高一12月月考数学试卷

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2024学年高一上学期
12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A ．()00
f =B ．若()f x 在[0,)+¥上有最小值1-，则()f x 在(,0]-¥上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+¥上为增函数，则()f x 在(,1]-¥-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x
=--10．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A ．1
B ．4
C ．2
D ．3
11．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）
六、问答题
20．已知函数44()log (1)log (3)f x x x =++-．
(1)求f (x )的定义域及单调区间．
(2)求f (x )的最大值，并求出取得最大值时x 的值．
(3)设函数4
()log [(2)4]g x a x =++，若不等式f (x )£g (x )在(0,3)x Î上恒成立，求实数a。

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

江苏省扬州中学2023-2024学年高一年级12月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=ð（）A.3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B.{|2}x x < C.3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.{|2}x x 2.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a < B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对3.在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.π2π2k αβ-=+（Z k ∈） B.π2π2k αβ+=+（Z k ∈）C.2ππk αβ-=+（Z k ∈） D.2ππk αβ+=+（Z k ∈）4.已知函数()41x f x a -=+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12m n+的最小值为（）A.9B.24C.4D.65.已知α为锐角，且cos 63πα⎛+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B. C.D.26.已知函数()2212,22,2x x mx m m x f x x +⎧-++≤=⎨>⎩，当2x =时，()f x 取得最小值，则m 的取值范围为（）A.[]1,4- B.[]2,4 C.[]1,2- D.[]1,1-7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x xy x x的图像大致是（）A. B. C. D.8.若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A.0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭C.,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.2,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.若01,01a b c <<<<<，则下列说法中正确的是（）A.a bc c < B.log log c c a b<C .c c a b < D.log log a b c c<10.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A.sin2y x= B.sin y x= C.3πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭11.已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A.a b +≤B.1222a b -<<C.221log log 2+≥-D.221a b ->-12.已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A.若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B.关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解C.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D.当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.14.函数y =的定义域为____________.15.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.16.设函数2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根(1,2,3,4)i x i =，则22222341x x x x +++的取值范围是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知13|107x A x x -⎧⎫=->⎨⎬-⎩⎭，{}22440,0B x x x m m =-+-≤.（1）若m =3，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.18.化简或计算下列各式：（1）()12123170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅.19.已知()()()sin 2cos 23cos tan 2f ππαααπαπα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）若()12f α=，且()0,απ∈，求α的值；（2）若133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.20.已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？21.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．（1）判断()f x 的单调性，并证明；（2）解关于x 的不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->．22.对于函数2()ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）若方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学2023-2024学年高一年级12月考2023.12.16数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=ð（）A.3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B.{|2}x x < C.3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D.{|2}x x 【答案】D 【解析】【分析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-ð又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃=ð{|2}x x .故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a < B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）A.π2π2k αβ-=+（Z k ∈） B.π2π2k αβ+=+（Z k ∈）C.2ππk αβ-=+（Z k ∈）D.2ππk αβ+=+（Z k ∈）【答案】D 【解析】【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，即可确定α与β的关系．【详解】πα- 是与α关于y 轴对称的一个角，β∴与πα-的终边相同，即()2ππk βα=+-（Z k ∈），()2ππ2ππk k αβαα∴+=++-=+，（Z k ∈）.故选：D ．4.已知函数()41x f x a -=+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12m n+的最小值为（）A.9B.24C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】由题意可得22m n +=，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为函数4()1(0,1)x f x a a a -=+>≠图象恒过定点(4,2)又点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，所以424m n +=，即22m n +=所以12112(2)(2m n m n m n +=++142(4m nn m=++12(44+=，当且仅当4m n n m=即21n m ==时取等号；所以12m n+的最小值为4．故选：C ．5.已知α为锐角，且cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.2-B.C.D.2【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式得ππππsinsin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcossin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π3tan π32cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D6.已知函数()2212,22,2x x mx m m x f x x +⎧-++≤=⎨>⎩，当2x =时，()f x 取得最小值，则m 的取值范围为（）A.[]1,4- B.[]2,4 C.[]1,2- D.[]1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解．【详解】当2x >时，()12x f x +=单调递增，则()8f x >；当2x ≤时，()222f x x mx m m =-++开口向上，且对称轴为x m =，又当2x =时，()f x 取得最小值()2244f m m m=-++，所以22448m m m m ≥⎧⎨-++≤⎩，解得24m ≤≤，所以m 的取值范围为[]2,4．故选：B ．7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x x y x x的图像大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D ；当01x <<时，()0f x <，可排除C ；由()()()238f f f ><，可排除B.【详解】函数()()()3222211x x x xf x x x x x x ----==--+，由30x x -≠，即0x ≠且1x ≠-且1x ≠，故函数的定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞，由()()332222x x x xx x x x x ---+---===-，所以函数()322x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除D ；当01x <<时，22x x ->，3x x <，所以()0f x <，可排除C ；由()528f =，()21364f =，()21845843008f =，即()()()238f f f ><，可排除B.