2020年(考研高数)基本初等函数图像与性质

基本初等函数的图像及性质函 数 名 称：常数函数解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数（当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数） 反 函 数：无反函数周 期 性：是周期函数，任何一个非零常数都是其周期，无最小正周期函 数 名 称：一次函数解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)图象及其性质：直线型图象。

|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b =0时，函数f (x )的图象过原点；当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线；定 义 域：R 值 域：R单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数；当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反 函 数：有反函数（特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身） 周 期 性：无函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )=xk(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；b奇 偶 性：奇函数反 函 数：原函数本身 周 期 性：无函 数 名 称：二次函数解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2ab ac a b --； ③当042>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042=-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；定 义 域：R值 域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为)44,(2a b ac --∞ 单 调 性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-a b上为增函数； 当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数； 奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无函 数 名 称：指数函数解析式 形 式：)1,0()(≠>=a a a x f x图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x 轴不相交，只无限靠近；c bx ++)1f (x )=a x②函数xa x f =)(与xx a ax f -==)1()(的图象关于y 轴对称；③当1>a 时，y 轴以左的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间，y 轴以右的图象在直线1=y 以上；当10<<a 时，y 轴以左的图象在直线1=y 以上，y 轴以右的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数； 奇 偶 性：无反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 周 期 性：无函 数 名 称：对数函数解析式 形 式：)1,0(log )(≠>=a a x x f a图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y 轴不相交，只是无限靠近；②函数x x f a log )(=与x x x f a alog log )(1-==的图象关于x 轴对称；③当1>a 时，x 轴以下的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间，x 轴以上的图象在直线1=x 以右；当10<<a 时，x 轴以下的图象在直线1=x 以右，x 轴以上的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数] 奇 偶 性：无反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x周 期 性：无xyOf (x )=)1(log >a x af (x )=)10(log <<a x a函 数 名 称：幂函数解析式 形 式：)()(R x x f ∈=ααxx r x x q x x h x x g x x f 1)(;)(;)(;)(;)(2132===== 图象及其性质：① 幂函数必过第一象限，不过第四象限； ②x ϵ(0,1)，α越大越靠近x 轴；x ϵ(1,+∞)，α越大越远离x 轴； ③当α>0时：（研究第一象限）图像过定点(0,0)和(1,1)；函数在[0,+∞)上是增函数；α>1，图像是向下凸抛物线型；0<α<1，图像是向上凸抛物线型； ④当α<0时：图像过定点(1,1)；函数在(0,+∞)是减函数；图像是双曲线型，与x 轴、y 轴无限接近但永不相交； ⑤α为偶数，幂函数为偶函数；α为奇数，幂函数为奇函数； 函 数 名 称：三角函数。

基本初等函数. 幂函数(a 为实数 )要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形..指数函数定义域：，值域：，图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加； a 时，单调减少。

