2016概率论与数理统计试卷分析(1)

[解]: 设 100 根木柱中，长度小于 3m 的根数为 X，则 X~B(n,p)，其中 n=100, p=0.2。
EX=np=20, DX=np(1-p)=16.
X-EX 30-EX
X-EX 30-20
所求的为 P{X≥30}== 1-P{X<30}=1- P{
DX <
<
DX }=1- P{ DX
同理得到 P{(0,0)}=0, P{(0,1)}=1/2,
P{XY≠0}=0
P{(1,0)}=1/6
X╲Y
所以 X 和 Y 的联合分布为 -1
0
0 1。
1/3 0
0 1/2
1 1/6 0 因为 P{X=1,Y=0}= 1/6, 但 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)×(1/2)=1/12，所以 X 与 Y 不独立。
杉达 国商、会计等 专业 2006 级 专 科
《概率论与数理统计》试卷 A 评析
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。每小题的四个 得分 阅卷人 备
选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。）
1.随意地投掷一均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为 8 的概率为
有效的一个是
()
A、1X1+2X2
B、1X1+1X2+1X3
C、1X1+5X2
D、1X1+1X2+1X3
33
424
66
33 3
【讲评】考点：线性无偏估计量中，方差最小的为组合系数全部相等的线性无偏估计量。
本题
111
X1+ X2+ X3
因的组合系数全部为1，所以是最有效的。
3 33
3
选 D。
6. 假设检验时，当样本容量一定时，缩小犯第Ⅰ类错误的概率，则犯第Ⅱ类错误的概率( )
()
A、5/36
B、4/36
C、3/36
D、2/36
【讲评】考点：古典概型，P(A)=A 的样本点数/Ω的样本点数。
本题：Ω={(s,t)|s,t=1,2,3,4,5,6}, |Ω|=36, A={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}，|A|=5, 所以 P(A)=5/36
15. 随机变量 X 服从[1,3]上的均匀分布，求 X 的分布函数。
【讲评】考点：均匀分布的密度函数与分布函数。
[解]：X 的密度函数 f(x)= 1/2
1≤x≤3 ,
0 其他
x
x
① 当 x<1 时，F(x)= ∫-∞f(t)dt =∫-∞0dt =0 ;
x
1x
1
x
= ∫-∞0dt + ∫11/2dt = (x-
[解]：似然函数 L= ∏
-λxi
k!
本题 P{X=1}=P{X=2}
λ1 e-λ =λ2
e-λ
λ=2.
所以
P{X=3}=λ3
e-λ
4 = e-2 .
填
4 e-2。
1!
2!
3! 3
3
设
2，且概率密度
- 1 (x-62)2 ，则
，
9. X~N(μ,σ )
f(x)=
e
6π
μ=
【讲评】考点：正态分布 X~N(μ,σ2)；密度函数 f(x)=
由已知 P(A1)=3/5, P(A2)=2/5, P(B|A1)=2/4, P(B|A2)=3/4,
则从乙袋中取出的是黑球的概率为 P(B)=P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2)=3× 2×
1
3
(1) +
= 3.
P(A2) P(B|A2) 2 3 3 1
5 25 4 5
(2) 所求的为 P(A2|B)= P(B) = 5×4 / 5 = 2
}
16
≈ 1- Φ(2.5) = 1-0.9938 = 0.0062
19.总体 X 服从参数为λ的指数分布：f(x)= λ e
-λx
x≥0 ，其中λ>0 为未知参数，X1,X2,…,Xn 为样
0
x<0
本，试求参数 λ 的极大似然估计量。(5 分)
【讲评】考点：极大似然估计量的求法。
λe = λ e n
。
【讲评】考点：均匀分布 X~U(a,b)；密度函数 f(x)= b-a
1/2
本题 X 密度函数 f(x)=
0 填 1/4 。
1
a≤x≤b , 已知密度函数求概率。
其他
0
1<x<3
,
P{1<X≤3}=∫
3/2
f(x)dx
=
1
x|
3/2
=
1
.
