备战2021年高考数学一轮复习易错题08不等式含解析

不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x 若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1Cac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x 的图象,由图可得出选 D.2．设,,1x yR x y则使成立的充分不必要条件是A1xyB1122xy 或 C1x D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(1)20xx 的解集是A{|1}x x B {|1}x x C {|21}x xx 且 D {|21}x x x 或错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A2a b xB2a bxC2a b xD2a b x错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．已知1324a b a b 且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22B 711(,)22 C 713(,)22 D 913(,)22错解：对条件“1324a ba b 且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为Φ，则实数a 的取值范围（）Aa ≤-21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥21正确答案： D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

7．已知函数y =㏒21(3x)52ax在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（）A a ≤-6B -60＜a ＜-6C -8＜a ≤-6D －8≤a ≤-6正确答案： C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。

第45课一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.【答案】331x x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为33|1-133x x⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.2.(必修5P80习题11改编)不等式-13xx+<0的解集为.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，则a=，b=.【答案】-1127124.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.【答案】[20，45]【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值X围是.【答案】(-∞，2∪2【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>2或k<-2.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1=x2=-b2a无实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}bx|x-2a⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式--x ax b<0(a<b)的解集为{x|a<x<b}.分式不等式--x ax b >0(a<b)的解集为{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的条件是0 a>⎧⎨∆<⎩，.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的条件是a<⎧⎨∆<⎩，.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1 解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)1xx+≤3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有1xx+-3≤0，通分得-21xx+≤0，即2-1xx≥0，又2-1xx≥0等价于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0对应方程的根为x1=0，x2=12，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x≥12或x<0.【解答】(1)原不等式转化为6x 2+5x -1>0，方程6x 2+5x -1=0的解为x 1=16，x 2=-1.根据y =6x 2+5x -1的图象，可得原不等式的解集为1|-16x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. (2)原不等式变形为1x x +-3≤0，即2-1x x ≥0，所以原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为--x ax b <0(a <b )或者--x ax b >0(a <b )的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成001313x x x x x x ><⎧⎧⎨⎨+≤+≥⎩⎩，，或者，再分别求解.变式1 解下列关于x 的不等式. (1)x -3x >-2；(2)x 2-(a 2+a )x +a 3<0(a >0). 【解答】(1)解不等式x -3x >-2，可得x >2或x <1.由x >2，得x >4；由x <1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}.(2)原不等式转化为(x -a )(x -a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a 2=a ，即a =1时，不等式的解集为∅.变式2 已知关于x 的不等式(1)-3-1a x x +<1. (1)当a =1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为2-3-1xx<1，化为-2-1xx<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}.(2)由(1)-3-1a xx+<1，得-2-1axx<0，即(ax-2)(x-1)<0.当2a=1，即a=2时，解集为∅；当2a>1，即0<a<2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当2a<1，即a>2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为{x|x<2a或x>1}.三个“二次”的关系例2 已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m 的解集为(n，n+10)，某某数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=28b，因为不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+28b<m，即2x2+bx+28b-m<0的解集为(n，n+10)，设方程2x 2+bx +28b -m =0的两根为x 1，x 2， 则x 1+x 2=-2b，x 1x 2=216b -2m ，所以|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=22--4-2162b b m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2m=10，解得m =50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)若x 1，x 2为ax 2+bx +c =0(a ≠0)两根，则|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=2--4b c a a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2-4||b aca =||a ∆.变式(2015·某某期末)若不等式x 2-ax -b <0 的解集为(2，3). (1)某某数a ，b 的值；(2)求不等式bx 2-ax -1>0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x 2-ax -b <0的解集是{x |2<x <3}. 所以2和3是方程x 2-ax -b =0的两个根，由韦达定理得2323-a b +=⎧⎨⨯=⎩，，解得5-6.a b =⎧⎨=⎩，(2)不等式bx 2-ax -1>0， 即为-6x 2-5x -1>0，不等式-6x 2-5x -1>0可化为6x 2+5x +1<0， 即(2x +1)(3x +1)<0，解得-12<x <-13，所以所求不等式的解集为{x 11--}23x <<.例3(1)已知方程x 2+ax +2=0的两根都小于-1，某某数a 的取值X 围；(2)若α，β是方程x2+(2m -1)x+4-2m=0的两个根，且α<2<β，某某数m的取值X围. 【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1)--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，；(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，，所以22≤a<3，即实数a的取值X围是[22，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即实数m的取值X围是(-∞，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4 如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值X围为.【答案】[0，4]【解析】当a=0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2-ax+1≥0恒成立，得2-40aa a>⎧⎨∆=≤⎩，，解得0<a≤4.综上，实数a的取值X围为[0，4].变式已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，某某数m的取值X围.【解答】令t=3x(t>1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在x轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或12(1)1-10mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=++≥⎪⎩，，，解得m<2+22.即实数m的取值X围是(-∞，2+22).1.(2015·某某卷)不等式2-2x x<4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x<2⇒-1<x<2，故解集为(-1，2).2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集为.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|-3<x<-2}.3.(2014·某某期末)已知函数f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，若f(f(-2))>f(k)，则实数k的取值X围为.【答案】(lo12g9，4)【解析】由题设知f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)<9，即192kk<⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，或2(-1)9kk≥⎧⎨<⎩，，解得k∈(lo12g9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值X围是.【答案】23 77⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】当a≤0时，不等式ax2+x-2a<0的解集中有无数个整数解，因此a>0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，则f(1)=1-a<0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假设错误，故0<a≤1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以实数a的取值X围是2377⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.5.(2015·某某二模)已知函数y=2-2x x a+的定义域为R，值域为[0，+∞)，则实数a的取值集合为.【答案】{1}【解析】由定义域为R，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域为[0，+∞)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ=4-4a=0，则a=1，所以实数a的取值集合为{1}.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第89~90页.【检测与评估】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)一、填空题1.(2015·某某卷)不等式-x 2-3x +4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式2-1xx <0的解集为.3.(2015·某某期末)已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2}，则实数a +b =.4.(2014·苏北五市模拟)已知集合A={x ||x -a |≤1}，B={x |x 2-5x +4≥0}.若A∩B=∅，则实数a的取值X 围是.5.若关于x 的不等式ax 2-|x |+2a <0的解集为空集，则实数a 的取值X 围是.6.若一元二次不等式ax 2-ax +b <0的解集为(m ，m +1)，则实数b =.7.对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2+ax >4x +a -3恒成立的x 的取值X 围是.8.(2014·某某期末)已知函数f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，，那么不等式f (x 2-x +1)<12的解集为.二、解答题9.设命题p ：实数x 满足(x -4a )(x -a )<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2-4x +3≤0. (1)若a =1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； (2)若p 是q 成立的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R 元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R 万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定?11.(2015·某某期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，某某数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，某某数a的取值X围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值X围是.13.(2015·某某三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4，1).2.1 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得-12-2-12baa⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，，解得-11ab=⎧⎨=⎩，，所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因为A∩B=∅，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.4∞⎫+⎪⎪⎣⎭【解析】当x=0时，不等式变为2a<0，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥0；当x ≠0时，不等式可化为a<2||2x x +=11||||x x +，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥max 11||||x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎝⎭，又|x|+1||x11||||x x +≤4，所以a≥4.综上，实数a 的取值X围是∞⎫+⎪⎪⎣⎭.6. 0【解析】由根与系数的关系可知11(1)m m b m m a ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等价于x 2+ax-4x-a+3>0，所以a (x-1)+x 2-4x+3>0，令f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3，则函数f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3表示一条直线，所以要使f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3>0，则有f (0)>0，f (4)>0，即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x 的取值X 围为(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，是奇函数，且在R 上单调递增，f (3)=12，所以原不等式等价于x 2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f (x 2-x+1)<12的解集为(-1，2).9. (1) 由(x-4a )(x-a )<0，a>0，得a<x<4a.当a=1时，1<x<4，即p 为真命题时，实数x 的取值X 围为{x|1<x<4}. 由x 2-4x+3≤0，得1≤x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值X 围为{x|1≤x ≤3}. 若p ∧q 为真，则1<x ≤3，所以实数x的取值X围是(1，3].(2) 设A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B A，所以0143aa<<⎧⎨>⎩，⇒34<a<1，所以实数a的取值X围是314⎛⎫⎪⎝⎭，.10.设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%(万元)，且x=100-10R.由题意知70(100-10R)·R%≥112，化简得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11.因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-1×2=-2a，解得a=1.(2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0，显然成立，②当a≠2时，2-20(-2)-4(-2)0aa a>⎧⎨≤⎩，，得2<a≤6.综上，实数a的取值X围为[2，6].(3) ax2+(a-2)x-2≥0⇔(x+1)(ax-2)≥0.当a=0时，原不等式变形为-2x-2≥0，解得x≤-1；当a≠0时，ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2 a，当a>0时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒x≤-1或x≥2a；当a<-2时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒-1≤x≤2a；当a=-2时，-1=2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇔(x+1)2≤0⇒x=-1；当-2<a<0时，-1>2 a；所以(x+1)(ax-2)≥0⇒2a≤x≤-1，综上可得，①当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}；②当a>0时，原不等式的解集为2|-1x x xa⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；③当-2<a<0时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；④当a=-2时，原不等式的解集为{}|-1x x=；⑤当a<-2时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.12.(-2，3)【解析】因为(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，所以m-m2>-214xx+.设t=12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为x∈(-∞，-1]，所以t≥2，所以m-m2>-t2-t，令g(t)=-t2-t(t≥2)，g(t)=-212t⎛⎫+⎪⎝⎭+14≤-6，所以m-m2>-6，解得-2<m<3.13.(0，1)∪{2}【解析】因为f(x)=(x-1)2+a-1，且f(0)=f(2)=a.当a-1≥-a，即a≥12时，此时恒有[a-1，a]⊆[-a，a]，故t∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a-1<-a，即0<a<12时，此时t∈(0，1)且t2-2t+a≥-a在a∈12⎛⎫⎪⎝⎭，时恒成立，即t≥1不成立，舍去)或t≤10<a<12，故t∈(0，1).综上，g(a)的值域为(0，1)∪{2}.。