故选：A.8.若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（）A.0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由题设知()y f x =是R 上的增函数且()() 11f x f x +=--，进而将不等式转化为()() 2sin 2cos f f αα->-，结合()f x 单调性及正切函数的性质求锐角α的范围.【详解】由()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，知：函数()y f x =是R 上的增函数，由()()110f x f x ++-=，即()() 11f x f x +=--，由题设：()()2sin cos f f αα->-，∴()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-，即有()() 2sin 2cos f f αα->-，∴2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<，∵α为锐角﹐则cos 0α>，∴0tan 1α<<，则α的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定()f x 的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若01,01a b c <<<<<，则下列说法中正确的是（）A.a b c c < B.log log c c a b<C.cc a b < D.log log a b c c <【答案】CD 【解析】【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.【详解】由于01,01a b c <<<<<，对于A ：由于01c <<，所以函数x y c =为减函数，所以a bc c >，故A 错误；对于B ：由于01c <<，所以函数log c y x=为减函数，所以log log c c a b>，故B 错误；对于C ：由于01c <<，所以函数cy x =在()0,∞+上为增函数，所以cc a b <，故C 正确；对于D ：由于01,01a b c <<<<<，所以log log 0c c a b >>，所以110log log c c a b<<，所以log log a b c c <，故D 正确.故选：CD .10.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A.sin2y x= B.sin y x=C.3πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性即可逐一判断结果．【详解】对于A ，函数()=sin2y f x x =满足()()()=sin 2sin 2y f x x x f x =--=-=-，且()2sin y f x x ==的定义域为R 关于原点对称，即()2sin y f x x ==是奇函数，且注意到其周期为2π2ππ2Tω===，故A 正确；对于B ：函数()sin y f x x ==满足()()sin sin y f x x x f x =-=-==，且()sin y f x x==的定义域为R 关于原点对称，所以()sin y f x x==是偶函数，不是奇函数，故B 错误；对于C ：3ππcos 2cos sin222y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由A 选项分析易知()=sin2y f x x =-是奇函数，同时也是最小正周期是π的周期函数，故C 正确；对于D ：函数()π=sin 2cos22y f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭满足()()()()=cos 2cos 2f x x x f x --==，且()=cos2y f x x =的定义域为R 关于原点对称，所以()=cos2y f x x =是偶函数，不是奇函数，故D 错误．故选：AC ．11.已知0a >，0b >，且221a b +=，则（）A.a b +≤ B.1222a b -<<C.221log log 2≥-D.221a b ->-【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C.【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤ ，又0,0,a b a b >>∴+≤ 故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误；故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.12.已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A.若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫ ⎪⎝⎭B.关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解C.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D.当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断.【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-；当322x <≤时，()42f x x =-；当23x <≤，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当34x <≤，则3222<≤x ，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当46x <≤，则232<≤x ，11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当68x <≤，则342<≤x ，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；依次类推，作出函数()f x 的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m ,n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m=，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故答案为：()2f x x =14.函数tan 1y x =-的定义域为____________.【答案】2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将sin 0x >和tan 1x >分别解出来，然后求交集即可【详解】要使tan 1y x =-sin 0x >且tan 1x >由sin 0x >得(),2,2k x k k Zπππ∈∈+由tan 1x >得,,42x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭因为()2,2,2,2,4242k k k k k k k Z πππππππππππ⎛⎫⎛⎫+⋂++=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以原函数的定义域为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭故答案为：2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【点睛】解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像15.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【答案】π8【解析】【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长 6πA BC B AC ===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC ====，分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S =⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯=.故答案为：π8.16.设函数2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根(1,2,3,4)i x i =，则22222341x x x x +++的取值范围是___________.【答案】4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到14234x x x x +=+=且12ln ln x x -=，求得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，化简22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】当24x <<时，()()4f x f x =-所以()f x 在()2,4与()0,2上的图像关于2x =对称.作出图象如下图所示，不防令1234x x x x <<<，可得14234x x x x +=+=且12ln ln x x -=所以121=x x ，14322211,4,4x x x x x x ==-=-所以()2422222222123222222221111442828x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++-+-=+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()21,2x ∈，令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则原式化为()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.因为其对称轴为2t =，开口向上，所以()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增所以()41202h t <<所以22222341x x x x +++的取值范围是4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数()f x 的图象，结合函数的图象有14322211,4,4x x x x x x ==-=-，化简22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知13|107x A x x -⎧⎫=->⎨⎬-⎩⎭，{}22440,0B x x x m m =-+-≤.（1）若m =3，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(]2,5；（2）[)5,+∞.【解析】【分析】（1）代入m ＝3求出集合B ，解出集合A 后可得A B ⋂.（2）根据A B B ⋃=可得A B ⊆，列出关于m 的不等式组，从而可求实数m 的取值范围.【详解】（1）若m ＝3，{}{}245015B x x x x x =--=-≤∣∣，()(){}()13102702,77x A x x x x x ⎧⎫-=-=-⋅-<=⎨⎬-⎩⎭，所以A ∩B ＝(2，5].（2）因为0m >，由题意得：{}22Bx m x m =-≤+∣，(){}()13102702,77x A x x x x x ⎧⎫-=-=-⋅-<=⎨⎬-⎩⎭，因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：22270m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得：5m ≥；所以实数m 的取值范围为[)5,+∞.【点睛】易错点睛：本题考查分式不等式的解、集合的并以及集合的包含关系，求分式不等式的解时，注意分母不为零，考虑集合的包含关系时，注意两个集合中的范围的端点是否可取.18.化简或计算下列各式：（1）()121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅.