高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)

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高二上期半期考试
数学试题卷（理科）
数学试题共4页。

满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线0
1
2
2:=
+
-y
x
l的倾斜角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1
4
2
2=
-
y
x的渐近线?( )
A.x
y
2
1
-
= B.x
y
4
1
-
=
C.x
y2
= D.x
y4
=
3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,
则该几何体的表面积是( )
A.π7
B.π8
C.π
10 D.12
+
π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。

其中能使
“y
x
z
y
z
x//
⇒
⊥
⊥且”为真命题的是( )
A.③④
B.①③
C.②③
D.①②
5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1
2
2
2
=
+y
x
交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )
A.1
- B.1 C.
2
1
- D.2
B
C
6.已知命题:p直线2
+
=x
y与双曲线1
2
2=
-y
x有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直
于直线m,且,
//α
平面
m则α
⊥
l. 下列命题中为真命题的是( )
A.()()
p q
⌝∨⌝ B.()p q
⌝∨ C.()()
p q
⌝∧⌝ D.p q
∧
7.下列有关命题的说法错误
．．的是( )
A.对于命题p：x R
∃∈，使得210
x x
++<. 则⌝p：x R
∀∈，均有210
x x
++≥.
B.“1
=
x”是“0
2
3
2=
+
-x
x”的充分不必要条件.
C.命题“若1
2=
x, 则1
=
x”的否命题为：“若1
2≠
x,则1
≠
x”.
D.命题“若5
≠
+y
x，则3
2≠
≠y
x或”是假命题.
8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC
折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误
．．的是( )
A.面ABD⊥面BCD
B.面ABD⊥面ACD
C.面ABC⊥面ACD
D.面ABC⊥面BCD
(图2) (图3)
9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1
|
|2
2=
-d
MC, 则
动点M在面PAB内的轨迹是( )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的
一部分
10.设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
e=,右焦点为F（c, 0），方程20
ax bx c
+-=的
两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )
A.必在圆222
x y
+=内 B.必在圆222
x y
+=上
C.必在圆222
x y
+=外 D.以上三种情形都有可能
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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________
12.椭圆1002x +36
2
y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离
是 .
13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .
15.(原创)设A 为椭圆122
22=+b
y a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点
的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4
π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本小题13分)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C
a b a b
-=>>2。

(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线m x y +=被双曲线C 截得的弦长为24，求m 的值。

17.(本小题13分)已知命题A ：方程11
52
2=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的椭圆；
命题B ：实数t 使得不等式0)1(2<++-a t a t 成立。

（1）若命题A 为真，求实数t 的取值范围；
（2）若命题B 是命题A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

A 1
B 1
C 1E
F G A
C B 18.(本小题13分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，点E 、F 、G 分别是AA 1、
AC 、BB 1的中点，且CG ⊥C 1G .
(1)求证：CG//面BEF; (2)求证：面BEF ⊥面A 1C 1G .
(图5)
(图6)
19. (本小题12分) 如图6-(1)所示，在边长为12的正方形11A A AA ''中，点B 、C 在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q. 现将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得''1A A 与AA 1重合，构成如图6-(2)所示的三棱柱ABC-A 1B 1C 1.
(1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，求证：AP ⊥BC;
(2)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，连接AQ 与A 1P ，求四面体AA 1QP 的体积； (3)在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，求直线 PQ 与直线AC 所成角的余弦值.
20.(本小题12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率等于2
2，它
的一个顶点B 恰好是抛物线y x 42=的焦点。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN ∆的垂．心．？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)
21.(原创)(本小题12分)如图7, 已知圆)1()1(:222>=+-r r y x C ,设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.
(1)当r 在),1(+∞内变化时，求点M 的轨迹E 的方程；
(2)已知定点P(-1,1)和Q(1,0)，设直线PM 、QM 与轨迹E 的另一个交点分别是M 1、M 2 . 求证：当M 点在轨迹E 上变动时，只要M 1、M 2都存在且M 1≠M 2，则直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点。