其他
22 1
21 4
11. 在三次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 37/64，则事件 A 在一次试验中出现的概率
【讲评】考点：全概率公式。当事件 B 发生都是由另外一些事件 Aj 发生而引起的，并且已知 Aj 发 生下 B 发生的条件概率，则要用全概率公式来计算。注意前提：A1,A2,…,An 构成Ω的一个分斥，
n
全概率公式：P(B)= ∑ P(B|Ai)P(Ai)
i=1
本题设事件 B 表示乙袋取出黑球，设事件 A1 表示由甲袋取出白球，设事件 A2 表示由甲袋取出黑球，
填 1/4 。 12. 设随机变量 X 服从二项分布 B(100, 0.2)，则 EX=
，E(2X+1)=
。
【讲评】考点：二项分布 X~B(n,p)的数学期望 EX=np；
期望算子的性质: E(aX+bY)=aEX+bEY。
本题 X~B(100, 0.2), 则 EX=np=100×0.2=20. E(2X+1)=2EX+1 = 41.
1
-(x-μ)2
σ 2π e 2σ2
f(x)= 1 (x-2)2
f(x)= 1 (x-μ)2
6πe
σ 2πe
2
2
。
σ=
(-∞<x<+∞) μ=2, σ =3.
本题 对照密度函数 填 2， 3 。
- 6 与公式
- σ2 得到：
2
10. 设随机变量 X 服从(1,3)上的均匀分布，则 P{21<X≤23}=
g(x1)
g(x2)
…g(xk)
…
,
p1
p2 … pk …
当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。
X -1 0 1 2
[解]: 因为
Y1
Y2
-1 1 3 5 10 1 4，
P 1/6 1/3 1/3 1/6
Y1 -1 1 3 5
Y2 0
14
所以 Y1 的分布律为： P 1/6 1/3 1/3 1/6 ，及 Y2 的分布律为： P 1/3
A、1/4
B、1/3
C、1/2
D、1
【讲评】考点：二维离散随机变量的联合分布律与边缘分布。X 的边缘分布列为 P{X=xi}= ∑ pij = pi*
j=1
本题 P{X=x1}= P{X=x1,Y=y1}+ P{X=x1,Y=y2}+ P{X=x1,Y=y3} = 1/12 + 1/12 + 1/12 =1/4
A、变小 B、变大 C、不变 D、不确定【讲评】考点：假设检验时，犯第Ⅰ类错误的概率与犯第
Ⅱ类错误的概率的关系。当样本容量一定
时，犯第Ⅰ类错误的概率减少则犯第Ⅱ类错误的概率增大，反之犯第Ⅰ类错误的概率增大则犯第Ⅱ 类错误的概率减少。
本题：缩小犯第Ⅰ类错误的概率，则犯第Ⅱ类错误的概率增 大。选 B。
Aans -1
Aans -3
X
2
-1 0 1
2
17 随机变量 X 的分布律为 P 1/6 1/3 1/3 1/6 ，求 Y1=2X+1, Y2=X 的分布律。
【讲评】考点：离散随机变量的函数的分布律。设离散型随机变量 X 的分布律为：
X
x1 x2 … xk ,则…X
P p1 p2 … pk …
Y 的函数 Y=g(X)的分布律为： P
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）不写解答过
得分
阅卷人 程，
将正确的答案写在每小题的空格内。
7.若事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.4，P(A∪B)=0.6，则 P(B), P(AB¯)=
。
【讲评】考点：事件的运算、互相独立事件与逆事件的概率的计算。
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB), A 与 B 相互独立 P(AB)=P(A)P(B), A 与B¯也独立 本题 0.6=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.4+P(B)-0.4P(B)P(B)= 1/3.
选A。
2. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 2x
0源自文库
A、1/4
B、1/2
0≤x≤A ，则 A=
其他
C、1
D、2
()
+∞
【讲评】考点：随机变量的密度函数性质∫ -∞ f(x)dx=1。
+∞
A
A
本题 1=∫ -∞ f(x)dx=∫ 0 2xdx= x2|0 =
A2 ,
A=1
选 C。
3.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：P{X=xi,Y=yj}=1/12, i=1,2,3,4; yj=1,2,3，则 P{X=x1}=( )
P{X=1}=P(A1)=2/3, P{X=2}=P(A¯1A2)=1/3×2/3 = 2/9 , P{X=3}=P(A¯1A¯2A3∪A¯1A¯2A¯3)=2/27+1/27=1/9
X 则 X 的分布列为 P
1 23
.
