+∞． 【错因】没有考虑为负数的情形．
【正解】由题意，函数1y x x
=+的定义域为{|0}x x ≠．
当0x >时，12y x x
=+≥=，当1x =时取得等号；
当0x <时，11
()2y x x x x
=+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号． 综上，求函数
1
y x x
=+
的值域是(,2][2,)-∞-+∞． 易错点6．忽视基本不等式取等的条件 【例6】求函数2
y =的最小值．
【错解】函数22
2y ==
=≥,所以函数的最小值为
2．
【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即
a b a b
+≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，