新数学高考《不等式》专题解析一、选择题1．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2222333f x x x x ==+++233x +，故()33f x ≥，C 错误； D. ()422422xx f x e e =+-≥=，当4xx e e=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A-，(5,1)B，(3,3)C，因为1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，令z x y=-，当直线y x z=-经过A时，z取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．6．设变量,x y满足约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，由211x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，0）∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．已知函数())22log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】 2210,x x x x x x +≥-=所以定义域为R ，因为()22log 1f x x x=++，所以()f x 为减函数因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan 0β>，根据基本不等式2133tan tan ββ≤=+，当且仅当3tan 3β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 则αβ-的最大值为6π. 故选:B . 【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即233AF BF AB +≤，所以33MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．14．若、a b均为实数，则“()0->ab a b”是“0a b>>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．15．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC∆是等边三角形，故选D项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.16．已知M、N是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN的最大值是（）A．17B．34C．32D．172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.17．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．18．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥19．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。

理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。

会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。

绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。

含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。

［常用结论与易错提醒］1。

绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。

2。

不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。

3。

可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知变量满足：，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，令，可知在点处取得最大值，所以的最大值为。

【考点】线性规划及指数函数的单调性。

2.若二元一次线性方程组无解，则实数的值是__________．【答案】-2【解析】二元一次线性方程组无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则解得．【考点】二元一次方程组．3.若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，将三个点的坐标分别代入目标函数得，所以目标函数的取值范围为，故选A.【考点】线性规划.4.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设对于任意实数，不等式≥恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将不等式≥恒成立，转化为，用零点分段法，将转化为分段函数，再每一段分别求最值；第二问，结合第一问的结论，将m的值代入，利用零点分段法将绝对值不等式转化成不等式组，分别求解．试题解析：（1）设，则有当时有最小值8当时有最小值8当时有最小值8综上有最小值8所以（2）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或所以原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题．5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，先解不等式，再结合的解集为，从而得到a的值，再利用特殊值1将转化为，再利用基本不等式求函数的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．【考点】绝对值不等式的解法、基本不等式．6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当时，；当时，；当时，；故取值范围为，故选C．【考点】1．简单的线性规划；2．向量的数量积．7.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．8.若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上是减函数，又，所以，故选D．【考点】不等式的性质．9.选修4-5：不等式选讲已知x，y为任意实数，有（1）若求的最小值；（2）求三个数中最大数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用消元法可得关于x的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值．试题解析：（1）解：当时，最小值为（2）设，则所以即中最大数的最小值为【考点】配方法，绝对值不等式，最值．10.若实数，满足不等式组．则的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【答案】D【解析】画出可行域如图：当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大同时也最大, 最大值为;当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域四边形但不包括边,当目标函数线经过点时纵截距最大同时也最大, 的最大值为．综上可得的最大值为14．【考点】简单的线性规划．11.已知函数，．（1）若，解不等式；（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的单调性讨论即可求解；（2）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，若：令解得：∴不等式的解为：；若：令，解得：，，根据图象不等式的解为：，综上：：不等式的解为；：不等式的解为；（3），∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴或，∴在单调递增，∴，若：在单调递减，在单调递增，∴必须，即；若：在单调递增，在单调递减，，即；综上实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．12.设函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当，圆不等式变为，可利用绝对值的集合意义求解，从而得到不等式的解集；（2）求当，，a的取值范围，可先对a进行分类讨论：，对后两种情形，只需求出的最小值，最后“，”的充要条件是，即可求得结果．试题解析：由题意得，（Ⅰ）当时，．由，得，（ⅰ）时，不等式化为，即．不等式组的解集为．（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．不等式组的解集为．（ⅲ）当时，不等式化为，即．不等式组的解集为．综上得，的解集为．（Ⅱ）若，不满足题设条件．若的最小值为．若的最小值为．所以的充要条件是，从而的取值范围为．【考点】绝对值不等式的求解及其应用．13.变量满足约束条件，当目标函数取得最大值时，其最优解为．【答案】.【解析】作出可行域，画出目标函数的图象，由图知最优解为.【考点】线性规划.14.（1）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．（2）选修4—5：不等式选讲已知正实数满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．将直线的参数方程代入，得．设所对应的参数为，，，所以．（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．．，．当且仅当时，等号成立．【考点】1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.15.已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】B【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在轴上的截距减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B．【考点】1.简单的线性规划；2.数形结合思想．【易错点睛】本题主要考查简单的线性规划与数形结合思想的应用，属于中档题；处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系.16.如果实数满足关系，则的最小值是．【答案】2【解析】满足不等式组的平面区域，如图所示，因表示定点到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为2．【考点】1、平面区域；2、点到直线的距离公式．【方法点睛】（1）平面区域的确定，已知，则，表示的区域为直线的右方（右下方或右上方），表示的区域为直线的左方（左下方或左上方）；（2）具有一定的几何意义，即几何意义为点到的距离的平方．17.（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【答案】（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．【解析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．【考点】绝对值不等式的解法．18.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】或．故B正确．【考点】一元二次不等式．19.直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．3+2B．4+2C．6+4D．8【答案】C【解析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可．解：∵直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣2，1）在直线上，可得﹣2a﹣2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3++）≥6+4，当且仅当：=时“=”成立，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．20.已知实数满足不等式组，则的最大值为________．【答案】9．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：由图可知，当直线经过点时，取得最大值为：．故答案应填：9．【考点】线性规划．21.已知.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)利用零点分段讨论法将绝对值符号去掉，得到分段函数，再求各段的值域即可；(Ⅱ)利用基本不等式和不等式恒成立进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小值为5，∴.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：的最大值等于5.∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5.当时，，又∵对任意实数，都成立，∴.∴的取值范围为.【考点】1.零点分段讨论法；2.基本不等式．22.设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出的最大值为,把问题转化为求解.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ) 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【考点】.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题23.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为;(2) .【解析】(1)分区间去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，在每个区间上分别解不等式，最后再求并集即可；(2) 不等式对任意的恒成立，由（1）求出函数的最小值，解不等式即可.试题解析：（1）．当时，由，得，此时无解；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以．综上，所求不等式的解集为．（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为不等式对任意的恒成立，即，解得，故的取值范围为．【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.24.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．以上均不正确【答案】A【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取，递减，所以时，；同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是，故选A．【考点】基本不等式的应用.方法点睛：本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到即得的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出的取值范围.25.已知函数（是常数）和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合上的最大值为（）A．B．C．4D．5【答案】D【解析】由题知，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为，所以，化简得，再由，可求得，所以，并且可判定在上是减函数，在上是增函数，由于，所以在集合上的最大值为，故选D.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最值.【思路点睛】本题是一个利用导数研究函数的单调性、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意判断出的最值关系，再由条件求出函数在定义域上的最小值，进而判断出的最值情况，并据此求出的值，从而得到的解析式，进一步可求出的最大值，问题得以解决.26.已知直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线经过点，所以，故，当且仅当时，等号成立.