【答案】（1）-45（2）1【解析】【分析】（1）根据幂指运算，可得答案；（2）根据对数运算，可得答案.【小问1详解】原式()112323251050.37149145933-⎛⎫⎡⎤=-+-=-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭.【小问2详解】原式＝()()2666666312log log 3log 2log 2log -+⋅+()266666log log 2l 2og log g 2322lo ++⋅=()6666log 2log 3l 2og 212log ++=61log 126+==.19.已知()()()sin 2cos 23cos tan 2f ππαααπαπα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）若()12f α=，且()0,απ∈，求α的值；（2）若133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）3π（2）119【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代入条件可得答案；（2）根据已知可得1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3x πα=+，整体代入目标式化简计算即可.【小问1详解】由已知()sin sin cos sin tan f αααααα-⨯==-⨯，由题意()1cos ,0,2ααπ=∈，则3πα=；【小问2详解】由133πf α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3x πα=+，则1cos 3x =，()2222sin sin sin sin sin cos 362x x x x πππααπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211111cos cos 1.339x x ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭20.已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）210500350,040()400006200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）年产量为25万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是5900万元.【解析】【分析】（1）根据公式：年利润=年销售收入-年成本，分别求出040x <<和40x ≥时的年利润，然后再写成分段函数的形式；（2）分别求出040x <<和40x ≥时的最大值，再比较两者的大小，取较大者为年利润W 的最大值.【详解】（1）当040x <<时，2()60010(10)35010500350W x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，4000040000()60060165503506200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，210500350,040()400006200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）若040x <<，22()1050035010(25)5900W x x x x =-+-=--+，当25x =时，max ()5900W x =；若40x ≥，40000()620062005800W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当40000x x=，即200x =时，max ()5800W x =，∴年产量为25万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是5900万元.21.已知定义域为R 的函数2()21x x a f x -+=+是奇函数．（1）判断()f x 的单调性，并证明；（2）解关于x 的不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->．【答案】（1）()f x 在R 上是递减函数，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）利用奇函数性质求得1a =，再由单调性定义判断函数单调性即可；（2）根据函数奇偶性、单调性可得22log (1)log (1)x x +<--，再由对数函数性质求解集即可.【小问1详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()0f x f x -+=，即()()22222212()()21212121221x x x x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x --------⋅-+--+=+=+=+++++()(1)211021x x a a -+==-=+，解得1a =，所以()221212()1212121x x x x x f x -+-+===-+++，故()f x 在R 上是递减函数．证明：任取1x 、2R x ∈，且12x x <，()()()()()21121212222221122121121x x x x x x f x f x -=-++-=++++-，12022x x <<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 是定义在R 上的递减函数；【小问2详解】∵()()22log (1)log (1)0f x f x ++->，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的奇函数，∴()()22log (1)log (1)f x f x +>--，()f x 是R 上的减函数，∴22log (1)log (1)x x +<--，∴1011x x <+<-，解得1x <<，∴不等式()()22log (1)log (1)0f x f x ++->的解集为(．22.对于函数2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}(2,3]4,6⋃（2）24,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）原方程可转化为2(6)2820a a x a x a x⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②，分类讨论即可；（2）将()()12ln 2f x f x -≤转化为()()max min ln 2f x f x -≤，分别求最大值和最小值，再求a 范围.【小问1详解】方程()ln[(6)28]f x a x a =-+-恰有一个实根，转化为方程2ln ln[(6)28]a a x a x ⎛⎫+=-+-⎪⎝⎭恰有一个实根，所以2(6)2820a a x a x a x⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②，由①可得，()()26820a x a x -+--=，即[]()(6)210a x x --+=，当6a =时，方程有唯一解=1x -，满足②2260a x+=-+>，所以6a =符合条件；判别式()()()2228868164a a a a a ∆=-+-=-+=-，当4a =时，方程有两相等根216x a ==--，满足②2240a x+=-+>，所以4a =符合条件；当4a ≠且6a ≠时，方程有两不等根122,16x x a ==--，若126x a =-满足②12260a a x +=->，则3a >，若21x =-满足②2220a a x +=->，则2a >，所以当(2,3]a ∈时方程恰有一个实根；综上，实数a 的取值范围为{}(2,3]4,6⋃；【小问2详解】令2t a x =+，则2t a x=+在()0,∞+上为减函数，ln y t =在()0,∞+上为增函数，∴函数2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[,1]b b +上为减函数，当12,[,1]x x b b ∈+时，满足()()12ln 2f x f x -≤，则()()()()max min 22ln ln 1ln 21a f x f x f a b f b b b -=-+=≤+⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2122a a b b ⎛⎫+++ ⎝≤⎪⎭，即()2220ab a b ++-≥对任意的1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()222h b ab a b =++-，又0a >，所以函数()()222hb ab a b =++-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()min 12204164a a h b h +⎛⎫==+-≥⎪⎝⎭，∴245a ≥.。

2022-2023学年河北省高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 不等式x2>8的解集是( )A. (−2√2,2√2)B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)C. (−4√2,4√2)D. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)2. 函数f(x)=e x+lnx，g(x)=e−x+lnx，g(x)=e−x−lnx的零点分别是a，b，c，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3. 考察函数：①y=|x|②y=|x|x ③y=−x2|x|④y=x+x|x|，其中(0,+∞)在上为增函数的有( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 函数f(x)=log a(x2−4x−5)(a>1)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (5,+∞)5. 若命题“∀x∈R，kx2−kx−1<0”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. (−∞,−4]∪(0，+∞)D. (−∞,−4)∪[0，+∞)6. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(−2,2)内有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

