高中数学 极限的概念素材

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极 限 的 概 念(4月27日)

教学目的:理解数列和函数极限的概念;

教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限;

教学难点:数列和函数极限的理解

教学过程:

一、实例引入:

例:战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。(1)求第n 天剩余的木棒长度n a (尺),并分析变化趋势;(2)求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺),并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点:当项数n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某个常数A (即A a n -无限趋近于0)。n a 无限趋近于常数A ,意指“n a 可以任意地靠近A ,希望它有多近就有多近,只要n 充分大,就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义:

一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....

某个常数A (即A a n -无限趋近于0)

,那么就说数列}{n a 的极限是A ,记作 A a n n =∞

→lim 注:①上式读作“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思。A a n n =∞

→lim 有时也记作当n →∞时,n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________ ③思考:是否所有的无穷数列都有极限?

例1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由

(1)1,

21,31,…,n 1,… ;(2)21,32,43,…,1

+n n ,…;

(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.001,…,n )1.0(-,…;

(5)-1,1,-1,…,n )1(-,…;

注:几个重要极限:

(1)01lim =∞→n n (2)C C n =∞

→lim (C 是常数) (3)无穷等比数列}{n q (1

n 2、当∞→x 时函数的极限

(1) 画出函数x

y 1=的图像,观察当自变量x 取正值且无限增大时,函数值的变化情况:函数值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于正无穷大时,的极限是0,记作:01lim =+∞→x

x 一般地,当自变量x 取正值且无限增大时,如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =+∞

→)(lim 也可以记作,当x +∞→时,A x f →)(

(2)从图中还可以看出,当自变量x 取负值而x 无限增大时,函数x

y 1=

的值无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于负无穷大时,函数x y 1=的极限是0,记作:01lim =-∞→x x 一般地,当自变量x 取负值而x 无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于负无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =-∞

→)(lim

也可以记作,当x -∞→时,A x f →)(

(3)从上面的讨论可以知道,当自变量x 的绝对值无限增大时,函数x

y 1=

的值都无限趋近于0,这时就说,当x 趋向于无穷大时,函数x y 1=的极限是0,记作01lim =∞→x x 一般地,当自变量x 的绝对值无限增大时,如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋向于无穷大时,函数)(x f y =的极限是A ,记作:A x f x =∞

→)(lim 也可以记作,当x ∞→时,A x f →)(

特例:对于函数C x f =)((C 是常数),当自变量x 的绝对值无限增大时,函数C x f =)(的值保持不变,所以当x 趋向于无穷大时,函数C x f =)(的极限就是C ,即

C C x =∞

→lim 例2:判断下列函数的极限:

(1)x x )21(lim +∞→ (2)x

x 10lim -∞

→ (3)21lim x x ∞→ (4)4lim ∞

→x

三、课堂小结

1、数列的极限

2、当x ∞→时函数的极限

四、练习与作业

1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限

(1)1,41,91, (21)

,… ;(2)7,7,7,…,7,…; (3)ΛΛ,2

)1(,,81,41,21n n

---; (4)2,4,6,8,…,2n ,…;

(5)0.1,0.01,0.001,…,n 10

1,…;

P

M

N A B C D (6)0,,32,21--…,11-n

,…; (7),41,31,21-…,11)1(1+-+n n ,…; (8),51,5

9,54…,52n ,…; (9)-2, 0,-2,…,1)1(--n

,…,

2、判断下列函数的极限:

(1)x x 4.0lim +∞→ (2)x x 2.1lim -∞→ (3))1lim(-∞

→x (4)41lim

x x ∞→ (5)x x )101(lim +∞→ (6)x x )4

5(lim -∞→ (7)11lim 2+∞→x x (8)5lim ∞→x 补充:3、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点。(1)求证:MN ⊥AB ; (2)若平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角为θ,

能否确定θ,使得MN 是异面直线AB 与PC 的公垂线?

若可以确定,试求θ的值;若不能,说明理由。