【考点】基本不等式.27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得的值域为，要，需，解得实数的取值范围是或.试题解析：（1）由题意得：，则不等式等价于或，解得：或，∴不等式的解集.（2）∵，∴的值域为，∴的解集.要，需，即或，∴或，∴实数的取值范围是或.【考点】含绝对值不等式的解法.28.设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式、存在性问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，解绝对值不等式，先得到与解集对应系数相等，解出的值；第二问，先整理，构造函数，画出函数图象，结合图象，得到，或，从而解出的取值范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，因为不等式的解集为，所以，解得．（2）由（1）得．∴，化简整理得：，令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，∴的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.存在性问题.29.若，若的最大值为3，则的值是___________.【答案】【解析】画出可行域如下图所示，为最优解，故.【考点】线性规划.30.选修4-5：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）利用基本不等式得，即，而，等号都是取得，（2）利用基本不等式得，即与矛盾，故不存在试题解析：解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，∴的最小值为.（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.【考点】基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.31.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．32.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．2C．8D．0【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取最大值8．【考点】简单的线性规划问题．33.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】因画出不等式组表示的区域如图, 的几何意义是区域内的动点与定点连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点与定点连线的斜率最大,最大值为，所以的最大值为,应选A.【考点】线性规划的知识及运用．34.已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用分类讨论的方法分段求解；（2）借助题设条件及基本不等式求解.试题解析:（1）令，则，由于使不等式成立，有（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式当且仅当时取等号，所以的最小值为6【考点】绝对值不等式、基本不等式及运用．35.设变量满足不等式组则目标函数的最小值是______.【答案】7【解析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，，目标函数表示斜率为的一组平行线当目标函数经过图中点时取得最小值.故填：7.【考点】线性规划36.设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.【答案】-4【解析】作出可行域，令得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.【考点】线性规划.37.已知函数，其中为常数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，，满足，若函数的最小值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由．再由或或解集为；（2）由当且仅当，即时取等号，，则．解法一：由题设．解法二：由题设，，即，．试题解析：（1）当时，由，得或，即或所以不等式的解集为（2）因为，当且仅当，即时取等号，则．由已知，，则解法一：由题设，则，，解法二：由题设，，据柯西不等式，有，即，所以【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.38.若满足约束条件,则的最大值为．【答案】【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．【考点】简单线性规划的非线性运用．39.已知变量满足约束条件，目标函数的最大值为10，则实数的值等于（）A．4B．C．2D．8【答案】A【解析】由不等式组可得可行域（如图），当直线经过点时，取得最大值，且由已知，解得.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.40.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】1【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.41.设，则a， b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】，考察函数，该函数在上单调递减，，考察函数，该函数在上单调递增，，故选A．【考点】指数函数的单调性与幂函数的单调性．42.若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是:过定点与可行域内的点的直线的斜率，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时的值分别为，所以．故选D．【考点】简单线性规划．43.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为即，，所以，故选A.【考点】指数函数、对数函数的性质.44.已知实数满足不等式组则的最大值是___________.【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即.【考点】简单的线性规划问题.【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件.45.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0）【解析】（1）（当且仅当时取等号）；（2）作出函数的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）（当且仅当时取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是（-1,0）.【考点】1.绝对值不等式；2.基本不等式.46.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.47.设，满足约束条件则的取值范围为．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为，在点处取得最大值为.【考点】线性规划.48.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处的最大值是，在最小值是，所以而，所以的最大值是，故选B.【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.49.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：，或，或，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II）先化简不等式为，再利用绝对值三角不等式求最值：，再转化解不等式得实数的取值范围.试题解析：不等式化为，则，或，或，……………………3分解得，所以不等式的解集为.……………………5分（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知.……………………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是.……………………10分【考点】绝对值三角不等式，绝对值定义【名师】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.50.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高考数学一轮复习：易错考点排查练数列与不等式1.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( )A.0≤k≤1B.0<k≤1C.k<0或k>1D.k≤0或k≥1【解析】选A.当k=0时,不等式为8≥0恒成立,符合题意;当k>0时,若不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则Δ=36k2-4k(k+8)≤0,解得0<k≤1;当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能对任意x∈R恒成立.综上,k的取值范围是0≤k≤1.2.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是( )A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]【解析】选B.令m=x-y,n=4x-y,⇒则z=9x-y=n-m,因为-4≤m≤-1,所以≤-m≤,又因为-1≤n≤5,所以-≤n≤,因此-1≤z=9x-y=n-m≤20.3.如果l o x-≥l o,那么sin x的取值范围是( )A.-,B.-,1C.-,∪,1D.-,∪,1【解析】选B.,则-≤x<或<x≤,所以-≤sin x≤1.4.在等比数列{a n}中,已知a2=1,a1·a7=16,则该数列的公比q= ( )A.±2B.±4C.2D.4【解析】选A.等比数列{a n}中,已知a2=1,a1·a7=16=⇒a4=±4,又a4与a2同号,所以a4=4,a4=a2q2⇒q=±2.5.若数列{a n},{b n}的通项公式分别是a n=(-1)n+2 019·a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则常数a的取值范围是( )A.[-2,1)B.[-2,+∞)C.[-2,1]D.(-∞,1)【解析】选A.当n是奇数时,由a n<b n得a<2-,a<1;当n是偶数时,由a n<b n得-a<2+,-a≤2,a ≥-2,因此常数a的取值范围是[-2,1).6.已知等比数列{a n}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值为 ( )A.1B.-C.1或-D.-1或【解析】选C.等比数列{a n}中,a3=7,前三项之和S3=21,若q=1,a3=7,S3=3×7=21,符合题意;若q ≠1,则,解得q=-,即公比q的值为1或-.7.已知数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,数列{b n}满足关系+++…+=,数列{b n}的前n项和为S n,则S5的值为( )A.-442B.-446C.-450D.-454【解析】选C.因为{a n}为等差数列且a1=1,d=2,故a n=2n-1.又=,也就是=,所以b n=,S5=2-12-40-112-288=-450.8.S n=++…+= ( )A. B.-C. D.【解析】选B.令c n===-,则S n=1-+-+-+…+-+-=1+--=-.9.设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=1,a n+1=,则使取得最大值时n的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.因为a1=1,a n+1=-S n S n+1,所以S n+1-S n=-S n S n+1,所以- =1,所以数列是等差数列,首项为1,公差为1.所以=1+(n-1)=n.所以S n=.所以====g(n),考查函数f(x)=x+的单调性,x>0,可知:函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.又g(3)=,g(4)=,所以g(3)>g(4).所以使取得最大值时n的值为3.10.若不等式(-1)n a<2+对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是( )A.-2,B.-2,C.-3,D.-3,【解析】选A.当n为正偶数时,a<2-恒成立,又2-为递增的,其最小值为2-=,所以a<. 当n为正奇数时,-a<2+,即a>-2-恒成立.而-2-为递增的,对任意的正整数n,有-2-<-2,所以a≥-2.11.已知函数f(x)=若数列{a n }满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n }是递增数列,那么实数a的取值范围是 ( )世纪金榜导学号A.(2,3)B.(1,3)C.,3D.,3【解析】选A.a n=f(n)是递增数列.则a n=单调递增.所以,即.所以a∈(2,3).12.已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n-2,若存在两项a m,a n,使得a m a n=64,则+的最小值为世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选B.因为S n=2a n-2,所以S n-1=2a n-1-2.两式相减化简可得a n=2a n-1,公比q==2,由S1=2a1-2=a1可得a1=2,因为a m a n=64,所以a1 q m-1·a1 q n-1=64,则4×2m+n-2=64,解得m+n=6,所以+=(m+n)+=10++≥10+2=,当且仅当=时取等号,此时,解得,因为m,n取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则+>,验证可得,当m=2,n=4时,+取最小值为.13.下列结论正确的是.①当x>0且x≠1时,lg x+≥2;②当x>1时,+≥2;③当x≥2时,x+有最小值2;④当0<x≤2时,x-有最大值.【解析】①当1>x>0时,lg x<0,lg x+≥2不成立;②当x>1时,+>2,因此不正确;③当x≥2时,x+>2,不成立;④当0<x≤2时,函数y=x-单调递增,当x=2时,有最大值2-=正确.答案:④14.设a≥0,b≥0,+a2=1,则a的最大值为.【解析】由a≥0,b≥0,+a2=1得:a2=1-,且0≤b2≤1,原式==,则最大值为1.答案:115.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=x+y+的最小值为. 世纪金榜导学号【解析】z=x+y+=xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy, 则0<t=xy≤2=,由f(t)=t+在0,上单调递减,故当t=时f(t)=t+有最小值,所以当x=y=时z有最小值.答案:16.设函数f(x)=-ax,其中0<a<1,则不等式f(x)≤1的解集为. 世纪金榜导学号【解析】不等式f(x)≤1,即≤1+ax.由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中a>0.所以原不等式等价于不等式组即因为0<a<1,所以原不等式的解集为x|0≤x≤.答案:给易错点找题号序号易错点题号练后感悟通过函数的单调性研究数列的单调性,忽略数列对应的19是孤立的点致错.2 忽略讨论公比q=1的情况. 6使用基本不等式时不注意“一正二定三相等”的法则致313错.4 消项规律不清晰,出现丢项或多项的问题致错. 8对不等式的性质理解不到位,利用不等式加减运算不当2 5扩大范围致错.利用基本不等式求最值时,等号成立的条件考虑不周致12 6错.7 不知道讨论奇偶性,以及n是偶数时,要从2开始而致错. 5不等式恒成立问题想不到分离参数求解,或忽视对n的10 8取值的分类讨论致错.9 消元不注意元的范围致错. 1410 直接利用或多次运用均值定理,不等式等号不成立致错. 1511 忽略对二次项系数分类讨论,易漏掉k=0的情况. 1利用真数大于零得x≠,错选D.但x可以取,sin x123可以等于.未能从已知条件中挖掘出隐含条件:“1+ax≥1”,分类不16 13全致错.忽略项与项之间的关系,忽视等比中项的符号或开方后4 14q的符号致错.忽视自变量取值为正整数,把限制条件a7<a8写成1511(3-a)×7-3<a7-6致错.16 忽略对n=1时的验证而致错. 7。

