论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用
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实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一.实验目的:1.掌握二维快速傅里叶变换(FFT)的实现,对频谱图像可视化操作。
2.了解频域滤波的内容,学会如何在频域中直接生成滤波器,包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器,并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3.掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二.实验内容:1.实现二维快速傅里叶变换,以图像形式显示傅里叶频谱。
2.利用已给出的自定义的M函数,建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3.绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形,并以图像形式显示滤波器。
4.对输入图像进行频域滤波处理。
三.实验原理:1.快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得,其简单语法:F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换,数据排列如图4.2(a)所示;即数据的原点在左上角,而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得,语法为:S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度,也就是实部和虚部平方和的平方根,即若某个元素为F = a +bj,则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如,对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱:>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果,图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心,语法为:Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换,即图4.2(a),而Fc是已居中的变换,即图4.2(b)。
键入命令:>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像,居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像处理中的正交变换探讨刘舜鑫;刘少卿【摘要】正交变换是一类非常重要的变换,其具有使变换前后图像能量保持不变的特性.图像的正交变换是图像处理技术的重要工具,被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等领域.首先,论述了正交变换的定义及编码原理;其次,对正交变换中的傅立时变换和离散余弦变换的基本概念、性质、算法以及在图像处理中的应用等进行了详细的叙述;最后,利用Madab和C++编程,实现了快速离散傅立叶变换和离散余弦变换,并对两种变换结果的优劣作了全面的比较.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2013(031)002【总页数】6页(P57-62)【关键词】正交变换;傅立叶变换;离散余弦变换;频域【作者】刘舜鑫;刘少卿【作者单位】工业和信息化部电子第五研究所,广东广州 510610【正文语种】中文【中图分类】TP391.410 引言图像处理是指用计算机对图像进行分析,以达到所需结果的技术,又被称为影像处理。
平常所说的图像处理一般指数字图像处理。
数字图像是指用数字摄像机、扫描仪等设备经过采样和数字化得到的一个大的二维数组,该数组的元素被称为像素,其值为一整数,被称为灰度值。
图像处理技术的主要内容包括图像压缩,增强和复原,匹配、描述和识别3个部分 [1]。
图像变换是图像处理技术的重要工具。
为了有效和快速地对图像进行处理和分析,图像变换将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间,并利用这些空间的特有性质更方便地进行加工,最后再变换回图像空间以得到所需的效果。
正交变换改变图像的表示域及表示数据,给图像处理工作带来了极大的方便。
利用这个工具,可以对图像的频谱进行各种各样的处理。
1 正交变换的两种定义a)定义1:欧氏空间V上的一个线性变换σ被称为正交变换,如果它保持向量的长度不变,即对任意ξ∈V,均有b)定义2:欧氏空间V上的一个线性变换σ被称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对任意ξ,η∈V,均有(σ(ξ),σ(η))=(ξ,η)。
正交变换的原理及应用一、什么是正交变换?正交变换是线性代数中的一个重要概念,它是指对向量进行一系列矩阵变换的过程,这些变换中每一步都是正交的。
正交变换在许多领域中有广泛的应用,包括图像处理、信号处理、数据压缩等。
在数学上,正交变换是指一个变换矩阵满足两两正交、且行列式为1的特殊矩阵。
正交矩阵的特点是它的转置等于它的逆,即OT=O^-1,其中O为正交矩阵。
二、正交变换的原理正交变换可以通过矩阵乘法来实现。
给定一个向量x,进行一次正交变换可以表示为:y = Ox其中,O是一个正交矩阵,y是变换后的向量。
正交变换保持向量的长度和角度不变,因此在二维平面上,正交变换可以实现旋转、缩放、反射等操作。
三、正交变换的应用正交变换在许多领域中都有广泛的应用。
1. 图像处理图像处理中经常使用正交变换对图像进行变换和分析。
其中最常用的正交变换是傅里叶变换和小波变换。
傅里叶变换将图像从时域转换到频域,可以用于图像的滤波、去噪等操作。
小波变换则可以将图像分解成不同尺度的频谱,用于图像的压缩和特征提取。
2. 信号处理正交变换在信号处理中有广泛的应用。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域,用于信号的频谱分析和滤波。
小波变换则可以对非平稳信号进行分析和处理,广泛应用于语音信号处理、图像处理等。
3. 数据压缩正交变换在数据压缩中也有着重要的应用。
例如,JPEG图像压缩算法中使用了离散余弦变换(DCT),将图像从空域转换到频域,然后将高频系数进行量化和编码,从而实现图像的压缩。
4. 量子力学正交变换在量子力学中是一个基本概念。
量子力学中的态矢量可以通过正交变换表示为不同的基矢量的线性组合。
正交变换可以将一个物理态从一个表象转换到另一个表象,描述其在不同基矢量下的表示。
5. 机器学习在机器学习中,正交变换被广泛应用于特征提取和降维。
主成分分析(PCA)是一种常用的正交变换方法,它通过找到数据中方差最大的方向进行特征提取和降维。
