方程的根与函数的零点教案说明
浙江省衢州第一中学张未
华
本节内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修1》第三章《函数的应用》的第一节“函数与方程”的第一课时---方程的根与函数的零点.
下面，我从教材分析、教学诊断分析、教学过程设计分析及预期效果分析四个方面对本节课的教案加以说明.
一、教材分析
1、教材的地位与作用
本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用.
2、内容分析
“方程的根与函数的零点”一课的主要教学内容有函数的零点的定义和函数零点存在的判定方法(即零点存在定理)，不仅为后继学习做铺垫,而且从中学数学内容结构来看,本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务.
“函数的零点”这个概念体现了联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵了数形结合、化归的数学思想。因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括等能力，领会数形结合、化归等数学思想.
教学的重点是理解函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
教学的难点是连续函数在某个区间上存在零点的判定方法的深入理解与初步应用.
3、教学目标分析
课程标准要求“结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系”.
第三章“函数的应用”的课程目标之一是“通过本章的学习，使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系.“
因此,本节课具体目标如下：
1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.
2．正确理解函数零点存在的结论,了解图象连续不断的意义及作用；知道结论只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个.
3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数.
4．能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数,并会判断存在零点的区间（可使用计算器）．
4、教学方法分析
用成语串联堂课，激发学生的学习兴趣,按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则“和二主方针”。运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机给，提高能力，增长才干，采用学导式、启发式和观察探索法相结合的方法。
二．教学诊断分析
以一次函数的具体应用为例，辅以二次方程及相应的二次函数、加上三个具有代表性的函数的验证，进而引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难．学生学习的难点是准确理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并针对具体函数（或方程），求出零点（或根）所在的区间．
三．教学过程设计分析
数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，结合本教材的特点，我设计了如下的教学过程，启发学生逐步发现和认识方程的根和函数零点的关系, 掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法, 初步形成用函数观点处理问题的意识.
（一）、抛转引玉
用一个生活实例，引出问题，当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系.
仔细分析这个生活实例，它就是本节所研究问题的雏形和全貌，包括了知识、技能、研究方法，体现了方程、不等式与函数的必然统一，体现了整体看待问题、在系统中解决问题的优越性和灵活性，蕴涵了数形结合、化归思想等.
（二）溯本逐源
先根据初中所学,概括二次函数与其相应方程的关系,接着在《几何画板》下展示如下函数的图象： ()
()()21226y x x x =-+-、28x y =-、()2y ln x =-，比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系.
不局限于一次、二次函数，有助于学生通过比较认识研究问题的本质，最后专门研究一般函数与其相应的方程之间的关系，并由学生给出证明，充分体现数学的严谨性、从特殊到一般的认知规律，使得定义的得出水到渠成.同时让学生领会“数形结合思想”及“化归思想”. （三）、顺藤摸瓜
将引课的实例实际化，“在这段时间内，温度是不均匀变化的”，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？此刻体现变式教学.
（四）、牛刀小试
通过两个问题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在定理确定零点存在的区间，并且掌握结合函数性质，判断零点个数的方法．
（五）、抽丝剥茧
函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．
（六）、再接再厉
所给题目比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想.
四、预期效果分析:
学生能够理解领会方程函数的转化思想，学会用零点存在的判定方法确定零点存在区间，并且掌握结合函数性质，判断零点个数的方法．初步理解一分为二缩小区间的方法，为下节以及后继学习做好铺垫.