【最新】数学《不等式选讲》期末复习知识要点一、141．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.4．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.5．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.6．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．1[,+)6∞ B ．1[,+)3∞ C ．1[,+)2∞ D ．1[,+)12∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先将不等式2130ax x a -++≥变形为213x a x +≥+，由不等式2130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，可得213x a x +≥+恒成立，因此只需求出213x x ++的最大值即可.【详解】解：不等式2130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，即x R ∀∈，2130ax x a -++≥恒成立， ∴221133x x a x x ++≥=++， 令()213x g x x +=+， 当1x =-时，()0g x =；当1x ≠-时，()21143121x g x x x x +==+++-+， 若10x +>，则()41221x x ++-≥=+， 当且仅当411x x +=+，即x 1＝时上式“＝”成立； 若x 10+＜， 则()()()441212611x x x x ⎡⎤++-=--++-≤-=-⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦，当且仅当()()411x x -+=-+，即3x =-时上式“＝”成立．()()][()412,62,1x x ∴++-∈-∞-⋃+∞+． ()10,2g x ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦．12a ∴≥． 则实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，由不等式恒成立求参数的范围，通常用分离参数的方法，将不等式转化为参数与一个函数比较大小的形式，只需求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型.7．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

高考数学复习不等式易错题精选及解析三、解答题：1．是否存在常数 c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数 x,y 恒成立？ 错解：证明不等式2222x y x y x y x y x y x y+≤+++++恒成立，故说明c 存在。

正解：令x=y 得2233c ≤≤，故猜想c=23,下证不等式222322x y x y x yx y x y x y +≤≤+++++恒成立。

要证不等式2223x y x y x y +≤++，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y ）(x+2y),也即证222231232(225)x xy y x y xy ++≤++,即2xy ≤22x y +，而此不等式恒成立，同理不等式2322x y x y x y≤+++也成立，故存在c=23使原不等式恒成立。

2．已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，求p 的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。

正解：因为x 的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于24(3)5x x p x -+--≤，即2242x x x p x --≤-+≤+，则22520(1){320(2)x x p x x p -+-≤-++≥， 设（1）（2）的根分别为12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或 若23x =，则9-15+p-2=0，p=8若43x =，则9-9+p+2=0,p=-2当p =-2时，原方程组无解，则p=83． 设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

解：令f mf nf ()()()-=-+211则42a b m a b n a b -=-++()()∴-=+--42a b m n a m n b ()()比较系数有m n m n +=-=⎧⎨⎪⎩⎪42∴==⎧⎨⎪⎩⎪∴-=-+≤-<≤≤∴≤-+≤m n f f f f f f f 312311112214531110()()()()()()() ，即5210≤-≤f ()说明：此题极易由已知二不等式求出a b 、的范围，然后再求42a b -即f ()-2的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围）问题知识拓展1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。

解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试。

2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件,善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑,注意特定情况下的动点的位置,然后对任意情形加以分析判定,也可转化为平面问题。

对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.3.立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节）或(面积)体积的最值的问题。

其一般方法有：(1）几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2）代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式,利用函数的单调性、有界性,以及不等式的均值定理等，求出最值.题型突破题型一立体几何中的翻折问题【例1】（2019·全国Ⅲ卷）图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②。

(1）证明：图②中的A，C，G，D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE；（2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.(1)证明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C,G，D四点共面。

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。

考点0８指数与指数函数１、不等式(错误!未定义书签。

）ｘ2-8>３－２x的解集是__＿_＿___．【答案】{ｘ|-2〈ｘ〈４}【解析】原不等式为（错误!未定义书签。

)x2－８〉(错误!)２x，∴ｘ２-8<2x，解之得-２〈x<4.２、设a＝4０.９,b＝80。

48，c=(错误!)-１。

5，则ａ、ｂ、c从大到小排列的顺序为_＿_____＿.【答案】a>ｃ>b【解析】∵ａ＝４０．9＝２1。

８,ｂ=８0.48=21．4４,ｃ＝(错误!）－１。

5=２1.5，∴２1。

8>21。

５〉２１。

44，即a〉c>b。

3、已知f(x）=2ｘ＋2－x，若f(ａ）＝3，则ｆ(2a）等于__＿_____．【答案】7【解析】由f（a）=3得２a＋2－a＝3,∴(2a+2-a)2＝9,即2２a＋２-2ａ+２=9。

所以22a+2－2a＝7，故f(2a)＝22a+2－2a＝７．４、若a〉1，ｂ〈0，且a b+a－b=2错误!,则a b-a-b的值等于___＿＿__＿.【答案】－２【解析】∵ａ〉1,b〈0，∴0〈a b〈1,a-b〉1.又∵(a b+a-b)2=a2b＋ａ－2b＋2=８，∴ａ2b＋a-2b＝６,∴(ａb-a－b)２=ａ2b＋a-２b－２=4，∴aｂ-a－ｂ＝-2。

5、若f（x)=a-x与ｇ(x）=a x－ａ(ａ>0且ａ≠１)的图象关于直线x=1对称，则a=__＿_＿_＿_。

【答案】2【解析】函数ｆ(x)＝a-x上任意一点(ｘ0，ｙ0）关于直线x=1对称的点为（2－x0，y0）,即有g(2－x0)＝a2－x0-a＝f（ｘ0)=a-x0，故a＝２。

6、若直线ａx－by＋2＝0(a＞0，b>0）和函数f(x)=a x+1+１（a＞０且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

取最小值时，函数f(ｘ）的解析式是_＿＿___＿＿．【答案】(22-2)x＋１+1【解析】函数f（x)＝a x＋1＋1(a＞0且ａ≠1)的图象恒过点(-１，２）,故12ａ+b=１，错误!未定义书签。

2021年高三理科（数学部分）纠错卷八不等式（含解析）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
2、不等式的解集为（）
A．或 B． C． D．或
3、已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）
A． B． C． D．
4、已知，则使得都成立的的取值范围是（）
A． B． C． D．
5、已知函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（）
A．16 B．12 C．8 D．6
6、设是展开式的中间项，若使得不等式成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
7、不等式的解集是
8、函数的最小值为
9、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值是
10、已知，则的取值范围是
三、解答题：本大题共4小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
11、（本小题满分12分）
求函数的最大值及相应的的值。

12、（本小题满分12分）
解关于不等式：。

13、（本小题满分12分）
已知，求的最小值。

14、（本小题满分12分）
设函数
（1）若对于一切实数恒成立，其实数的取值范围；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。

第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.三、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.四、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．92．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,63．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．254．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ）A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-19．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C22a b ≥+ D≥13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a b a b +++的最大值为______.16．ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的小值． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.第03讲 基本不等式五、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．六、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.七、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.八、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】因为2a c +=，根据三角形的性质可得，2b a c <+=，又由222b ac a c +=+得222()3434312a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，即1b ≥， 故12b ≤<，所以ABC 周长的取值范围是34a b c ≤++<. 故选：B.3．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4mm n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25， 故选D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】已知11ln 202x ln ==-<,122 x e -=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -【答案】D【解析】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D.6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以120x x y y⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立， 当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥-综上所述1[,0]2a ∈- 故选：D8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C【解析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，21f x ，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.9．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D【解析】因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<. 故选：BC.12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C22a b ≥+ D≥ 【答案】AD【解析】对于A，3a b ++≥≥<，当且仅当2a b ==时等号同时成立；对于B ，()11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号；对于C()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当a b =时取等号；对于D ，当12a =，13b=1===><. 故选：AD.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.【答案】())1,1-⋃+∞【解析】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得a >11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.故答案为：())1,1-⋃+∞15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a ba b +++的最大值为______.【答案】75- 【解析】正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭，由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()21233321a b b a ++=++≥+=+++123125a b ++≥++，当且仅当)21b a +=+时，等号成立，3721255a b a b +-∴+≤-=++，因此，12a b a b +++.16．在面积为2ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.【答案】3-【解析】由△ABC 12|AB ||AC |sin ∠BAC所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =②由①与②的平方和得:|AB ||AC |= 又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22421332AB AC AC AB =⋅--222221832183233233AC AB AC AB =--≤-⋅=-当且仅当22212332AC AB AB AC =⇒=时，取等号，即BN CM ⋅--17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值. 【解析】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1x ≥时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC△ABC 的周长的小值． 【解析】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=，所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=． （2）依题意4=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为4+． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.【解析】（1）2x >，20x ->，而11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当()1222x x x -=>-，即当3x =时，该函数取得最小值4； （2）102x <<，102x ∴->，则211122216x x y x x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =-时，即当14x =时，该函数取得最大值116.。