总结正交变换是一种重要的线性代数概念,它通过矩阵乘法对向量进行变换。
正交变换的方法正交变换是线性代数中的重要概念,它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将围绕正交变换展开,介绍它的定义、性质以及在几何、图像处理和信号处理等领域中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指保持向量长度和夹角的线性变换。
具体而言,对于一个n维向量空间V中的向量x和y,如果存在一个n×n的矩阵Q,使得对于任意的x和y有Qx·Qy=x·y,那么矩阵Q就是一个正交矩阵,而变换Qx就是一个正交变换。
正交变换的一些基本性质如下:1. 正交变换保持向量的长度不变,即||Qx|| = ||x||;2. 正交变换保持向量之间的夹角不变,即(Qx)·(Qy) = x·y;3. 正交变换的逆变换也是正交变换,即Q的逆矩阵Q^-1也是正交矩阵;4. 正交矩阵的转置等于它的逆矩阵,即Q^T = Q^-1;5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
二、正交变换在几何中的应用在几何中,正交变换被广泛用于描述平移、旋转和镜像等基本变换。
通过矩阵乘法的方式,可以将一个点或一个物体进行平移、旋转或镜像操作,从而改变它在坐标系中的位置和方向。
三、正交变换在图像处理中的应用正交变换在图像处理中有着重要的应用。
其中最著名的正交变换是离散傅里叶变换(DFT),它将一个离散信号从时域转换到频域。
DFT的基础是正交变换的性质,通过将信号拆解成一系列正交基函数的线性组合,可以得到信号在频域上的表示,从而实现信号的频谱分析和滤波处理。
四、正交变换在信号处理中的应用正交变换在信号处理中也有着广泛的应用。
例如,在通信系统中,正交变换被用于多载波调制(OFDM)技术中,通过将信号分成多个正交子载波进行传输,提高了信号的抗干扰性能和频谱利用率。
另外,正交变换还被用于信号压缩和降噪等领域,通过正交变换将信号转换到一个更稳定的域中,可以提取信号的重要特征并减小数据的冗余。
五、总结正交变换作为一种保持向量长度和夹角的线性变换,在几何、图像处理和信号处理等领域中有着广泛的应用。
滨江学院《计算机图像处理》课程设计报告题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术学生姓名学号二O一五年六月十日目录1课程设计目的 (2)2课程设计要求 (2)3 正交变换的概述 (2)3.1 信号的正交分解 (2)3.2 正交变换的定义 (3)3.3 正交变换的分类 (4)3.4 正交变换的标准基 (4)3.4.1 一维DFT的标准基 (4)3.4.2 二维DFT (6)3.4.3 正交变换的标准基图像 (7)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8)6 总结 (9)7 参考文献 (9)1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 了解正交变换在图像处理中的应用2课程设计要求(1)掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
(2)查阅资料,根据不同处理需求,设计完成对数字图像的处理与分析。
(3)熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
(4)进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ (式3-1)式(3-1)中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。
系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解3.2 正交变换的定义一维序列 }10),({-≤≤N x x f可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==,10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=1(酉矩阵),若A 为实数阵,则满足A A T =-1,称为正交阵。
向量 =V [])1(),...,1(),0(-N g g g T由此,U 可以表示为 V U A T*= 或 ),()()(10x u u g x f N x a ∑-=*= 10-≤≤N u 可知,给定基向量,}10),,({-≤≤*=→*N x x u a a T 10-≤≤N u ,原序列f (x )可以由一组系数g (u )(10-≤≤N u )表示,这组系数(变换)可以用于滤波,数据压缩,特征提取等。
若矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211 满足:I A A A A T T == 则矩阵A 就成为正交矩阵。
对于某向量f ,用上述正交矩阵进行运算:Af g =若要恢复f ,则g g f A A T==-1 以上过程称为正交变换(酉变换)。
3.3 正交变换的分类正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。
我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。
非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。
由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L 变换和正交小波变换。
K-L 变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。
但是K-L 变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。
小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。
但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。
随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
3.4 正交变换的标准基傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。
3.4.1 一维DFT 的标准基首先从傅立叶级数进行考虑。
假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为()∑∞=++10sin cos 2n n n nt b nt a a (式3-2) a 0 , a 1 , b 1 , ⋯是函数f ( t) 的傅立叶系数。
例如,一矩形波f ( t) 是周期为2π的周期函数,在[ -π,π] 上-1 -π≤t <0(式3-3)1 0≤t <π由下式求得傅立叶系数,ntdt t f a n cos )(1⎰=πππ⎰=πππntdt t f b n sin )(1(式3-4) 得到矩形波f (t ) 的傅立叶级数展开为:)(t f =π4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++...)12sin(121...3sin 31sin t k k t t ,....)2,,0;(ππ±±≠∞<<-∞t t (式3-5)上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。