高一（上）12月月考数学试卷一．选择题：1.已知，集合，，则A. B. C. D.2.有个命题：三点确定一个平面．梯形一定是平面图形．平行于同一条直线的两直线平行．垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.3.函数的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是（）A. B.C.与相交D.以上都有可能5.如图的正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.6.已知、为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①④D.②③7.若函数，则函数的定义域为（）A. B. C. D.8.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足：对任意的，，有，则（）A. B.C. D.10.一长方体的长，宽，高分别为，，，则该长方体的外接球的体积是（）A. B.C. D.11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.12.已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于，．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（）A. B. C. D.二．填空题：13.函数的值域是________．14.一个圆锥的底面半径是，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为________．15.函数的零点个数是________．16.所在的平面，是的直径，是上的一点，，分别是点在，上的射影，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 平面．其中正确命题的序号是________．三．解答题17.17.. . ．18.如图为一个几何体的三视图画出该几何体的直观．求该几何体的体积．求该几何体的表面积．19.如图，在正方体中．如图求与平面所成的角如图求证：平面．20.是定义在上的偶函数，当时，；当时，．当时，求满足方程的的值．求在上的值域．21.已知定义域为的函数是奇函数求，的值．判断的单调性，并用定义证明若存在，使成立，求的取值范围．22.已知函数，．求的最小值；关于的方程有解，求实数的取值范围．答案1. 【答案】A【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵或，∴ ，则，故选：2. 【答案】C【解析】由公理三及其推论能判断、的正误，由平行公理能判断的正误，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，由此能判断的正误．【解答】解：不共线的三点确定一个平面，故错误；∵梯形中有一组对边互相平行，∴梯形一定是平面图形，故正确；由平行公理得平行于同一条直线的两直线平行，故正确；垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故错误．故选：．3. 【答案】A【解析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：，即由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，考察四个选项，只有选项符合题意，故选．4. 【答案】D【解析】以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在正方体中，，平面，平面；，平面，平面；，平面，与平面相交．∴直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是或或与相交．故选：．5. 【答案】C【解析】连接，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得即为异面直线与所成的角，连接后，解三角形即可得到异面直线与所成的角．【解答】解：连接，由正方体的几何特征可得：，则即为异面直线与所成的角，连接，易得：故故选6. 【答案】D【解析】，，则或与是异面直线；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，故，；若，，则；，，则，或，相交，或，异面．【解答】解：，，则或与是异面直线，故①不正确；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，∴ ，故．故②正确；若，，则．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；，，则，或，相交，或，异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．7. 【答案】B【解析】要使函数有意义，则有，解不等式组即可得.到答案．【解答】解：要使函数有意义，则，.解得：．∴函数的定义域为：．故选：．8. 【答案】B【解析】先根据是定义在上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．【解答】解：∵ 是定义在上的奇函数，∴ ，又∵当时，，∴ ，∴ ．故答案是．9. 【答案】D【解析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的，，有，则函数满足在上单调递减，则，故选：．10. 【答案】C【解析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：，外接球的半径为：外接球的体积．故选：．11. 【答案】C【解析】可得，，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵，∴ ，，满足，∴ 在区间内必有零点，故选：12. 【答案】C【解析】由题意设，，，各点的横坐标分别为，，，，依题意可求得为，，，的值，，，下面利用基本不等式可求最小值【解答】解：设，，，各点的横坐标分别为，，，，则，；，；∴ ，，，．∴ ，，∴又，∴，当且仅当时取“ ”号，∴，∴的最小值为．故选：．13. 【答案】【解析】根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．【解答】解：，∴，∵，∴，即函数的值域为．故答案为：．14. 【答案】【解析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，∵圆锥的侧面展开图是一个四分之一圆面，∴，∴ ，又∵小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，如下图所示：故最小距离为：，故答案为：．15. 【答案】【解析】分段讨论，当时，解得，即在上有个零点，当时，在同一坐标系中，作出与，根据图象，易知有个交点，即可求出零点的个数．【解答】解：当时，，解得，即在上有个零点，当时，，即，分别画出与的图象，如图所示：由图象可知道函数，与函有个交点，函数的零点有个，综上所述，的零点有个，故答案为：．16. 【答案】①②③【解析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设面，而面，则，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵ 所在的平面，所在的平面∴ ，而，∴ 面，又∵ 面，∴ ，而，∴ 面，而面，∴ ，故③正确；而面，∴ ，而，∴ 面，而面，面∴ ，，故①②正确，∵ 面，假设面∴ ，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．17. 【答案】（本题满分分）解：原式．; 原式．【解析】直接利用对数运算法则化简求解即可．; 利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分分）解：原式．; 原式．18. 【答案】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．【解析】由几何体的三视图能作出几何体的直观图为一个三棱椎．; 先求出，由此能求出该几何体的体积．; 该几何体的表面积，由此能求出结果．【解答】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．19. 【答案】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．【解析】连接交于点，连接，则，，从而平面，是与平面所成的角，由此能求出与平面所成的角．; 连接交于点，连结，则，由此能证明平面．【解答】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．20. 【答案】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．【解析】当时，利用函数奇偶性的对称性求出函数的表达式，解对数方程即可求满足方程的的值．; 讨论的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求在上的值域．【解答】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．21. 【答案】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴【解析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．; 利用函数单调性的定义进行证明即可．; 根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴22. 【答案】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．【解析】先把函数化简为的形式，令，则可看作关于的二次函数，并根据的范围求出的范围，再利用二次函数求最值的方法求出的最小值．; 关于的方程有解，即方程在上有解，而把与分离，得到，则只需求出的范围，即可求出的范围，再借助型的函数的单调性求范围即可．【解答】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．。

2023-2024学年陕西师大附中高一数学上学期12月考试卷（试卷总分150分时间：120分钟）一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =++=,{}lg 1B x x =<,则集合()RA B = ð()A ．()0,10B ．∅C ．[)0,10D ．(]0,12．在下列各选项中，角α为第二象限角的充要条件是（）A ．sin 0,cos 0αα<>B ．sin 0,tan 0αα>>C ．cos 0,tan 0αα<>D ．sin 0,cos 0αα><3．下面各组函数中为相同函数的是（）A ．()f x 与()1g x x =-B．()f x =()g x =C ．()lnexf x =与()ln exg x =D ．()0f x x=与()01g x x =4．若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y +的最大值为（）A ．25B ．16C ．37D ．195．若21log 5m =，则255m m -+的值为（）A ．103B ．92C ．245D ．2656．在ABC 中，下列关系正确的是（）A ．()cos cos ABC +=B ．()sin sin A B C +=C ．sin sin 22A B C +⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭7．若函数()()2ln 2f x x ax a =--在(),2-∞-上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．4,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞-8．已知1011,1112,910m m ma b ==-=-则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.全对得4分，少选得2分，多选、错选不得分.9．已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线7π12x =对称C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 的单调递减区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10．下列命题是真命题的是（）A ．若a b <，则1>a b B ．若非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则ac bc <C ．若22log log a b>，则22a b>D ．若12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则54210a b ≤-≤11．已知函数()e 2x f x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列选项中成立的是（）A ．2a b +=B ．e ln 2ab +=C ．()f x 与()g x 的图象关于y x =对称D ．1ab <12．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k ⎡⎤=++=∈⎣⎦R ，则下列命题中正确的是（）A ．当1k =时，{}6M =B ．当1k >时，M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a bc d +++=三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知方程lg 3x x =-的根在区间()2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为．14．