2021年山东省新高考数学总复习：不等式，计数原理1.高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．3.前几年，二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.预测2021年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.可能通过简单古典概率问题考查，如果单独通过客观题考查计数原理、二项式定理的应用等，难度也会降低些.有可能在主观题中考查这部分能内容的“工具性”.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知正数m ，n 满足()18m n n -=，则2m n +的最小值是（ ）.A ．18B ．16C ．8D ．102．（2020届山东省淄博市高三二模）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙3．（2020届山东省淄博市高三二模）已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n +的最小值为（ ）. A ．92 B ．9 C ．5 D ．524．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a b ab a b +≥>>B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．2(0,0)ab ab a b a b≤>>+ D ．22(0,0)22a b a b a b ++≤>> 5．（2020届山东省高考模拟）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．（2020届山东省烟台市高三模拟）函数()22x f x a x =--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,27．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测8．（山东高三模拟）对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）。

专题1.8 基本不等式-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•三模拟）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．89C ．49D ．2√23【分析】利用已知条件推出1b +2a =3，然后利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝3ab ， 所以1b +2a =3，所以3=1b +2a ≥2√2ab ， 所以√ab ≥2√23，即ab ≥89当且仅当{1b =2aa +2b =3ab即a =43，b =23时等号成立，故ab 的最小值89． 故选：B ．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 2．（5分）（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．y ＝x 2+2x +4 B ．y ＝|sin x |+4|sinx| C ．y ＝2x +22﹣xD ．y ＝lnx +4lnx【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ． 【解答】解：对于A ，y ＝x 2+2x +4＝（x +1）2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0＜|sin x |≤1，所以y ＝|sin x |+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sin x |＝2时取等号， 因为|sin x |≤1，所以等号取不到，所以y ＝|sin x |+4|sinx|＞4，故选项B 错误；对于C ，因为2x ＞0，所以y ＝2x +22﹣x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4， 当且仅当2x ＝2，即x ＝1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确； 对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5＜4， 所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题． 3．（5分）（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．4．（5分）（2021•包头二模）在△ABC 中，已知C ＝60°，AB ＝4，则△ABC 周长的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【分析】根据余弦定理算出（a +b ）2＝16+3ab ，再利用基本不等式加以计算可得a +b ≤8，即可得到△ABC周长的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝c ＝4，∴由余弦定理，得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即16＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab （当且仅当a ＝b ＝4时等号成立）， ∵16＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ，∴（a +b ）2≤16+3ab ≤16+3×16＝64，由此可得a +b ≤8（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），∴△ABC 周长a +b +c ≤8+4＝12（当且仅当a ＝b ＝4时等号成立），即当且仅当a ＝b ＝4时，△ABC 周长的最大值为12．故选：C ．【点评】本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值，着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．5．（5分）（2021•南通模拟）已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．1x+1y 有最小值4B ．xy 有最小值14C ．2x +2y 有最大值√2D ．√x +√y 有最大值2【分析】利用“乘一法”及基本不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1， 对于A ，1x +1y=（1x+1y）（x +y ）＝2+x y +yx ≥4，故A 正确，对于B ，∵x +y ≥2√xy ，∴xy ≤（x+y 2）2=14，故B 错误，对于C ，2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2，故C 错误， 对于D ，（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，∵xy 有最大值14，故（√x +√y ）2有最大值2，故D 错误，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式的性质，同时考查学生的运算能力．属于基础题．6．（5分）（2021•湖南模拟）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD ＝a ，BD ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．2aba+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）C ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）D ．a 2+b 2≥2√ab （a ＞0，b ＞0）【分析】由已知图形先求出OC ，CD ，然后结合OC ≤CD 即可判断．【解答】解：由题意得AB ＝AD +BD ＝a +b ，CO =12（a +b ），OD ＝OB ﹣DB =12（a +b ）﹣b =12（a ﹣b ），Rt △OCD 中，CD 2＝OC 2+OD 2=(a+b)24+(a−b)24=a 2+b 22， 因为OC ≤CD ，所以12（a +b ）≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时取等号， 故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题．7．（5分）（2021•浙江模拟）已知直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°，则1m+4n的最小值为（ ）A ．4B ．9C ．23D ．32【分析】根据题意，由直线的斜率计算公式可得n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则有1m+4n=16×（1m+4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm），结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 过第一象限的点（m ，n ）和（1，5），直线l 的倾斜角为135°， 则n−5m−1=−1，变形可得m +n ＝6，则1m+4n=16×（1m +4n）（m +n ）=16（5+4m n +nm ）， 又由点（m ，n ）在第一象限，即m ＞0，n ＞0， 则有4m n+nm≥2√4m n ×nm =4，当且仅当n ＝2m 时等号成立， 故1m +4n =16（5+4m n +n m ）≥32，即1m +4n 的最小值为32， 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题．8．（5分）（2021•1月份模拟）已知a ，b ，c ∈[12，1]，则a 2+2b 2+c 2ab+bc的取值范围是（ ）A ．[2，3]B ．[52，3]C ．[2，52]D ．