数学发展史中的几次重大思想方法的突破
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1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放
古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究
1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放
第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δ
t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
其实，牛顿也曾在着作中明确指出过：所谓“最终的比”
(如(2)中的2at)不是“最终的量”的比，而是比所趋近的极限。
但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。
包括莱布尼兹对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。
因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
这就是数学史上所谓第二次数学危机。
2．3 非欧几何的诞生是第三次思想解放
希腊人在几何学上取得很大成就，最典型的是《几何原本》。
《几何原本》从五个公理、五个公设出发推演出有关的数学问题，这就给了人们一个价值尺度，一把尺子。
那么人们自然要问，这把尺子准否
又有谁去量《几何原本》。
公设①～④都是很容易接受的，对于叙述最为罗
嗦的“第五公设”有人想能否从中去掉它，然后由别的来代替。
那么，唯一的办法就是用别的定理去证明它也能获得同样结论。
第一个做这件事的人就是仅与欧几里得相差不到一世纪的着名天文学家、几何学家托勒密，但没有获得成gong。
尔后到公元
5世纪的普洛克拉斯，17世纪的沃利斯，也都没有获得什么进展。
直到19世纪初，所有用欧几里得的公理去证明欧几里得平行的公理的尝试，都失败了，它整整困惑了人们2000多年。
19世纪初，当一大批数学家们开始意识到第五公设是不可证明时，那唯一的办法，要么干脆承认第五公设，要么换一个新的思路，重新构筑一个体系。
这时，非欧几何可以说已经呼之欲出了。
当时德国数学家C．F．高斯、俄国数学家H．И．罗巴契夫斯基和匈牙利数学家J．波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。
高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。
罗巴契夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。
在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴契夫斯基平行公理：在这种几何里，三角形内角和小于两直角。
当时罗巴契夫斯基称这种几何学为虚几何学，后人又称为罗巴契夫斯基几何学，简称罗氏几何，也称双曲几何。
非欧几何的创建打破了
2000多年来欧氏几何一统天下的局面，从根本上革新和拓宽了人们对几何学观念的认识。
非欧几何的创建导致人们对几何学基础的深入研究。
不仅推广了几何学观念，而且对于物理学在20世纪初期所发生的关于空间和时间的物理观念的改革也起了巨大的推动作用。
非欧几何学首先提出了弯曲的空间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具。
而这一次思想解放，数学依然是在物理学的前面几十年。
A.爱因斯坦和他后继者在广义相对论的基础上研究了宇宙的结构。
按照相对论的观点，宇宙结构的几何学不是欧几里得几何学而是接近于非欧几何学，许多人采用了非欧几何作为宇宙的几何模型。
2．4 罗索悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放
第三次危机，涉及到了“数学自身的基础是什么”的根本问题。
它的起因是19世纪的弗雷格根据康托尔创立的集合论思想撰写一本《算术基础》，其主要思想是把算术的基础全部归结为逻辑，以期能建立：数学→算术→逻辑的模式，筑起数学的大厦。
1092年6月，罗素给正在致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信，叙述了他所发现的一条悖论：我们暂且这样叙述：有些集合不以自己为元素，{0，1，2}＝3，“3”并不是自己的元素。
也可能以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是个集合，所以也是自己的元素。
现在考虑所有那些“不以自己为元素的集合”。
这个概念的外延确定了一个集合，它是不是自己的元素呢如果它以自己为元素，它就不符合定义自己的概念，因而不是自己的元素。
如果它不以自己为元素呢它又和概念相符了。
它应当以自己
为元素，使得弗雷格的“逻辑”产生了矛盾，陷入了两难境地。
对罗素的观点，我们也可以换一种比较具体的好理解的说法。
理发师悖论：某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸。
试问，他给不给自己刮脸呢
如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸。
如果他给自己刮脸，由于他只给那些不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸。
罗素悖论是数学史上的第三次危机，它给数学领域沉重的打击。
围绕第三次危机，
19世纪、本世纪许多杰出的数学家都参与了“数学基础”大厦建设工作，取得卓然成就，
“数学化”(Mathematizing)很可能是人的一种创造性活动，像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性决定不容许完全的客观的有理化(rationalization)。
”
一部数学文化的原创有着极大诱惑力，它鼓舞着、引导着人们去为他奋斗。
就如同美国前数学协会埃里克坦普尔·贝尔说的：“人们将会发现，领略现代数学思想的这些令人鼓舞的概念，就像热天喝冰水那样使人清新，像一切艺术那样令人感奋。
”
浅谈数学思想方法的意义
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，
或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关
联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面
从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意
义．
１．数学方法教学的心理学意义
第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容．
第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．““学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．”
第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括
的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力．
第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级’知识和‘初级’知识之间的间隙．”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义．而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等．因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线．