今后用的较多。

.对数函数定义域：，值域：，与指数函数互为反函数，图形过（1， 0）点， a>1 时，单调增加；a<1 时，单调减少。

.三角函数，奇函数、有界函数、周期函数；，偶函数、有界函数、周期函数；，的一切实数，奇函数、周期函数，的一切实数，奇函数、周期函数；，.反三角函数；；；。

以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握注：（ 1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（ 2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m 2 (m 0)．（ 1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（ 2）过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m，n ，使得 AP2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（ 1）证法 1：29 m2，y x2mx 2m2x m24当 m0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ，4顶点总在 x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当 m 0 时，抛物线与y 轴的交点(0，2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．）证法 2：m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2，当 m0时， 9m20 ，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．（ 2）存在实数m，n，使得AP2PB ．设点 B 的坐标为(t，n)，由 AP2PB 知，y①当点 B 在点 P 的右边时， t0，点 A 的坐标为(2t， n) ，A PBx 且 t， 2t是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根．O m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4且 t ( 2t )m （I）， t ( 2)t2（II）m n由（ I）得，t m，即m 0．将 t m代入（II）得， n0 ．y 当 m0且 n0 时，有 AP2PB ．②当点 B 在点 P 的左边时， t0，点 A 的坐标为(2 t，n)，且 t，2t 是关于x的方程 x 2mx2m2n 的两个实数根．xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4AB P且 t 2t m （I），t 2t2m2n （II）由（ I）得，t m0 ．3，即m将 t m代入（ II ）得，n20 m2且满足 n9 m2．32094当 m0 且n m2时，有AP2PB9第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t 2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ． 12 3 米Ｄ．6米答案：Ｂ第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月 25日起的 180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（ 1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y (天)z(元 )16060140（ 180， 92）5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100 120150 180t(天)O204060 80110140160 180t(天 )（ 1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（t0）的函数关图 (1)图 (2)系式；（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t （天）（t 0）的函数关系式；（ 3 ）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500 克．）答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2 t 160 (0t，3 120)y 80 (120 ≤ t，150)2 20 (150 ≤t ≤ ．5（ 2）由题目已知条件可设za(t 110) 220 ．85图象过点 (60， ) ，385 a(60 110) 2 20． a1 ． 3300z1(t 110) 2 20 (t 0 )． 300（ 3）设纯收益单价为W 元，则 W =销售单价 成本单价．2 1601110) 220 (0 t，t(t120)3300故W 801 (t 220(120 ≤t，300 110)150)2 201 220 (150 ≤ t≤．5300化简得1 2100(0，300W1(t 110)2 60 (120≤ t 150)， 30012 56 (150 ≤ t ≤．300①当 W1 (t 10)2 100(0 t 120) 时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100；300②当 W1 (t 110)2 60(120 ≤ t 150) 时，由图象知，有 t 120 时， W 最大，最大300值为 59 2 ；3③当 W1 (t 170)2 56(150 ≤ t ≤ 180) 时，有 t 170 时， W 最大，最大值为 56．300综上所述，在 t 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元．第 13 题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（ 2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 43 7）（ 3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取26 5）y4 M2 1 AOBCDx答案：解：（ 1）（ 3 分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6) 2 4．y由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a1 ． 4M12E FN表达式为 y124． 2 ( x 6)1 A1 x2 12OBCDx（或 yx 1 ）12 1（ 2）（3 分）令 y0， ( x6)2 4 0．12(x6)2 48． x 4 3 6 ≈ 13，x4 3 6 0 （舍去）．