设函数()()222sin 4x xf x x -+=+的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=.15．已知幂函数()()212223a a f x a x+-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3x h x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.16．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.65g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.59g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r满足函数模型()0.250105n p n r r r r +=+-⋅（R p ∈，*N n ∈），其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg 20.301≈）次.四、解答题：本题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：(1)13131142422223234a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（0a >）；(2)231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯；(3)()()()sin 1071sin 99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒.18．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠.(1)求tan α的值；(2)求()sin 12sin cos sin cos ααααα++的值.19．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设AD 的长度是l ， BC 的长度是l '，几何图形ABCD 的面积为S ，扇形BOC 的面积为S '，已知2l l '=，BOC α∠=.(1)求S S '；(2)若几何图形ABCD 的周长为4，则当α为多少时，S 最大？20．已知函数()()22241sin 4sin cos f a θθθθ=-+-（R θ∈）有零点，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln a f x x b x =-+（其中2a >），且()1e 1f =+，()e 2ln 212f =-+.(1)求a ，b 的值；(2)求()f x 的单调区间；(3)若正实数1x ，2x 满足12x x <，121=x x ，求证：()()12f x f x >.1．A【解析】化简集合,A B ,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.【详解】{}2230A x x x =++==∅∴R A R=ð{}{}lg 1010B x x x x =<=<<∴(){}010RA B x x ⋂=<<ð故选:A.【点睛】本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于基础题.2．D【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中α所在象限，由此可判断出结果.【详解】对于A ：sin 0α<时，α为第三象限或y 轴负半轴或第四象限角，cos 0α>，α为第一象限或x 轴正半轴或第四象限角，故α为第四象限角，故A 错误；对于B ：sin 0α>时，α为第一象限或y 轴正半轴或第二象限角，tan 0α>，α为第一象限或第三象限角，故α为第一象限角，故B 错误；对于C ：cos 0α<时，α为第二象限或x 轴负半轴或第三象限角，tan 0α>，α为第一象限或第三象限角，故α为第三象限角，故C 错误；对于D ：sin 0α>时，α为第一象限或y 轴正半轴或第二象限角，cos 0α<时，α为第二象限或x 轴负半轴或第三象限角，故α为第二象限角，故D 正确；故选：D.3．D【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，()1f x x =-与()g x 对应关系不同，故排除选项A ；选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ．故选D ．4．D【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x >>+-=∴+= ()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.5．B【分析】先由换底公式将m 表示为5log 2，再将m 代入255m m-+计算即可.【详解】由题知21log 5m =，521log 2log 5m ∴==，55lo o 2g 4l g 292552111554552m m m m -∴==+++=+=.故选：B.6．B【分析】三角形的内角和为π，结合诱导公式直接判断.【详解】在ABC 中，有πA B C ++=，故：πC A B +=-和πC222A B +=-.所以：()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以B 正确.故选：B 7．C【分析】结合对数型函数单调性将问题转化为220t x ax a =-->在(,2)-∞-上恒成立，且22t x ax a =--在(,2)-∞-上单调递减即可.【详解】令22t x ax a =--，则ln y t =，由题意可知，220t x ax a =-->在(,2)-∞-上恒成立，且22t x ax a =--在(,2)-∞-上单调递减，所以2 44403a a a a ≥-⎧⇒≥-⎨+-≥⎩.故选：C.8．A【分析】根据指对互化可得lg11lg10m =，再利用基本不等式与换底公式可得11log 12m >与9log 10m <，从而利用指数函数的单调性即可得解．【详解】因为1011m=，所以lg11lg11lg10m ==，因为()2222lg10lg12lg120lg121lg10lg12lg11222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以lg11lg12lg10lg11>，则11log 12m >，所以11log 12111211120ma =->-=；因为()2222lg 9lg11lg 99lg100lg 9lg11lg10222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以lg11lg10lg10lg 9<，则9log 10m <，所以9log 109100910mb <=--=；综上，0a b >>.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握()()1log log 12n n n n n ->+>，从而得到11log 12m >与9log 10m <，由此得解.9．AD【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A ；代入验证函数值可判断B ；求出π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式即可判断其奇偶性，判断C ；结合正弦函数的单调区间求出()f x 的单调减区间即可判断D.【详解】对于A ，由三角函数的性质，可得()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以A 正确；对于B ，当7π12x =时，可得7π7π2π11πsin 2sin 1121236f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线7π12x =对称，所以B 错误；对于C ，由ππ2π4πsin 2sin 23333f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，所以C 错误；对于D ，令2π3π2π22π2π32k x k +≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，即函数的递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以D 正确．故选：AD10．BCD【分析】举反例可否定A ；根据条件先判断c 的符号，然后可判断B ；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C ；利用()()423a b a b a b -=-++关系，由不等式性质可判断D.【详解】A 选项：当0,0a b <>时，显然1a b <，A 错误；B 选项：若非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则有0c >，所以ac bc <，B 正确；C 选项：若22log log a b>，则0a b >>，所以22a b >，C 正确；D 选项：设()()42a b x a b y a b -=-++，则42x y x y +=⎧⎨-+=-⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，因为12a b ≤-≤，所以()336a b ≤-≤，又24a b ≤+≤，所以()()5310a b a b ≤-++≤，即54210a b ≤-≤，D 正确.故选：BCD11．ABD【分析】由函数e xy =与ln y x =互为反函数，根据2y x =-与y x =垂直与反函数的性质结合对称性可得.【详解】由()0f x =，()0g x =得e 2xx =-，ln 2x x =-，即可得e 2,ln 2a a b b =-=-，即有()e ln 4a b a b +=-+，()01f =-，而()1,0-不在()g x 的图象上，故()f x 的图象与()g x 的图象不关于y x =对称.因为函数e x y =与ln y x =互为反函数，关于y x =对称，又因2y x =-与y x =垂直，在同一坐标系中分别作出函数e xy =，ln y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),e a A a ，(),ln B b b ，由反函数性质知,A B 关于()1,1对称，则2a b +=，e ln 2ab +=，()214a b ab +<=故选：ABD12．ABD【分析】当1k =时，求出方程()()2210f x f x ++=⎡⎤⎣⎦的解，可判断A 选项；当1k >时，由Δ0<可判断B 选项；令()u f x =，()22g u u u k=++，利用二次函数的零点分布求出k 的取值范围，可判断C 选项；利用图象的对称性结合指数的运算可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1k =时，由()()2210f x f x ++=⎡⎤⎣⎦可得()1f x =-，又因为()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当0x ≤时，()210x f x =-≥，此时，方程()1f x =-无解，当0x >时，由()51f x x =-+=-，解得6x =，即{}6M =，A 对；对于B 选项，令()u f x =，由()()220f x f x k ++=可得220u u k ++=，当1k >时，对于关于u 的方程220u u k ++=，440k ∆=-<，故方程()()220f x f x k ++=无解，即M =∅，B 对；对于C 选项，作出函数()f x的图象如下图所示：令()()22y f x f x k=++，令()u f x =，()22g u u u k=++，则二次函数()g u 的图象开口向上，对称轴为直线1u =-，若{},,M a b c =，对于函数()g u ，函数()g u 必有两个不等的零点，设函数()g u 的两个不等的零点分别为1u 、2u ，且12u u <，则Δ440k =->，即1k <，由韦达定理可得122u u +=-，则11u <-，有以下几种情况：①1200u u <⎧⎨=⎩，则()00g k ==，可得()22g u u u=+，令()0g u =，可得12u =-，20u =，合乎题意；②12013u u <⎧⎨≤<⎩，则()()()001303150g k g k g k ⎧=<⎪=+≤⎨⎪=+>⎩，解得153k -<≤-；综上所述，当{},,M a b c =时，实数k 的取值范围是(]{}15,30-- ，C 错；对于D 选项，若{},,,M a b c d =，因为11u <-，则方程()1f x u =只有一根，则方程()2f x u =必有三个不相等的实根，结合图象可知，15u d =-，221215a b u c=-=-=-，且有0a b <<，所以，1221a b -=-，可得222a b+=，由122u u +=-可得552d c -+-=-，可得12c d +=，因此，2214a bc d +++=，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.13．