[1，3]【分析】由a 2+2b 2+c 2＝a 2+b 2+b 2+c 2，然后利用重要不等式得到a 2+2b 2+c 2ab+bc≥2，根据12≤a b≤2，12≤b a≤2，构造对勾函数，然后结合其性质可求． 【解答】解：a 2+2b 2+c 2ab+bc=a 2+b 2+b 2+c 2ab+bc≥2ab+2bc ab+bc=2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为12≤a ≤1，12≤b ≤1，所以12≤a b≤2，12≤b a≤2，令f （x ）＝x +1x ，12≤x ≤2，根据对勾函数单调性知，当x ＝1时，函数取得最小值2，当x ＝2或12时，函数取得最大值52，故2≤f(x)≤52， 所以2≤b a +a b ≤52，即a 2+b 2≤52ab ， 同理b 2+c 2≤52bc ，所以a 2+2b 2+c 2≤52(ab +bc)， 所以a 2+2b 2+c 2ab+bc≤52．所以2≤a 2+2b 2+c 2ab+bc ≤52．故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式，不等式的性质及对勾函数单调性在求解范围及最值中的应用，试题的变形比较灵活，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•二模拟）已知正数a ，b 满足ab ＝a +b ，则（ ） A ．1a−1+1b−1≥2B ．1a 2+1b 2≥12C ．2−a +2−b ≥12D ．log 2a +log 2b ≥2【分析】由ab ＝a +b ，转化为（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，可判断A ； 由ab ＝a +b 转化为1a +1b=1，再结合2（a 2+b 2）≥（a +b ）2可判断B ；取a ＝b ＝3可判断C ；由ab =a +b ≥2√ab ，得ab ≥4，可判断D ．【解答】解：因为正数a ，b 满足ab ＝a +b ，所以（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，且a ＞1，b ＞1，所以1a−1+1b−1≥2√1(a−1)(b−1)=2，∴A 对；由ab ＝a +b 可得1a+1b=1，所以2(1a 2+1b 2)≥(1a +1b )2=1，即1a 2+1b 2≥12，故B 正确；当a ＝b ＝3时，2−3+2−3=14＜12，故C 错误；因为ab =a +b ≥2√ab ，所以ab ≥4，所以log 2a +log 2b ＝log 2（ab ）≥log 24＝2，故D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．10．（5分）（2021•B 卷模拟）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，则下列结论正确的是（ ） A ．（a +b ）√c ≥2 B ．1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2C ．若0＜c ≤1，则（a +1）（b +1）＜4D ．a 2b 2+2b 2c ≥3【分析】（a +b ）√c 转化为（a +b ）√1ab 可判断A ；1a+1b+1c转化为ab +bc +ac 可判断B ；由0＜c ≤1可知ab ≥1，则（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1，利用基本不等式可判断C ； 2b 2c 转化为2b 2•1ab=2b a可判断D ．【解答】解：∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1∴（a +b ）√c =（a +b ）√1ab ≥2√ab •√1ab =2，∴A 对；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴1a +1b +1c=ab +bc +ac ≤a 2+b 22+b 2+c 22+a 2+c 22=a 2+b 2+c 2，∴B 对；由0＜c ≤1，abc ＝1可知ab ≥1，∵a ，b 为正数，∴（a +1）（b +1）＝ab +a +b +1≥ab +2√ab +1≥4，∴C 错；∵a ，b ，c 为正数，abc ＝1，∴a 2b 2+2b 2c =a 2b2+2b 2•1ab=a 2b 2+b a+b a≥3√a 2b 2⋅b a ⋅ba3=3，∴D 对． 故选：ABD ．【点评】本题考查基本不等式及应用，考查数学运算能力，属于中档题． 11．（5分）（2021•辽宁模拟）设x ＞0，y ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立B ．函数f （x ）＝3x +3﹣x的最小值为2C ．函数f(x)=xx 2+3x+1的最大值为15D ．若x +y ＝2，则12x+1+1y+1的最小值为 56【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为x ＞0，y ＞0， （x +y ）（1x+1y ）＝2+yx+xy ≥4，当且仅当y x =x y时取等号，A 正确； 因为3x ＞1，则f （x ）＝3x +3﹣x ≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x ＝3﹣x ，即x ＝0时取等号，但x ＞0，故B 错误； f(x)=xx 2+3x+1=1x+1x +3≤12+3=15，当且仅当x =1x ，即x ＝1时取等号，C 正确； 因为x +y ＝2，所以2x +2y ＝4， 则12x+1+1y+1=12x+1+22y+2=17（12x+1+22y+2）（2x +1+2y +2）=17（3+2y+22x+1+2x+1y+1）≥17(3+2√2)， 当且仅当2y+22x+1=2x+1y+1时取等号，D 错误．故选：AC ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的检验及配凑．12．（5分）（2021•山东二模）已知实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），下列结论中正确的是（ ） A ．b ≥4B ．2a +b ≥8C ．1a+1b＞1 D ．ab ≥274【分析】A ．由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误； C ．由a ＞1，可得1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＞1，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．求出f ′（x ），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误．【解答】解：实数a ，b 满足a 2﹣ab +b ＝0（a ＞1），A ．b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a ﹣1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2＝4，当且仅当a ＝2时取等号，因此正确；B .2a +b ＝2a +a +1+1a−1=3（a ﹣1）+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4＝2√3+4，当且仅当a ＝1+√33取等号，因此不正确；C ．∵a ＞1，∴1a∈（0，1），1a+1b=1a+a−1a 2=−1a 2+2a=−(1a−1)2+1＜1，因此不正确；D ．ab ＝a •a 2a−1=a 3a−1，令f （x ）=x 3x−1，（x ＞1）．f ′（x ）=2x 2(x−32)(x−1)2， 可得x =32时，函数f （x ）取得极小值，即最小值．f （32）=(32)332−1=274， ∴f （x ）≥274，即ab ≥274，因此正确． 故选：AD ．【点评】本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湖南模拟）已知a ＞b ，关于x 的不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在实数x 0，使得ax 02+2x 0+b ＝0成立，则a 2+b 2a−b的最小值为 2√2 ．【分析】不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得△≤0，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，可得ab 的等式关系，利用基本不等式的性质求解a 2+b 2a−b的最小值即可．【解答】解：由题意，不等式ax 2+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立，可得{a ＞04−4ab ≤0，解得ab ≥1，存在x 0∈R ，使ax 02+2x 0+b ＝0成立，则△≥0，即4﹣4ab ≥0，得ab ≤1， ∴ab ＝1，∵a ＞b ，∴a ＞1，∴a −1a ＞0， 由b =1a ，a 2+b 2a−b=a 2+1a2a−1a=（a −1a ）+2a−1a≥2√2，当且仅当（a−1a）2＝2时取等号．故答案为：2√2．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用和构造思想，特别是构造分子，分母适合基本不等式，属于中档题．14．（5分）（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为2．【分析】由已知2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，而5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，令t＝2x﹣y,则x+y=1 t,则5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2=t2+1t2≥2√t2⋅1t2=2,当且仅当t2=1t2，即t＝±1时取等号，此时5x2﹣2xy+2y2取最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．15．（5分）（2021•汕头三模）函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为124．