12足球第一次落地距守门员约 13 米．（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意： CDEF （即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）21( x 6) 24解得 x6 2 6，x2 6 26．121CD x 1 x 2 4 6 ≈10．BD 13 6 1017 （米）．解法二： 令1( x 6) 2 4 0．12解得x 1 6 4 3 （舍）， x 26 4 3 ≈13．点 C 坐标为（ 13， 0）．设抛物线 CND 为 y1( x k) 2 2．12将 C 点坐标代入得：1(13 k) 2 2 0．12解得：k 1 13 2 613 （舍去），k 2 6 4 3 2 6 ≈ 6 7 5 18．y1( x 18)2 212 令 y0， 01( x 18)2 2．12x 118 2 6 （舍去）， x 2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知， k 18，所以 CD 2(18 13) 10， 所以 BD(136) 10 17．答：他应再向前跑17 米．第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴灌 设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5 万元．y （万元），（ 1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为写出 y 关于 x 的函数关系式．（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外， 其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使用． 如果按 3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x2.7x 0.9x 20.3x0.9x 2 4.5x ．（ 2）当 0.9x 24.5x5 时，即 9x 245x 50 0 ， x 15 ， x 2 1033从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5公顷大棚．（3）设3Z （万元）3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x2 6.3x20.3 x 10.5 33.075（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当 0.3x2 6.3x0时， x10 ， x2 21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18 元，按定价 40元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？yPA BO Cx答案：（ 1）由题意可知抛物线经过点A0，2 ，P 4，6 ，B 8，2设抛物线的方程为y ax2bx c将 A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为y1x22x 24（ 2）令 y4 ，则有 1 x 2 2x2 44解得x 14 2 2， x 2 4 2 2x 2 x 14 2 2货车可以通过．（ 3）由（ 2）可知1x 2 x 1 2 2 22 货车可以通过．第 17 题如图，在矩形ABCD 中， AB 2 AD ，线段 EF 10 ．在 EF 上取一点 M ，分别以EM ， MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ．令 MN x ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大 D C值是多少？ABHN GEMF答案：解：矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ，MN MF ．AD ABAB2 AD ， MN x ，MF 2x ．EMEFMF 10 2x ．Sx(10 2x) 2 x 2 10x22 52 x52．2当 x5时， S 有最大值为25．22第 18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润 y A （万元）与投资金额 x （万元）之间存在正比例函数关系： y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额 x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax 2 bx ，并且当投资2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5 时，y1，，0.4 ，2 25k ky A0.4x ，当x 2 时，y B 2.4 ；当x 4 时，y B 3.2．2.44a2b3.216a4ba0.2解得1.6by B0.2x2 1.6 x ．（ 2）设投资B种商品x万元，则投资 A 种商品(10x) 万元，获得利润W万元，根据题意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2 x2 1.2x4W0.2( x3)2 5.8当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元， B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第 19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱 A3 B3 50m ， 5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4，A5 B5之间的距离均为15m ，B1B5∥ A1 A5，将抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（ 2）中点 B1， B3， B5的坐标；（2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4的长度．B3yB2B430m B3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5O l图 (1)图(2)答案：B1 ( 30， 0) ， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；（1）（ 2）设抛物线的表达式为y a(x 30)( x30) ，把 B3 (0，30) 代入得 y a(030)(030)30 ．∴ a 1．301( x∵ 所求抛物线的表达式为：y30)( x30) ．30（ 3）∵B4点的横坐标为15，∴ B4的纵坐标 y41(1530)(1530)45．302∵ A3B350 ，拱高为30，∴立柱 A4B4 204585(m) ．2285(m) 。