2/3 2/9 1/9
(2) EX=1×2/3 + 2×2/9 + 3×1/9 = 13/9
为
。
【讲评】考点：二项分布 X~B(n,p)；分布律为 P{X=k}= Cknpk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,…,n)
本题 X~B(3,p), 所求的为 p。P{X≥1}=1- P{X=0}=1- C03p0(1-p)3 = 1 – (1-p)3=37/64
(1-p)3=27/64
p=1/4
1
x>3
X -1 0 1Y 0 1
16.已知随机变量 X 与 Y 的分布律分别为 P
, 1/3 1/2 1/6 P
求(1) (X,Y)的联合分布律； (2) X,Y 是否相互独立。
【讲评】考点：二维的联合分布律，与独立的判别方法。
1/2 1/2 ，且 P{XY=0}=1，
[解]: 根据已知条件 P{XY=0}=1 P{(-1,1)}=0, P{(1,1)}=0, 再根据边缘分布得到 P{(-1,0)}=1/3,
得分 阅卷人 四、 综合应用题（本大题共 3 小题，共 17 分）
1/2 1/6
18. 一批建筑用木柱，其中长度小于 3m 的概率为 0.2，现从这批木柱中任取 100 根，问其中至少有
30 根长度小于 3m 的概率。Φ(2.5)=0.9938 . (6 分)
【讲评】考点：二项分布与大数定理。棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量 Yn
(n=1,2,3,…) 服从参数为 n, p 的二项分布，即 Yn~B(n,p)，则对任意实数 x，恒有
Yn-np
x 1 t2
b1
t2
{ } lim
n →P
npq≤x = Φ(x) = ∫-∞
-
2π e 2
dt →∫a
-
2π e 2 dt,
这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机
Yn-np
变量 Yn 作标准化后的随机变量 npq 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。
填 20, 41 。 得分 阅卷人 三、计算题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
13.甲袋中有三个白球，二个黑球，乙袋中装有一个白球，二个黑球。由甲袋中任取一球投入乙袋，
Aans -2
再从乙袋中任取一球。
（1）求从乙袋中取出的是黑球的概率；（2）已知从乙袋中取出的是黑 球，求从甲袋中放入乙袋也是黑球的概率。
② 当 1≤x≤3 时，F(x)= ∫-∞f(t)dt =∫-∞+∫1 1)/2 ;
x
1 3x
1
3
x
= ∫-∞0dt + ∫11/2 dt + ∫30dt =
③ 当 3<x 时，F(x)= ∫-∞f(t)dt =∫-∞+∫1+∫3 1
;
0
x<1
所以 X 的分布函数为 F(x)= (x-1)/2 1≤x≤3 .
因为 A 与B¯也独立，所以 P(AB¯)=P(A)P(B¯)=0.4×2/3=4/15.
填 1/3 , 4/15。
8. 若随机变量 X 服从泊松分布，且 P{X=1}=P{X=2}，则 P{X=3}=
。
【讲评】考点：泊松分布：X~P(λ)；分布律为 P{X=k}= λk e-λ (k=0,1,2,3,…) 。
选 A。
4. 设随机变量 X 满足：E(X2)=8，D(X)=4，EX>0，则 EX=
()
A、1
B、2
C、3
D、4
【讲评】考点：随机变量的数字特征的基本性质：D(X)=E(X2) - (EX)2 .
本题 (EX)2=E(X2)-D(X)=8 – 4 = 4,
EX = 2
选B。
5. 总体 X~N(μ,1), μ为未知参数，X1,X2,X3 为 X 的一个样本，下面 4 个关于μ的无偏估计量中最
14. 某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 2/3，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到
子弹用尽，求（1）耗用子弹 X 的分布列；（2）EX。 【讲评】考点：。离散型随机变量的分布列与期望。
[解]：(1) 设事件 Ak 为第 k 次射击命中目标, k=1,2,3。设耗用子弹数为 X，则 X 的值为 1,2,3。