【分析】先利用指数函数的性质求出定点A，然后利用点在直线上，得到3m+2n＝1，再利用基本不等式求解mn的最值即可．【解答】解：因为当x＝3时，y＝a3﹣3+1＝2，所以函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（3，2），又点A在直线mx+ny﹣1＝0上，所以3m+2n﹣1＝0，即3m+2n＝1，因为m＞0，n＞0，所以mn=16⋅3m⋅2n≤16⋅(3m+2n2)2=16×14=124，当且仅当3m=2n=12，即m=16，n=14时取等号，所以mn的最大值为124．故答案为：124．【点评】本题考查了指数函数恒过定点问题，利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．16．（5分）（2021•嘉定区二模）已知正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y 的最小值为 9 ．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为正数x 、y 满足x +4y=1，则1x+y ＝（1x+y ）（x +4y ）＝5+xy +4xy ≥5+2√xy ⋅4xy =9，当且仅当xy =4xy 且x +4y =1，即x =13，y ＝6时取等号，此时1x+y 的最小值9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021•内江模拟）已知a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ． （1）求a +b 的最小值；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解；（2）结合（1）中的最值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化关系，结合零点分段讨论即可求解． 【解答】解：（1）因为a ＞0，b ＞0，4a +b ＝2ab ， 所以4b +1a=2，所以a +b =12（a +b ）（1a+4b）=12（5+b a+4a b ）≥12(5+2√b a ⋅4a b )=92， 当且仅当b a=4a b且4b+1a=2，即a =32，b ＝3时取等号，a +b 的最小值92；（2）若a +b ≥|2x ﹣1|+|3x +2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，则92≥|2x ﹣1|+|3x +2|， 当x ≥12时，原不等式可化为2x ﹣1+3x +2≤92， 所以12≤x ≤710；当−23＜x ＜12时，原不等式可化为﹣2x +1+3x +2≤92， 所以−23＜x ＜12，当x ≤−23时，原不等式可化为﹣2x +1﹣3x ﹣2≤92，所以−1110≤x ≤−23， 综上，x 的取值范围[−1110，710]．【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，还考查了不等式的恒成立与最值关系的相互转化及利用零点分段求解不等式，分段讨论去绝对值是求解不等式的关键． 18．（12分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a +1b=1．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【分析】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a ＞1，b ＞1，所以a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，则4a a−1+9b b−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a =53、b =52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题． 19．（12分）（2020秋•海淀区校级月考）已知x +y ＝1，x ，y ∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求√x +√y 的最大值； （3）求x （1﹣3y ）的最小值．【分析】（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ，然后利用基本不等式即可求解； （2）（√x +√y ）2＝x +y +2√xy =1+2√xy ，然后利用基本不等式即可求解；（3）由x （1﹣3y ）＝（1﹣y ）（1﹣3y ）＝3y 2﹣4y +1，然后结合二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）x 2+y 2+xy ＝（x +y ）2﹣xy ＝1﹣xy ≥1﹣（x+y 2）2=34，当且仅当x ＝y =12时，取得最小值34；（2）因为x+y＝1，x，y∈R+，所以（√x+√y）2＝x+y+2√xy=1+2√xy≤1+x+y＝2，当且仅当x＝y时取等号，此时取得最大值2；（3）∵x，y∈R+，x+y＝1，∴x（1﹣3y）＝（1﹣y）（1﹣3y）＝3y2﹣4y+1，结合二次函数的性质可知，当y=23时取得最小值−13．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于基础题．20．（12分）（2021•江西模拟）设a＞0，b＞0，且a+b＝2ab．（1）若不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围；（2）当实数a，b满足什么条件时，a﹣b+3ba取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先利用基本不等式求出a+b的最小值，从而将所求的不等式转化为|x+1|+2|x|≤2，根据绝对值的定义分别讨论，求解不等式即可；（2）利用已知的等式，将b用a表示出来，然后代入a﹣b+3ba中化简变形，由基本不等式求解最值即可．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，可得1a +1b=2，所以a+b=12(a+b)(1a+1b)=12(b a+a b+2)≥12⋅(2√b a⋅a b+2)=12×4=2．当且仅当a＝b＝1时取等号，不等式|x+1|+2|x|≤a+b恒成立，即|x+1|+2|x|≤2，当x＜﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时x∈∅；当﹣1≤x≤0时，不等式可化为x+1﹣2x≤2，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x≤0；当x＞0时，不等式可化为x+1+2x≤2，解得x≤13，此时0＜x≤13．综上所述，实数x的取值范围是{x|−1≤x≤13 }；（2）由a＞0，b＞0，a+b＝2ab，所以b=a2a−1，故a﹣b+3ba=a−a2a−1+32a−1=2a2−2a+32a−1=a−12+54a−2=14(4a−2)+54a−2，当4a﹣2＞0，即a＞12时，a﹣b+3ba=14(4a−2)+54a−2≥2√14(4a−2)⋅54a−2=√5，当且仅当a=12+√52，b=12+√510时，a﹣b+3b a有最小值√5．【点评】本题考查了不等式的求解以及基本不等式的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．21．（12分）（2020秋•海门市校级月考）（1）已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为多少？（2）已知a＞b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)的最小值是多少？【分析】（1）令t＝xy，t＞0，则y=tx，然后代入后结合基本不等式即可求解，（2）由已知a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）令t＝xy，t＞0，则y=t x，∴10＝x+2x+3y+4y=x+2x+3t x+4x t=（1+4t）x+2+3tx≥2√(1+4t)x⋅2+3tx=2√(2+3t)(t+4)t，整理可得，3t2﹣11t+8≤0，解可得，1≤t≤8 3，故1≤xy≤8 3，（2）∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，则a2+1ab+1a(a−b)=a2−ab+ab+1ab+1a(a−b)，＝ab+1ab+a（a﹣b）+1a(a−b)，≥2√ab⋅1ab+2√a(a−b)⋅1a(a−b)=2+2＝4，当且仅当ab=1ab且a（a﹣b）=1a(a−b)即a=√2，b=√22时取等号，此时取得最小值4．【点评】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．22．（12分）（2019秋•濮阳期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ2+3υ+1600（υ＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【分析】（1）根据基本不等式性质可知y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083，进而求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v 的范围． 【解答】解：（1）依题意，y =920υυ2+3υ+1600=9203+(v+1600v)≤92083， 当且仅当v =1600v，即v ＝40时，上式等号成立， ∴y max =92083（千辆/时）． ∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km /h 且小于64km /h ．当v ＝40km /h 时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得920υυ2+3υ+1600＞10，整理得v 2﹣89v +1600＜0，即（v ﹣25）（v ﹣64）＜0．解得25＜v ＜64．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．。