２．中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法．
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，
在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识．
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．
３．中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是：（１）这三个思想几乎包
摄了全部中学数学内容；（２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（４）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础．
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透．
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关．从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等．一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的．
４．数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
操作——掌握——领悟
对此模式作如下说明：（１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；（２）
“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础；（３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；（４）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；（５）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些．
数学教学主要是数学思维的教学，而不是单纯的数学知识的教学，要加强数学基础知识教学的同时，培养学生的数学能力，掌握数学思考方法，因此小学数学教学要有重大突破，就在于小学生思维发展的研究。
这一教学原则改变了我们“满堂灌”，“注入式”的教学方法，着眼于学生的思维的训练。
给学生“思考”的机会，指导学生思维方法，使其形成良好的思维品质。
．数学思想与方法
1,从词义看：思想是指客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。
2,从哲学角度看，思想的涵义有二：一是与“观念”同义，二是指相对于感性认识的理性认识成果。
3,数学思想：对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的思想观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学问题的指导思想。
例：化归思想、分类思想、模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想。
4,数学方法：从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。
求和可以考虑分解组合的方法，变换问题的数学形式。
二、数学思想方法的发展和演进
数学是一门古老的学科，它从萌芽时期发展至今已经有数千年的历史。
数学的发展史不只是一些新概念、新命题的简单堆砌，它包含着数学思想和方法的积淀，尤其是数学本身许多质的飞跃，即数学思想方法的重大突破。
1，古代的数学思想和方法
从远古到公元前5世纪左右的数学萌芽时期是一个漫长的历史过程。
（人们积累了算术和几何方面的零碎知识，逐渐形成了抽象意义下的数和图形的概念，产生了计数法和各种数制下的算法，出现了测地术。
此时尚未形成一般的数学理论，还谈不上有什么重要的数学思想。
但是一一对应的计数法（对应思想）和记数符号的使用有力地推动了数学的发展。
另外，直接的观察和体念被作为最重要的认识方法。
数学经过漫长的萌芽时期，在古巴比伦、埃及和中国积累了大量的数学知识之后，汇成了两股不同的数学源流，
形成了两个各具特色、风格各异的数学体系。
一个是以巴
比伦和埃及数学为源头的，在希腊汇合后又得到长足进步与发展的古希腊数学，另一个则是以解决问题为宗旨、以注重算法为特点的古代中国数学。
古希腊的数学融数学与哲学为一体，以哲学促进数学理论的建立，提出了一系列思辩性的数学观点、理论和方法。
首先，古希腊人对数学的认识有了根本性的变化。
他们认为数学不仅可用来解决一些实际问题，更重要的是他们试图用数学来理解世界，把数学看作是理解宇宙的一钥匙，是研究自然的一部分，其深刻的数学思想对后世影响很大。
其次，古希腊人用演绎证明方法研究几何，使几何学成为一个演绎系统。
欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线》是演绎数学的代表着作。
把逻辑证明系统地引入数学，把数学奠基于逻辑之上，这是对数学认识的一个质的飞跃。
由此得来数学思想方法的更新——公里化的思想和演绎推理进入了数学。
值得一提的是，古希腊虽然非常强调演绎推理，但数学思想发展的历史表明，他们的数学创造也离不开观察、实验，离不开归纳、猜想和分析。
中国古代数学是以问题为中心的算法体系，《九章算术》的成书是其形成的标志。
2、近代的数学思想和方法
17～18世纪，欧洲的数学创造也进入了一个崭新的时期，这个时期，数学不仅产生了许多新的分支，而且产生了许多新的思想和方法，
它突出表现在从演绎几何到几何代数化、从常量数学到变量数学以及从必然数学到或然数学的几个重大转折上。
3、现代的数学思想和方法数学方法的应用举例
1、数学抽象与数学模型方法数学从内容到方法都显示出极其高度的抽象性
(1).数学抽象方法
1．1数学抽象的概念
数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也就是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论
例2．在正方形内部给出2000个点，现在用M来表示该正方形的４个顶点和上述个点构成的点集，并按下式规则把上述正方形纸片剪成一些三角形，使得：每个三角形三个顶点都是M中元素；除顶点之外，每个三角形不再含M中的元素，试问：
①共可剪出多少个三角形？
②如果三角形每边剪一刀，共要剪几刀？
分析与思考：（１）如果逐点或逐个三角形来考虑，那就太繁琐了。
由于三角形三内角和为定值，而正方形每个顶点不管这样剪总可以提供90°，内部的每个点可以提供360°，因此可以从三角形内角和总数方面作整体性考虑。
如图，中有两类点：
第一类为四边形的顶点，即等。
第二类是四边形内部的那2000个点，如等。
研究以第一类点为顶点的所有三角形的相关角，如以D为公共顶点的∠１，∠２，∠３，它们的和为90
以第二类点中每个点为顶点的三角形的相关角的和为360°，例如，以P 为顶点的三角形有3个，其中，以P为公共顶点的３个角之和
为，
故符合条件的所有三角形的内角和为
从全局入手解决局部问题
本来是个局部的数学问题，为解决它，“升格”为全局问题，通过对全局问题的研究，导致原问题的解决。
例3 求包含在正整数与（）之间的分母为3的所有不同约分数之和。
思考与分析：这样的所有分数是
它既非等差数列，又非等比数列，当然不好求和，但我们看到包含正整数与之间的可约分分数为
它的各项和容易求出为。
这两类分数统一在整体
之中，而这整体分数为等差数列，各项和为
化归思想例将1976 分拆成自然数之和，再将其相乘，试求（并证明）所有这种乘积中之最大值。