这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。
可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。
实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。
这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。
在DFT 中也是类似的意思。
假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ⋯, N - 1) ,一维DFT 变换对如下:其中e N j W π2-=称为变换核。
将式(6)写成矩阵形式F = W ·f 即:W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。
W 是正交矩阵,有W - 1 = W T 。
可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。
如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,这也就是离散傅立叶反变换。
3.4.2 二维DFT一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。
数字图像处理主要是二维数据处理。
假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , ⋯, M - 1 ; y = 0 ,1 , ⋯, N - 1) 是一幅M ×N 图像,则二维离散傅立叶变换为:∑∑-=-=+-=1010)(2),(),(M X N y N vy N ux j e y x f v u F π u=0,1,…,M-1;v=0,1,…,N-1 (式3-9) 逆变换为:∑∑-=-=+=1010)(2),(1),(M u N v N vy N ux x j e v u F MN y x f x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1 (式3-10) 其中,eN vy N ux j )(2+-π称为正交变换核。
在二维DFT 中同样可以将(式2-9)写成矩阵形式: F = W ·f ·W T其中f 是原始的二维矩阵, F 是二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。
从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W得: (式3-11)因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。
这不符合我们正交变换的目的。
为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 ×8 或16 ×16 的小方块来做。
一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。
在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富[ 。
灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边缘或噪声对应高频。
F( u , v) 表示在对应( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。
这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。
考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。
在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。
以此来达到数据压缩的目的。
这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。
但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。
3.4.3 正交变换的标准基图像由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。
如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。
假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。
则有∑∑-=-==11,),(),(M o u N v v u N v u F y x f (式3-12)设G = W T ,则式(2-12) 变为: f = G ·F ·W 。
将右边前两个矩阵乘积展开有: 8888})7(:,:),,7({...})2(:,:),,7({})1(:,:),,7({............})7(:,:),,2({...})2(:,:),,2({})1(:,:),,2({})7(:,:),,1({...})2(:,:),,1({})1(:,:),,1({),(⨯⨯⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=W F G F G F G F G F G F G F G F G F G y x f (式3-13) 这里的{G( i , :) , f ( : , j) }表示G 的第i 行与F 的第j 列所有元素对应相乘再求和。
实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。
即:∑==81),(),,()}(:,:),,({n j n F n i G j F i G(式3-14) 再设T = W T ·F, 则f ( X , Y ) 中任意位置( x 0, y 0 ) 的值有: ∑∑∑===⋅⋅=⋅==81810081000000),(),(),(),(),()}(:,:),,({),(j i j y j W j i F i x G y j W j x T y W x T y x f (式3-15) 将上式与式(2-12) 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应频率上的分量, G(x0 ,j)·W(j,y 0)就是F( i ,j)对应的标准基图像N ij 中(x 0 ,y 0)位置的元素数值,即:),(),(),(0000y j W i x G y x Nij ⋅= (式3-16) 其中i 从1 到8 ,j 从1 到8 得到64个标准基图像的二维矩阵, 每个矩阵中又有x 0 从1 到8 ,y 0 从1到8 得到8×8 个矩阵元素。