21第二十一讲尺规作图及命题证明

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考点三 证明 1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个 命题是否正确，这一推理过程称为证明． 2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的 题设 和 结论 ；②由 题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出已知 、求证 ；④ 分析证明的思路；⑤写出证明过程 ，每一步应有根据，要推理严密．
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如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点， 延长BC到E，使CE＝CD.
(1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M(不写作法，保留作 图痕迹)；
(2)求证：BM＝EM. 【点拨】(1)题属于过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图；(2) 题需证△BDE是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质证BM＝EM. 【解答】(1)如图，则直线DM即为所求．
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1．如图，已知△ABC，分别以A、C为圆心，BC、AB长为 半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连接AD,CD.则有( )
A．∠ABC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补 C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余 答案：B
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3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
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(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型 6．作图题的一般步骤 (1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论．其中步骤 (5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹．
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(2011·杭州)四条线段a，b，c，d如图所示，
a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4.
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图 痕迹，不必写出作法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
【点拨】(1)由题意知只能选取 b,c,d 为边画三角形.(2)4 条线段任取
三条共有 4 种结果,而能作出三角形的情况只有一种,故所求概率为 P=41.
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【解答】(1)只能选 b，c，d 为边画三角形，如图所示． (2)任取三条线段共有 a，b，c；a，b，d；a，c，d 和 b，c，d 四种
结果，其中只有以 b，c，d 为三边能作三角形，故所求概率 P＝41.
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(1) （2011·广州 ）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面 内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________．(填写所有真命题的序号)
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对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；由题意得 a＋b＝7，ab＝7，
AB 边上的中线长为：12AB＝12 a2＋b2＝12 a＋b2－2ab＝12 72－7×2＝12 35，
故④正确，所以选 C. 【解答】(1)①②④ (2)C
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(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都 是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．
(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的， 并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
温馨提示： 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举 反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.
(2)（2011·黄冈） 下列说法中：
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等；
②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3，众数是2；
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③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ④Rt△ABC 中，∠C＝90°，两直角边 a，b 分别是方程 x2－7x＋7＝0 的两个根，则 AB 边上的中线长为21 35. 正确的命题有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【点拨】(1)如果 b⊥a，c⊥a，则 b∥c，只有命题③是假命题． (2)“一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互 补”，所以①错误；将数据 5,2,7,1,2,4 按由小到大的顺序排列为： 1,2,2,4,5,7，中位数是：2＋2 4＝3，众数是：2，故②正确；等腰梯形是轴
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考点一 几何作图
1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线．
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(2)证明：∵△ABC 为等边三角形，AD＝CD， ∴∠DBC＝12∠ABC＝12×60°＝30°.
又∠ACB＝60°，CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE＝12×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，∴△DBE 是等腰三角形．
又 DM⊥BE，∴BM＝EM.
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考点二 定义、命题、定理、公理 有关概念 (1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密． (2)命题：判断一件事情的语句． ①命题由题设和 结论 两部分组成． ②命题的真假:正确的命题称为真命题 ； 错误 的命题称为假命题. ③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题 的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为 互逆命题．每一个命题都有逆命题．