线性变换及其矩阵 ppt课件

h(x) f (x) g(x) ， t(x) f (x)g(x) ， 则
h(T ) f (T ) g(T ) ， t(T ) f (T )g(T ) ．
注 1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即TS ST ， 因此一般地有 (TS )n T n S n ．
1.3.3 线性变换的矩阵
可以证明：T1 T2 ， T1T2 ， kT1 都是线性变换，并且满足下面 运算规律（设 k,l P ，T ,Ti V (i 1,2,3) ）：
（1）V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ， (T1 T2 ) T3 T1 (T2 T3 ) ．
1.3 线性变换及其矩阵
1.3.1 线性变换的概念
定义 设V ，W 是数域 P 上的两个线性空间，T 是V 到 W 的一个映射，如果满足：
（1) 对于任意, V ，T ( ) T () T ( ) ， （2) 对于任意 V ， k P ，T (k) kT() ， 则称T 是V 到W 的线性映射，或线性算子．当V W 时，称 T 为V 上的线性变换．
（5）V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k(lT ) ， (k l)T kT lT ，
k(T1 T2 ) kT1 kT2 ．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，T L(V ) ，
（1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 则称 S 为 T 的逆变换，记为T 1 ．特别地，若线性变换T 是可逆的， 则 T 1 也是线性变换．
f (x) am x m am1x m1 a0 P[x] ，
f (T ) amT m am1T m1 a0 I 为线性变换T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是V 的一个线性变换．
这些运算具有下列性质： （1）T mn T mT n ，(T m )n T mn ，（ m, n 为非负整数）． 当T 可逆时， m, n 可为负整数． （2）设 f (x), g(x) P[x] ，如果
的变换T 称为线性变换T1 与T2 的和，记为T T1 T2 （3）对每个 V ，满足 T () T1(T2 ())
的变换T 称为线性变换 T1 与T2 的乘积，记为T T1T2 （4）对每个 V ， k P 满足 T () kT1()
的变换T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积，记为T kT1 ．(1)T1 简记 为 T1
定理 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1,2 ,,n 是V 的一个基，又 1, 2 ,, n 是V 中的任意 n 个向量，则 存在唯一的一个线性变换T ，使得
称T 为数乘变换.
性质 1 T (0) 0 ，T () T () ，
即线性变换将零元素源自文库为零元素，而负元素的像为像的负 元素．
性质 2 若 k11 k2 2 km m ，则 T ( ) k1T (1 ) k2T ( 2 ) kmT ( m )
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
（1）如果对每个 V ，恒有T1 () T2 () ，则称T1 与T2 相等，
记为 T1 T2
（2）对每个 V ，满足 T () T1 () T2 ()
显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换
是线性空间到自身的线性映射．
例 1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就
是欧氏空间 R2 的一个线性变换．对任意 x (x1, x2 )T R2 ， 则这个线性变换T 是
例2
T
(
x)


cos sin
sin cos
x
则 D 是一个线性变换．
定义 设 T 是数域 P 上的线性空间 V 的一个线性变 换，
（1）如果对任意 V ，恒有 T () 0 ，则称 T 为零
变换，记为 0；
（2）如果对任意 V ，恒有 T () ，则称T 为恒
等变换，记为 I ；
（3）如果对任意 V ， k P ，恒有T () k ，则
（2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积 T n TTT
称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0时，令T 0 I ．当T 可逆时，
定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为 T n (T 1 )n
（3）设 P[x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且
则称
（2）V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3 T1 (T2T3 ) ．
（3）V 中线性变换的乘法对加法满足分配律，即 T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ．
（4）设 0 表示V 中的零变换，则 T+0=T， T (T ) 0 ．
即线性变换T 保持向量的线性组合． 性质 3 若1, 2 ,, m 线性相关，则
T (1 ), T ( 2 ),,T ( m ) 也线性相关．
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
1.3.2 线性变换的运算
．
定义在区间 [a,b] 上的所有连续实函数的集合
C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换
T：
T ( f (x)) x f (t)dt ， f (x) C[a,b] ， a
则 T 是 C[a, b] 上的一个线性变换．
例 3 在线性空间 P[x]n 中，微商运算 D 定义为 D( f (x)) f (x) ，