()2.5,3【分析】由题意构造函数()lg 3f x x x=-+，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令()lg 3f x x x=-+，其在定义域上单调递增，且()2lg 210f =-<，()3lg30f =>，()2.5lg 2.50.50f =-=<，由f （2.5）f （3）＜0知根所在区间为()2.5,3．故答案为：()2.5,3．14．2【分析】将()f x 化成24sin ()14x x f x x -+=++，令24sin ()4x xg x x -+=+，结合奇函数的性质求解即可.【详解】因为22222(2)sin 44sin 4sin ()1444x x x x x x xf x x x x -++-+-+===++++，定义域为R ，令24sin ()4x xg x x -+=+，则()()1f x g x =+，又24sin ()()4x xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min max min ()()()1()12a b f x f x g x g x +=+=+++=.故答案为：2.15．268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数()f x 为幂函数及其单调性可求得a 的值，求出函数()f x 在[]1,3上的值域，以及函数()h x 在[]1,2上的值域，根据已知条件可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为函数()()212223a a f x a x +-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.16．11【分析】由0 2.65r =，1 2.59r =求出0.250.252.650.065(R,N )n n r p n -*=-⨯∈∈，解0.25n r ≤即可.【详解】因为0.25010()5(R,N )n p n r r r r p n +*=+-⋅∈∈，0 2.65r =，1 2.59r =，所以0.252.59 2.65(2.59 2.65)5p +=+-⋅，解得0.25p =-，所以0.250.252.650.065(R,N )n n r p n -*=-⨯∈∈，由题意知，0.25n r ≤，即0.250.252.650.0650.25n --⨯≤，即0.250.25405n -≥，解得55log 400.25lg 4012lg 24log 40141410.25lg51lg 2n ++≥=+=⨯+=⨯+-，又lg 20.301≈，N n *∈，所以11n ≥，N n *∈，所以要使该企业排放的污水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次.故答案为：11.17．(1)23-(2)12-(3)0【分析】（1）运用指数幂公式计算即可.（2）运用对数公式计算即可.（3）运用三角函数诱导公式化简即可.【详解】（1）原式131112242222(2)(3)444274423a a a a =--+=--+=-.（2）原式123111112lg5lg 2lg102log 3log 2lg(52)21222222-=⨯+--⨯=⨯+-=+-=-.（3）原式sin(10713360)sin99sin(9180)sin(261360)sin9sin99sin9sin990︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=-+⨯+--+=-=18．(1)43(2)2825【分析】（1）运用三角函数定义计算即可.（2）由完全平方公式化简，结合齐次式求值即可.【详解】（1）因为0a ≠，所以44tan 33a a α==.（2）原式222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan sin (sin cos )sin cos sin cos tan 1αααααααααααααααα+++==+==+++2244()2833425()13+==+.19．(1)3(2)23【分析】（1）通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，再利用扇形面积公式即可求解；（2）由题意得234OB l '+=，32S l OB '=⋅，然后利用基本不等式求最值即得.【详解】（1）由BOC α∠=，则l OA α=⋅，l OB α'=⋅，所以2l O l OA OA B OB αα==⋅'=⋅，即2OA OB =，2l l '=，111122222231122l OA l OB l OB l OB S S l OB l OB '''⋅-⋅⋅⋅-⋅==='''⋅⋅.（2）由（1）知，AB CD OB ==，几何图形ABCD 的周长为234AB l l CD OB l ''+++=+=，()()1111312232222224S l OA l OB l OB l OB l OB l OB '''''=⋅-⋅=⋅⋅-⋅=⋅=⋅⋅221231414242OB l '+⎛⎫⎛⎫≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32l OB l OB α=⎧⎨=⋅''⎩，即23α=时，S 最大值为1.20．1[,)6-+∞【分析】化简()f θ，结合换元法令sin t θ=，将问题转化为[1,1]t ∃∈-224410at t +-=成立，运用分离参数转化为求21()(2)4h t t =--，[1,0)(0,1]t ∈-⋃上的值域即可.【详解】因为2222()(241)sin 4sin cos (241)sin 4sin (1sin )f a a θθθθθθθ=-+-=-+--224sin 4sin 1a θθ=+-，所以()0f θ=有解，即224sin 4sin 10a θθ+-=有解，令sin t θ=，则11t -≤≤，所以[1,1]t ∃∈-，使得224410at t +-=成立，当0=t 时，224410at t +-=不成立，所以0=t 不是方程224410at t +-=的根；所以[1,0)(0,1]t ∃∈- ，使得2221414124()(2)4t a t t t t -==-=--成立，设21()(2)4h t t =--，[1,0)(0,1]t ∈-⋃，令1m t =，则2(2)4y m =--，（(,1][1,)m ∈-∞-+∞ ），又2(2)4y m =--在(,1]-∞-上单调递减，在[1,2)上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，当2m =时，4y =-，所以4y ≥-，即244a ≥-，解得16a ≥-.故答案为1[,)6-+∞.21．(1)e a =，1b =(2)()f x 单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,)+∞(3)证明见解析【分析】（1）由2a >可得2ln 2a >，解方程组(1)e 1 e (2)ln 212f f =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩即可.（2）令e()ln g x x x =-，结合复合函数单调性可得()g x 在(0,)+∞上单调递增且(e)0g =，进而可求得()f x 的单调区间.（3）由已知得121x x =，21x >，代入函数()f x 比较即可.【详解】（1）因为2a >，所以2ln 2a >，所以(1)e 1 e (2)ln 2ln 2ln 21222f a b a b a a f b b ⎧=+=+=+⎪⎨=-+=-+=-+⎪⎩，解得e1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知，e ()|ln |1f x x x =-+，定义域为(0,)+∞，令e()ln g x x x =-，(0,)+∞，因为ln y x =与e y x =-在(0,)+∞上单调递增，所以e()ln g x x x =-在(0,)+∞上单调递增，又e(e)ln e 0e g =-=，所以当e x >时，()(e)0g x g >=，则e e ()|ln |1ln 1f x x x x x =-+=-+单调递增，当0e x <<时，()(e)0g x g <=，则e e ()|ln |1ln 1f x x x x x =-+=-++单调递减，所以()f x 单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,)+∞.（3）证明：因为210x x >>，121=x x ，所以121xx =，21x >，所以222e ()|ln |1f x x x =-+，12222211()()|ln e |1ln +e+1f xf xx x x x ==-+=，又当21x >时，222222ee ln +e>ln +|ln |x x x x x x >-，所以12()()f x f x >，故原命题得证.。

四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期12
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题A ．[]1,3-B ．3．下列与函数y x =是同一个函数的是（A ．2
x y x
=
B ．4．已知sin 0θ<，tan 0θ<A ．第一象限
B ．第二象限
5．已知p ：12x ->，q ：（
）A ．3
m <B ．6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常
用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数
．已知函数()2f x +是偶函数，当时，()()12f x f x -⎡⎤⎣⎦()1a f =，52b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，b c 、的大小关系为（
c b a
<<B ．b <<<c a b
D 中国的5G 技术世界领先，
A ．()f x 在()0,2上单调递增
B ．()f x 在()0,2上单调递减
C ．()f x 存在最大值
D ．()f x 图象关于1x =对称
三、单空题
四、填空题
五、计算题
六、问答题
(1)试求()p f t =的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
22．已知函数()4x f x m =+(1)若3m =-，解关于x 的不等式(2)若函数()()y f x f x =+-。