为高等数学小结的——基本初等函数. 幂函数(a为实数)1、图形：要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形；2、定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。

值域：随a的不同而不同3、主要性质：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。

.. 指数函数1、图形：2、定义域：值域：，3、主要性质：图形过（0，1）点暨 a^0=1若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少直线y=0为函数图形的水平渐近线4、今后用的较多5、. 对数函数1、图形：2、定义域：值域：3、主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数. 三角函数正弦函数：，[-1,1], 奇函数、有界函数、周期函数；以为周期的周期函数；单调增区间：单调减区间：余弦函数：，[-1,1], 偶函数、有界函数、周期函数周期：；单调增区间：单调减区间：正切函数：，的一切实数，奇函数、周期函数周期定义域：值域单调增区间：单调减区间：函数的铅直渐近线余切函数：，的一切实数，奇函数、周期函数；定义域：值域单调增区间：单调减区间：函数的铅直渐近线，. 反三角函数饭正弦函数：---定义域值域：单调增加；奇函数反余弦函数：---定义域值域：单调减少饭正切函数：---定义域值域：单调增加；奇函数函数图形的水平渐近线：反余切函数---定义域值域：单调减少；函数图形的水平渐近线：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。

注：（1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)。

六大基本初等函数图像及其性质(总12页)抛物线函数 y = x^2- 图像为开口朝上的抛物线，顶点在原点(0,0)- 奇函数，即f(-x) = -f(x)- 定义域为全体实数，值域为[0, +∞)- 极值点为顶点(0,0)，不存在最大值和最小值- 函数单调递增且无拐点反比例函数 y = 1/x-tu.grid正比例函数 y = x- 图像为平面直线，通过原点(0,0)- 定义域为全体实数，值域为全体实数- 函数单调递增，无拐点- 斜率代表变化率，斜率越大表示变化速度越快，斜率为正则表示函数单调增加，斜率为负则表示函数单调减少指数函数 y = a^x (a>0且a≠1)- 图像为上凸曲线，通过点(0,1)- 定义域为全体实数，值域为(0,+∞)- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值加速增大或减小对数函数y = logₐ(x) (a>0且a≠1)- 反指数函数，图像和指数函数的图像呈镜像关系- 定义域为(0,+∞)，值域为全体实数- 当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减- 随着自变量x的增大，函数值增长速度逐渐变慢三角函数 y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x)- 正弦函数图像为周期性上下波动的连续曲线，取值范围[-1, 1] - 余弦函数图像为周期性波动的连续曲线，取值范围[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]- 正弦函数、余弦函数是周期性函数，周期为2π- 正切函数图像为周期性波动的连续曲线，定义域为实数集合-{(2n + 1)π/2 | n∈Z}，值域为全体实数这些基本初等函数的图像和性质对数学的学习和应用有着重要的作用，掌握这些函数的图像及其性质，有助于理解数学问题的规律，并能够在实际问题中进行分析和求解。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性 (2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$ $cos(pi/2+a)=-sin(a)$ $sin(pi-a)=sin(a)$ $cos(pi-a)=-cos(a)$ $sin(pi+a)=-sin(a)$ $cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$ $tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$ $sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$ $cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$ $cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的)$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中 $tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中 $tan(c)=a/b$$1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数直角坐标系中的定义。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。

且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。

函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。

函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称。

4.当a 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数。

二、指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。

今后用的较多。

三、对数函数x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ， 反余切函数x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ． Αα：阿尔法 AlphaΒβ：贝塔 Beta Γγ：伽玛 GammaΔδ：德尔塔 Delte Εε：艾普西龙 Epsilonζ ：捷塔 Zeta Ζ η：依塔 Eta Θθ：西塔 ThetaΙι：艾欧塔 Iota Κκ：喀帕 Kappa∧λ：拉姆达 Lambda Μμ：缪 MuΝν：拗 Nu Ξξ：克西 XiΟο：欧麦克轮 Omicron ∏π：派 PiΡρ：柔 Rho ∑σ：西格玛 SigmaΤτ：套 Tau Υυ：宇普西龙 UpsilonΦφ：fai Phi Χχ：器 ChiΨψ：普赛 Psi Ωω：欧米伽 Omega。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。

二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。

当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。

2.幂函数的性质：函数。

定义域。

值域。

奇偶性。

单调性。

公共点y=x^2.R。

[0,+∞)。

偶。

增。

(0,0)y=x。

R。

R。

非奇非偶。

增。

(0,0)y=x^3.R。

R。

奇。

增。

(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。

{y|y≠0}。

奇。

(-∞,0)减。

(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。

1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。

2.指数函数的性质：函数。

定义域。

值域。

奇偶性。

单调性。

公共点y=a^x(a>1)。

R。

(0,+∞)。

非奇非偶。

增。

(0,1)y=a^x(0<a<1)。

R。

(0,1)。

非奇非偶。

减。

(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。

首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。

当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。

当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。

其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。

其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。

接着，介绍了对数函数的概念和性质。

对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。

常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x， x 是自变量，是常数；1. 幂函数的图像：y y x3y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry x1y x 2x1y x 2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减第 1 页1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。

且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。

函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数ya x(x 是自变量,a 是常数且a0 ， a1 )，定义域是R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：yaxyyy ax(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x 0 时， y1单调性 在（， ）是增函数 （， ）在是减函数1 ） 当 a1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x 0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1)点 。

WORD 格式整理版六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；y 11. 幂函数的图像：y x2y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry xy x3x1y x2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减WORD 格式整理版1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。

且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。

函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时， n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。

三、指数函数 ya x ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 ， a 1) ，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：ya xyyya x(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时， y 1单调性 在（ ，）是增函数在（， ）是减函数1 ） 当 a 1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：21xy2.幂函数的性质；1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数yxx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，xay =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1)nm n m aa a +=⋅(2) n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n nb a ab =b.根式的性质；f xxxx g ⎪⎫ ⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m a a a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。