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知识探求 众数、中位数和平均数的特征分析
【背景材料】一个企业中，绝大多数是一线工人，
他们的年收入可能是两万元左右，另外有一些经 理层次的人，年收入可以达到几十万元.这个企业 每年都要到人力市场去招聘工人，应聘者可能会 问及企业员工的年“收入水平”问题.
问题1：假若你是老板，你对企业员工的年“收入
水平”会怎样回答？
众数、中位数、平均数
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2
知识回顾
众数、中位数和平均数的含义:
众 数：样本数据中出现次数最多的数；
中位数：将样本数据按大小顺序排列， 位于正中间的数；
平均数：样本数据的总和除以样本容量.
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3
180，，88，，9,9,98，，99，，99,,9，1100，，91，01，01，09..
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平均数的估计
频率/组距
0.5
0.2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
环数
0 7.5 8.5 9.5 10.5
0.3
8×0.2＋9×0.5 ＋10×0.3=9.1
1 0 8 9 8 9 9 1 0 平 9 均 1 数0 为99.1
x 8
9 1 10 0
1x 0＝，88·，1 92 0 ,＋89，·9，1 5 可0 编9辑＋,ppt 1100·，193 0，10，9.14
5
问题提出
对一个未知总体，我们常通过图、表 提供的信息，用样本的频率分布估计 总体的分布.
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6
问题提出
如何根据样本的频率分布直方图， 估计总体的众数、中位数和平均数， 就成为一个需要研究的课题.
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7
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8
探究新知 众数、中位数和平均数的数值估计
8，8，9, 9，9，9, 9，10，10，10.
频率
0.5 组距 0.4 0.3
月均用水量的众数、 中位数和平均数分别 是多少？
0.2
0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3可.编5辑p4pt 4.5 月均用水量/t
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平面均积数平为分2.线02
频率
0.5 组距 0.4 0.3
各小矩形面积: 0.04，0.08，0.15， 0.22，0.25，0.14， 0.06，0.04，0.02.
2.中位数一般不受少数几个极端数据（即 排序靠前或靠后的数据）的影响，能大致反 映一般员工的收入水平.
3.众数虽然是“中心值”，但它也不受少
数极端值的影响，新来的打工仔的年收入可
能是一个比较小的极可端编辑值ppt .
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随堂练习
假设你是一名交通部门的负责人，你打 算向市长报告国家对本市26个公路项目投资 的平均资金数额，其中一条新公路的建设投 资为2000万元，另外25个项目的投资是20～ 100万元.该26个公路项目的投资金额中，中 位数是25万元，平均数是100万元，众数是 20万元.你会选择哪一种数字特征来表示国 家对每一个项目投资的“平均”金额？你选 择这种数字特征的缺点是什么？
(2)由不同的样本数据得到的众数、中位
数和平均数，也会有可编辑偏ppt 差.
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随堂练习
某市政府通过抽样调查，获得了100位居
民某年的月均用水量（单位：t）的频率分布
直方图如下，图中从左至右九个小矩形的面
积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，
0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计该市居民
高中数学必修3第二章 统计
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
恒高教育
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1
知识回顾
【背景材料】在第29届北京奥运会上中国体 育代表团取得了辉煌的成绩，其中射箭选手 张娟娟勇夺中国射箭史上第一枚奥运金牌. 我们随机抽取了某射箭选手在北京奥运会上 某10箭的比赛成绩如下： 10， 8， 9， 8， 9， 9， 10， 9， 10, 9.
探求规律 如何根据样本频率分布直方 图估计总体的平均数？
频率∕组距 s4
x a1s1+a2s2+a3s3+
s1 s2 s3
s5 a4s4+a5s5+a6s6 s6
O
a1 a2 a3 a4 a5 a6
每个小矩形的面积与小矩形底边中点的
横坐标的乘积之和.
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思考讨论
原始射箭成绩样本数据的众数是9， 中位数是9，平均数是9.1，这与我们根 据频率分布直方图得出的相应数据稍有 偏差，你能解释一下原因吗？ (1)频率分布直方图损失了一些样本数据， 得到的众数、中位数和平均数是一个估 计值，且所得估值与数据分组有关.
O
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中位数的估计
面积平分 线
频率/组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
环数
0 7.5 8.5 9.5 10.5
8.5
0.3 0.5
9.1
中位数为9.1
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探求规律
在样本频率分布直方图中，取哪
个数据作为总体的中位数的估计值比
较合理？
频率∕组距
面积平分线
O
直方图面积竖直平分线与横轴交点的横坐标.
0.2
0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15
＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋ 2＋.47.52×中50×2位..数0012.4是0＋23＝.众222.5.数可20×编是52辑p.0pt .06＋3.75×0.0184
频率/组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
环数
0
7.5 8.5 9.5 10.5
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众数估计
频率/组距
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
环数
0 7.5 8.5 9.5 10.5
中点
众数为9
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探求规律
在样本频率分布直方图中，取哪个数据 作为总体的众数的估计值比较合理？
频率∕组距
取最高矩形下 端中点的横坐 标作为众数.
绘制一个组距为1的频率分布直方图
（1）计算频率极/组差距 （2）决定组数与组距
（3）00..决54 定分点
0.3
（4）0.列2 频率分布表
0.1
环数
0
（5）绘制频率7.可5编分辑8.pp5t布9.直5 10方.5 图
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问题提出
众数、中位数和平均数是用样本 估计总体最常用的三种数字特征.
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wenku.baidu.com
问题2：从实际情况来看，你认为用哪种数字特征
来反映该企业员工的年“收入水平”相对合理些？
问题3：如果该企业员工年收入是2.5万元的人数最
多，你认为一个新来的打工仔的年收入可能会是怎
样？
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1.企业员工年收入的平均数会比中位数、 众数大得多，老板可能以企业员工年收入的 平均数来回答“收入水平”.应聘者可能会将 老板所说的“收入水平”理解成众数或中位 数，从而产生误解.