二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。

新数学高考《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2f x ==，故()3f x ≥，C 错误； D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知实数x ，y满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2222211d -==+，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.5．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan2tan2tan11tan tan13tan3tantanαββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.6．对于函数()f x，若12,x x满足()()()1212f x f x f x x+=+，则称12,x x为函数()f x的一对“线性对称点”．若实数a与b和+a b与c为函数()3xf x=的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A．3log4B．3log41+C．43D．3log41-【答案】D【解析】【分析】根据已知有333b c a b ca++++=，可得13131ca b+=+-，只需求出3a b+的最小值，根据333a b a b+=+，利用基本不等式，得到3a b+的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a与b为函数()3xf x=的“线性对称点”，所以333a b a b+=+=≥故34a b+≥（当且仅当a b=时取等号）.又+a b与c为函数()3xf x=的“线性对称点，所以333b c a b ca++++=，所以3143131313a bca b a b+++==+≤--，从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.7．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径， 设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ， 因为三棱锥外接球的表面积为8π， 则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.8．已知,x y满足33025010x yx yx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36yzx-=-的最小值为（）A．157B．913C．17D．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知点(2,0)M，点P在曲线24y x=上运动，点F为抛物线的焦点，则2||||1PMPF-的最小值为（ ） A ．3 B ．2(51)-C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】 【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥1 3×(15+266b aa b⋅=）9等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．若变量x，y满足2,{239,0,x yx yx+≤-≤≥则x2+y2的最大值是A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，-1）到原点距离最大，所以22max()10x y+=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．已知点()2,1A，O是坐标原点，点(),P x y的坐标满足：20230x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA=⋅u u u r u u u r，则z的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.14．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.15．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π 【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．19．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】 可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.20．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ） A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos 3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB +≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．。