1建平中学2026届第一学期高一年级12月数学月考2023.12一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合{}{}21,0,1,2,1,,A B x x x =−=−，且B A ⊆，则x =______． 2．已知一个扇形的圆心角大小为3π，弧长为23π，则其面积为______． 3．已知幂函数()()212222m m f x mm x+=−−在[)0,+∞上是增函数，则m =______．4．已知角α的终边经过点()1,0P −，则角α的余弦值为______． 5．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}22320,A x xx Bx xx =−+===，则A B = ______． 6．若函数()f x =+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为______．7．定义在()1,2−上的函数()y lg x a =+不存在反函数，则实数a 的取值范围是______． 8．若"23""2"x x a −<<−<<是的充分不必要条件，则a 的取值范围是______． 9．如果关于x 的一元三次方程3232100a x a x a x a +++=（,0,1,2,3i a R i ∈=且30a ≠）有三个实数根123,,x x x ，则12233112x x x x x x x x +++=______（用0123,,,a a a a 表示）10．已知定义在R 上的函数()2224x x x f a x e ae −−=，其中0a >，如果函数()f x 与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围是______．11．已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______． 12．已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．用反证法证明命题“设,a b N ∈，如果ab 能被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整2除”，假设应该是（ ） A ．,a b 都能被5整除 B ．,a b 至多有一个能被5整除 C ．a 或b 不能被5整除D ．,a b 都不能被5整除14．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于2π的角一定是锐角，②钝角一定是第二象限的角，③第一象限的角一定不是负角，④第二象限角一定大于第一象限角，其中假命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个15．已知函数()2,,x x f x x x =为无理数为有理数，有下列两个命题： ①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题16．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17．（8分）求下列关于x 的方程的解集． （1）()31lgx lg x ++=；（2）()()2295134x x log log +=++．318．（10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈−∞时，()x f x e −=． （1）求证：()f x 在定义域内是严格减函数：（2）若()()2610f tx f tx +−−≥对[]1,4x ∈恒成立，求实数t 的取值范围．19．（10分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()110P x x =+，日销售量．．．．()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示： x10 15 20 25 30 ()Q x5055605550（1）给出以下四个函数模型：①()Q x ax b =+；②()Q x a x m b =−+；③()Q x a bx =−；④()b Q x a log x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域．．．； （2）设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），求()f x 的最小值．420．（12分）已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．521．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L 型函数的L 常数．（1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数； （2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()yf x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．6参考答案一、填空题 1.1−； 2.23π； 3. 1−； 4. 1−； 5.{}1； 6.1a >； 7. 12a −<<； 8.()3,+∞； 9.103a a a −； 10.1,2 +∞；11. {[]211,−−∪−； 12.；5443,11. 已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ++−>= −+≤ 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为______．{[]211,−−∪−（1）若0…a −,即0…a 时,()21,0121,1,2,0……a x f x x a x x ax x +< =+−> −+()f x ∴在(]0,−∞上单调递减,最小值为()02f =,在()0,+∞上最小值为1a +,故只需21…a +即可,解得01剟a ;(2)若01…a <−,即10…a −<时,则()221,01,121,12,0………x a x aa a x f x x a x x ax x −−+<− +−<<=+− −+ ()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,在()0,+∞上最小值为1a +, 故只需2214…a a −+即可,解得22a −−−+又10,10剟a a −<∴−<, (3)若1a −>,即1a <−时,()221,011,1,21,2,0………x a x a x a f x x a x a x ax x −−+< −−<<−= +−− −+()f x ∴在(]0,−∞上先减后增,最小值为2224a a f=−,()f x 在()0,+∞上的最小值为10a −−>7而()f x 的最小值为10a +<,故只需令2214a a −=+即可,解得2a =−−2a =−+舍),综上,a的取值范围是{[]211,−−∪−.故答案为:{[]211,−−∪−.12. 已知函数()()2,f x x g x ax x ==−，其中0a >，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则实数a 的取值范围是______．5443,依题意,()()()()1212f x f x g x g x =,可等价于()()()()1212f x g x g x f x =，令()()221,11x ax xh x m x ax ax x ax x −====−−−则问题等价于对任意的[]113x ,∈,总存在[]214x ,∈,使得()()1h x m x =成立,其中0a >, 所以()h x 的值域是()m x 的值域的子集,又当[]0,1,3a x >∈时,()[]()110131311h x ,a ,a a a ∈∉−− −−当[]0,1,4a x >∈时,()[]141m x a ,a ∈−−,所以11311411a a a a ≥− − ≤− −(1),依题意可知,1a −与31a −同号,当1a >时,解(1)式可得,5443a ,∈;当103a <<时,此时(1)式无解.综上,5443a , ∈ ;故答案为:5443,.二、选择题13.D ； 14.A ； 15. D ； 16. B 15. 已知函数()2,,x x f x x x = 为无理数为有理数，有下列两个命题：8①()f x 的值域为R ；②对任意正有理数a ，函数()()g x f x a =−存在奇数个零点；则下列判断正确的是（ ） A ．①②均为真命题B ．①②均为假命题C ．①为真命题②为假命题D ．①为假命题②为真命题D由于()f x 的值域为R ,故(1)为假命题;当0…a 时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程无解,所以()g x 没有零点;当0a >时,()()0g x f x a =−=,即()f x a =,此时方程有2个解,即()g x 有2个零点,故(2)为假命题.16. 已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(),a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个B若不等式()2…f x 在[]1,5x ∈上恒成立,则必须满足()()()()()()212212,1232,2932,2,25222552,3f a b f a b f a b −≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤−≤≤−≤++≤ 即由()()212,12932,2a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ ,两式相加,得482462,剟剟a a −+⇒−−(4), 再由()()5232932,2252,a b a b −≤−−−≤ −≤++≤ 两式相加,得41624106剟剟a a −+⇒−−(5), 结合(4),(5)两式可知,6a =−,代入不等式得()()()252,292,25213,2b b b −≤−+≤−≤−+≤−≤−+≤ 解得7b =,经检验,当6,7a b =−=时,()()226732f x x x x −+−−,9则()()()()()152,32max min f x f f f x f =====−满足()2…f x 在[]15x ,∈上恒成立,综上,满足要求的有序数对()a,b 为()67,−,共一个. 故选:B . 三、解答题17.（1）2x = （2）1x =18.（1）证明略 （2）13t ≥19.（1）()2060Q x x =−−+ （2）441 20. 已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∈−∞= +∈−（1）写出()f x 的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明）： （2）解不等式()20ff x +<；（3）若()12,,2x x ∈−∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．见解析（1）递增区间(],1−∞；递减区间[)1,2和[)2,+∞；(2) 由题意210,11厔?x x −−, ①[]10x ,∈−,不等式()20f f x +<,即22120x x −−<,解得x <x >,所以1x , ∈−− ; ②(]01x ,∈,不等式()20ff x +<,即22120x x −+<,解得x ∈∅;综上,1x , ∈−− ;10(3)证明:函数()(](),123,122x x x ,f x x ,x ∈−∞= +∈ −的大致图象如图, 当(]1x ,∈−∞时,函数单调递增,当()12x ,∈时,函数单调递减,所以若()12,2x x ,∈−∞满足()()12f x f x =,则1212x x <<<,由图象知, ①若10…x ,则显然122x x +<;②若10x >,要证明122x x +<,则要证212x x <−,注意到21,21x x −>,且()f x 在()12,递减,则可证明()()212f x f x >−, 因为()()12f x f x =,则可证明()()112f x f x >−, 构造函数()()()2F x f x f x −−,()01x ,∈,则()223F x x x=−−,任取12,x x ,使1201x x <<<,则 ()()()()()()()2112121212121212121222222,2x x F x F x x x x x x x x x x x x x x x x x −−=+−−=+−+=−+−1201x x <<<因为所以12120,02x x x x −<<+<()121212222,0x x x x x x >+−< 所以()()12121220,x x x x x x−+−<即()()()()12120,F x F x F x F x −<<所以()F x 在()0,1上单调递减,又因为()()()1110,F f f =−=所以当()01x ,∈时,()()10F x F >=, 即()()2f x f x >−,所以()()212f x f x >−,从而122x x +<,得证.21．（12分）设函数()f x 定义域为D ，如果存在常数K 满足：任取12,x x D ∈，都有()()1212f x f x K x x −≤−，则称()f x 是L 型函数，K 是这个L型函数的L 常数．11 （1）判断函数()[]2,1,2f x x x =∈−是不是L 型函数，并说明理由；如果是，给出一个L 常数；（2）设函数()y f x =是定义在区间[],m n 上的L 型函数，a 是一个常数，求证：函数()y f x a =+也是L 型函数；（3）设函数()f x 是定义在[]0,1上的L 型函数，其L 常数(]0,1K ∈，且()f x 的值域也是[]0,1，求()f x 的解析式．（1）是，4K ≥；（2）见解析；（3）(),01f x x x =≤≤或()1,01f x x x =−≤≤；（1）定义域内任取12,x x ，221212x x K x x −≤−。