(图7)
高二上期半期考试
数 学 答 案（理科）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C
B
C C
A
D A
D A
11.
3 ; 12. 12 ;
13. 3 ;
14. π259 ;
15. [2
2,3
6]
16.解：(1)由题意，解得1,3a c ==，∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为
2
2
12
y x -=.
(2)
⎪⎩
⎪⎨⎧=---⇒=-+=02212222
2m mx x y
x m x y ,由弦长公式得
1)2(4422422±=⇒++⋅=m m m .
17.解：(1)由条件知31015<<⇒>->-t t t ;
(2)B 是A 的必要不充分条件, ∴31<<t 是0)1(2<++-a t a t 解集的真子集. 因方程0)1(2=++-a t a t 两根为a 和1, 故只需3>a .
18.证明：(1)法1：连结A 1C ，由A 1C//EF 且A 1G//EB 可知面A 1CG//面EFB ，所以CG//面BEF.
法2：连结AG 交BE 于点H ，再连结FH ，在△ACG 中，FH 是中位线，所
以FH//CG ，则CG//面BEF 。

(2)G C A CG CG G C CG C A B BCC C A CC C A C B C A 1111111111111111面面且由⊥⇒⎭⎬⎫
⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥,
而CG//面BEF, 所以面BEF ⊥面A 1C 1G.
19. (1)证明:因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC 2=AB 2+BC 2,即BC ⊥AB.又因为BC ⊥BB 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1, 则AP ⊥BC.
(2)解: 182
1
11=⋅=
∆AB AA S APA , 由于CQ//面APA 1且BC ⊥面APA 1, 所以Q 到面APA 1距离就是BC 的长4, 所以244183
1
1=⨯⨯=-APA Q V .
(3)解: 建立如图空间直角坐标系，则A(3,0,0)、C(0,4,0)、
P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以).4,4,0(),0,4,3(=-=−→
−−→−PQ AC 设直线AC
与直线PQ 所成角为θ，则cos =θ.
5222
4516|
|·|||·|=⨯=−→
−−→−−→
−−→−PQ AC PQ AC
20.解: (1)设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ,抛物线y x 42=的焦
点为(0,1), 由⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==21
22a b a c ,所以椭圆方程为1222=+y x
(2)假设存在直线l ,使得点F 是BMN ∆的垂心.易知直线BF 的斜率为1-,从而直线
l 的斜率为 1.设直线的方程为m x y +=,代入椭圆方程并整理,可得
0)1(24322=-++b bx x .
设),(),,(2211y x N y x M ,则m x x 3
421-=+，32
2221-=m x x .于是
)1()1(1212---=⋅y y x x
)3
4)(1(3222))(1(2)
)((2
22
2121212121212121=-+--+-⋅-=-++-+-=++--++=--+=m m m m m m m x x m x x m x m x x x m x x y y x x y x 解之得1=m 或3/4-=m .
当1=m 时,点B 即为直线l 与椭圆的交点,不合题意; 当3
4
-
=m 时,经检验符合题意. 所以当且仅当直线l 的方程为3
4
-=x y 时, 点F 是BMN ∆的垂心.
21解:(1)设(,)M x y ,则AM 的中点(0,)2y D .因为(1,0)C ,(1,)2
y DC =-,(,)2
y DM x =在⊙C 中,
因为CD DM ⊥，所以,0DC DM ⋅=，所以2
04
y x -=.所以,点M 的轨迹E 的方程
为:24y x =(0)x ≠ . (2)设M, M 1, M 2的坐标分别为
)2,(),2,(),2,22
21212t t t t t t （,其中2
1
0≠≠t t 且. 由
P,M,M 1共线得
122
1
12221
22211-+=⇒+-=--t t t t t t t t t ; 由Q,M,M 2共线得
t
t t t t t t t 1
102222222
22-=⇒--=--.
所以t
t t t t -+-=22122
, ）（*212221 t t t t t -+=+. 可见021≠+t t , 即直线M 1 M 2必有斜率. 由点斜式可求得直线M 1 M 2的方程为: 022)2121=--+t t x y t t （, 将(*)中两式代入得:
042)24()122=++--+t x t t y t （, 再化简得0)4()1(2)4(2=++++-y x t x y t .
由方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=+=+=-410
4010
4y x y x x y .所以直线M 1 M 2必过点(-1,-4)。