高中数学 极限的概念素材
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极 限 的 概 念(4月27日)
教学目的:理解数列和函数极限的概念;
教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限;
教学难点:数列和函数极限的理解
教学过程:
一、实例引入:
例:战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。(1)求第n 天剩余的木棒长度n a (尺),并分析变化趋势;(2)求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺),并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点:当项数n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某个常数A (即A a n -无限趋近于0)。n a 无限趋近于常数A ,意指“n a 可以任意地靠近A ,希望它有多近就有多近,只要n 充分大,就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。
二、新课讲授
1、数列极限的定义:
一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....
某个常数A (即A a n -无限趋近于0)
,那么就说数列}{n a 的极限是A ,记作 A a n n =∞
→lim 注:①上式读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思。A a n n =∞
→lim 有时也记作当n →∞时,n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________ ③思考:是否所有的无穷数列都有极限?
例1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由
(1)1,
21,31,…,n 1,… ;(2)21,32,43,…,1
+n n ,…;
(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,n )1.0(-,…;
(5)-1,1,-1,…,n )1(-,…;
注:几个重要极限:
(1)01lim =∞→n n (2)C C n =∞
→lim (C 是常数) (3)无穷等比数列}{n q (1 n 2、当∞→x 时函数的极限 (1) 画出函数x y 1=的图像,观察当自变量x 取正值且无限增大时,函数值的变化情况:函数值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于正无穷大时,的极限是0,记作:01lim =+∞→x x 一般地,当自变量x 取正值且无限增大时,如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =+∞ →)(lim 也可以记作,当x +∞→时,A x f →)( (2)从图中还可以看出,当自变量x 取负值而x 无限增大时,函数x y 1= 的值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于负无穷大时,函数x y 1=的极限是0,记作:01lim =-∞→x x 一般地,当自变量x 取负值而x 无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于负无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =-∞ →)(lim 也可以记作,当x -∞→时,A x f →)( (3)从上面的讨论可以知道,当自变量x 的绝对值无限增大时,函数x y 1= 的值都无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于无穷大时,函数x y 1=的极限是0,记作01lim =∞→x x 一般地,当自变量x 的绝对值无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =∞ →)(lim 也可以记作,当x ∞→时,A x f →)( 特例:对于函数C x f =)((C 是常数),当自变量x 的绝对值无限增大时,函数C x f =)(的值保持不变,所以当x 趋向于无穷大时,函数C x f =)(的极限就是C ,即 C C x =∞ →lim 例2:判断下列函数的极限: (1)x x )21(lim +∞→ (2)x x 10lim -∞ → (3)21lim x x ∞→ (4)4lim ∞ →x 三、课堂小结 1、数列的极限 2、当x ∞→时函数的极限 四、练习与作业 1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限 (1)1,41,91, (21) ,… ;(2)7,7,7,…,7,…; (3)ΛΛ,2 )1(,,81,41,21n n ---; (4)2,4,6,8,…,2n ,…; (5)0.1,0.01,0.001,…,n 10 1,…; P M N A B C D (6)0,,32,21--…,11-n ,…; (7),41,31,21-…,11)1(1+-+n n ,…; (8),51,5 9,54…,52n ,…; (9)-2, 0,-2,…,1)1(--n ,…, 2、判断下列函数的极限: (1)x x 4.0lim +∞→ (2)x x 2.1lim -∞→ (3))1lim(-∞ →x (4)41lim x x ∞→ (5)x x )101(lim +∞→ (6)x x )4 5(lim -∞→ (7)11lim 2+∞→x x (8)5lim ∞→x 补充:3、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点。(1)求证:MN ⊥AB ; (2)若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ, 能否确定θ,使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线? 若可以确定,试求θ的值;若不能,说明理由。