河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设12,x x 是常数，()()12()2017f x x x x x =---，34,x x 是()f x 的零点.若1234,x x x x <<，则下列不等式，正确的是（）A ．1324x x x x <<<B ．1234x x x x <<<C ．3124x x x x <<<D ．1342x x x x <<<2．如图所示的曲线是对数函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d ，1的大小关系为（）A ．b >a >1>c >dB ．a >b >1>c >dC ．b >a >1>d >cD ．a >b >1>d >c3．设不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)，则不等式20cx bx a ++>的解集为（）A ．(2,3)B ．(3,2)--C ．11(,)32D ．11(,23--4．设1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，用二分法求方程1102xx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭在(1,3)内近似解的过程中，(1)0f >，(1.5)0f <，(2)0f <，(3)0f <，则方程的根落在区间（）．A ．(2,3)B ．(1.5,2)C ．(1,1.5)D ．(1.5,3)5．设方程340x x +-=的根为α，方程3log 40x x +-=的根为β，则33log αβ+的值为（）A ．4B ．2C ．0D ．4-6．下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β8．已知函数()2121x x f x -=+，且()()0f a f b +<，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<二、多选题9．已知0,0a b >>且1,1a b ≠≠，若log 1a b >，则下列不等式可能正确的是（）A ．()()10b b a -->B ．()()10a a b ---<C ．()()110a b --<D ．()()10-->a b a 10．下列选项正确的是（）A ．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数()πcos 2xf x =的周期为4πC ．若sin cos 2x x +=，则441sin cos 8x x +=，D ．若函数()()2lg 2f x ax x =++的值域为，则实数a 的取值范围是10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、单选题11．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．四、填空题12．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80m g 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.8mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他大约经过小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：lg20.301≈）13．已知函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a的取值范围是.14．对于函数()f x 定义域中的任意1212,()x x x x ≠，有如下结论：①1212()()();f x x f x f x +=+②1212()()();f x x f x f x +=⋅③1212()()();f x x f x f x ⋅=+④()()12120;f x f x x x ->-⑤()()1212+.22f x f x x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭当()ln f x x =，上述结论中正确结论的序号是．五、解答题15．（1）已知102,103m n ==，求32210m n-的值；（2）已知()()sin π2cos 2π2πsin sin 2k θθθθ--+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求33sin cos 2sin cos θθθθ++的值.16．已知函数()124lg 3x xa f x ++⋅=在(),1-∞上有意义，(1)求()21122xxg x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭(](,1)x ∞∈-的最大值.(2)求实数a 的取值范围.17．（1）用函数单调性定义证明5()f x x x=+在(]0,1上单调递减.（2）已知正数,a b 满足2a b +=，求11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值.18．设函数()f x 定义在上，对于任意实数m n ､，恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.(1)猜想并写出满足已知条件的一个具体函数解析式；(2)求证：()01f =，且当0x <时，()1f x >；(3)求证：()f x 在上单调递减.19．已知函数()11ln x f x x x -=-+．(1)求值：()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：(3)求证()f x 有且仅有两个零点12x x 、并求21x x 的值．。

上海市浦东新区进才中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值()g a ；（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数()g a 在每段上的最大值从而得出()g a 的最大值．【详解】（1）由题意可得：()()[]222222,1,1f x x ax x a a x =-+=-+-Î-，当1a ³时，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，最小值()()132g a f a ==-；当11a -<<时，()f x 在区间[]1,a -上单调递减，在区间(],1a 上单调递增，最小值()()22g a f a a ==-；当1a £-时，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，最小值()()132g a f a =-=+；综上所述：()232,12,1132,1a a g a a a a a -³ìï=--<<íï+£-î.（2）由（1）可知：当1a ³时，()32g a a =-在[)1,+¥单调递减，所以()g a 的最大值为()11g =；当11a -<<时，()22g a a =-在区间()1,0-上单调递增，在区间[)0,1上单调递减，所以()g a 的最大值为()02g =；当1a £-时，()32g a a =+在(],1-¥-单调递增，所以()g a 的最大值为()11g -=；综上所述：()g a 的最大值()02g =.18．（1）a ＝－1；（2）函数f (x )在定义域R 上单调递增，详见解析答案第161页，共22页。

广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}128xA x =<<，()(){}120B x x x =+-<，则A B = （）A ．()1,3-B ．()0,2C ．()1,2D ．()1,8-2．若x ，y ∈R ，则“220x y ->”是“()ln 0x y ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知幂函数2()(32)m f x m m x =-是定义域上的奇函数，则m =（）A ．13-B ．1C ．23D ．13-或14．函数()33x y x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．设43e a -=，ln 3b =，231log 3c -+=，则（）A ．c a b <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．a b c<<6．已知函数2()234x x f x +-⨯=，若20x x +≤，则()f x 的最大值和最小值分别是（）A ．2,03B ．4,13C ．45,34D ．3，17．若函数()()2222422x x x xf x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2f x x ax b =++，若关于x 的不等式()1f x <的解集为(),2m m +，则函数()f x 的值域为（）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞9．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞10．已知()()2,12,1x a x x f x x a x b x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，存在实数(0a >且)1a ≠，对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，则实数b 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)4,+∞C ．(]0,4D ．[]0,4二、多选题11．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>12．下列函数中，在区间(),2-∞上单调递减的是（）A ．()2f x x =-B ．()12g x x =--C ．()2ex h x -=D ．()()ln 2x x ϕ=-13．已知函数()xf x a b =-（0a >，且1a ≠）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A ．1a >B ．1b >C ．21b a -<D ．()xg x b a =-的图象不经过第四象限14．下列说法正确的是（）A ．方程()()222log 21log 2x x +=-的解集为{}1,3-B ．不等式14280x x +--<的解集为(),2-∞C ．已知正数x ，y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为9D ．224ln 3ln 1x x +≥+三、填空题15．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2x f x =，那么41log 9f ⎛⎫=⎪⎝⎭.16．若25a b m ==，且112a b+=，则实数m =.17．已知函数ln(1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩为R 上增函数，写出一个满足要求的()g x 的解析式18．计算2log 3374log 7log 9lg 252lg 2-⋅--=21381168-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．四、解答题19．已知函数()9()log 912()xf x tx t =++∈R 为偶函数.(1)求t 的值；(2)求()f x 的最小值；20．已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断并用定义证明该函数在定义域R 上的单调性；。

北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。