2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 初中、高中衔接课 第2课时

2020初高中数学衔接教材爱的新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。

由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。

面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。

第2课时椭圆几何性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1.消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.知识点三弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ ) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.( √ )3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( × )4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．( √ )题型一 直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 考点 题点解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．跟踪训练1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围为________． 考点 题点 答案 [1,5)解析 ∵直线y ＝kx ＋1过定点M (0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M (0,1)必在椭圆内或椭圆上， 由此得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <5，025＋12m ≤1，解得1≤m <5.题型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋64k 2－64k －20＝0. 显然，Δ>0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1.由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b.∵|AB |＝22，∴2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴y x ＝a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时的其他问题解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究本例中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 解 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12×2510－8m 2×|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14，当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”，此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52. ∴所求直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件． 跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)若点P (a ，b )是椭圆C 上一点，求a 2＋b 2的取值范围；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求|AB |的最小值． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时的其他问题 解 (1)由题意得a 2＋2b 2＝4， 则a 2＝4－2b 2，∴a 2＋b 2＝4－2b 2＋b 2＝4－b 2， ∵b ∈[－2，2]，∴4－b 2∈[2,4]． 故a 2＋b 2∈[2,4]，a 2＋b 2的取值范围为[2,4]． (2)设A (t,2)，B (x 0，y 0)，x 0≠0.∵OA ⊥OB ， ∴OA →·OB →＝0，∴tx 0＋2y 0＝0，∴t ＝－2y 0x 0.又∵x 20＋2y 20＝4，∴0<x 20≤4.∴|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝x 202＋8x 20＋4≥4＋4＝8，当且仅当x 202＝8x 20，即x 20＝4时等号成立， ∴|AB |的最小值为2 2.转化化归思想在椭圆中的应用典例 已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别是F 1，F 2，若椭圆C 上的点P ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2的距离和等于4. (1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M (0,2)，且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若原点O 在以线段AB 为直径的圆外，求直线l 的斜率k 的取值范围． 考点 题点解 (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2， 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴14＋34b2＝1，即b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx ＋2，代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0， 得k 2>34.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆外， ∴∠AOB 为锐角，∴cos ∠AOB >0， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)121＋4k 2＋2k⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝4(4－k 2)1＋4k 2>0.∴k2<4，∴34<k 2<4， ∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. [素养评析](1)本例中点O 在以AB 为直径的圆外⇒∠AOB 为锐角⇒OA →·OB →>0⇒x 1x 2＋y 1y 2>0 利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围．(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与已有知识结合，逐步推出相应的结论．对逻辑推理素养的培养有很好的帮助．1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a < 2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1考点 椭圆的几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 A解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∵Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，∴16m 2－4m (3＋m )>0， ∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.3．过椭圆x 28＋y 24＝1内一点P (1,1)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y －1＝0 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (1,1)是线段AB 的中点，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差，得18(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋14(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即14(x 1－x 2)＋12(y 1－y 2)＝0，由题意知，直线l 的斜率存在，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x－1)，整理得x ＋2y －3＝0.4．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为___________________________________________． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0， 由Δ＝0，得a ＝7， 所以椭圆的长轴长为27.5．已知椭圆C 的两个焦点是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，且椭圆C 经过点A (0，5)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过左焦点F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长与三角形面积解 (1)由已知得，椭圆C 的焦点在x 轴上，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，(0，5)是椭圆短轴上的一个顶点，可得b ＝5，由题意可得c ＝2，故a ＝b 2＋c 2＝3，则椭圆C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.(2)由已知得，直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，而F 1(－2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，代入方程x 29＋y 25＝1，得5x 2＋9(x ＋2)2＝45，即14x 2＋36x －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－187，x 1x 2＝－914，则|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋12×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫－1872－4×⎝⎛⎭⎫－914＝307.1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用点差法．2．最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想．一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定考点题点答案 B解析直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B.2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1 考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质 答案 D解析 因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.3．已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长与三角形面积 答案 D解析 当直线AB 为y 轴时，面积最大， 此时|AB |＝2b ，△AFB 的高为c ， ∴S △AFB ＝12·2b ·c ＝bc .4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， ∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.5．若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(a ，b )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．需根据a ，b 的取值来确定考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线与圆没有交点，∴d ＝4a 2＋b 2 >2， ∴a 2＋b 2<4，即a 2＋b 24<1，∴a 29＋b 24<1， ∴点(a ，b )在椭圆内部， 故直线与椭圆有2个交点．6．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1，F 2分别作x 轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.22 D.32考点 椭圆几何性质的应用 题点 求椭圆离心率的值 答案 B解析 将x ＝±c 代入椭圆方程，得y ＝±b 2a .由题意得2b 2a ＝2c ，即b 2＝ac ，所以a 2－c 2＝ac ，则⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1＝0， 解得c a ＝5－12(负值舍去)．7．经过椭圆x 2＋2y 2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM →·ON →等于( ) A ．－3 B ．±13 C ．－13 D ．－12考点 椭圆的几何性质 题点 椭圆范围的简单应用解析 由x 2＋2y 2＝2，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)，不妨设直线l 过右焦点，则直线l 的方程为y ＝x －1，代入x 2＋2y 2＝2，得x 2＋2(x －1)2－2＝0，化简得3x 2－4x ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，因为线段AB 的中点坐标为(1，－1)，所以b 2a 2＝12.因为右焦点为F (3,0)，c ＝3，所以a 2＝18，b 2＝9，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.二、填空题9．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长问题 答案322解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12， 则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322. 10．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点，过右焦点F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积等于________．题点 答案 4311．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x＋c )与椭圆的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率为________．考点 椭圆几何性质的应用 题点 求椭圆离心率的值 答案3－1解析 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c,0)．∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ， ∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.12．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，且nm ＝2，则原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为________． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题 答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋ny 21＝1， ①mx 22＋ny 22＝1， ②①－②，得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即m n ＋y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝0. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－1，m n ＝22，∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝22，∴k OM ＝22.三、解答题13．已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点． (1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长与三角形面积解 (1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，所以c ＝1.所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1消去y ， 整理得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25⎝⎛⎭⎫或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25， 所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－35，25. (2)由题意，知F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝835，所以2ABF S＝12|AB |d ＝12×835×2＝465， 所以△ABF 2的周长为4a ＝43，面积为465.14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时的其他问题(1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0消去y ， 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0， 得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0， ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b 2等于定值． (2)解 ∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1，得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，Δ＝(－m )2－4(m 2－3)>0，得m 2<4.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)式，也满足Δ>0. ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.。

初中、高中衔接课第1课时因式分解学习目标 1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.知识点二因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x ＋x－1提取公因式后分解因式.1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).(×)2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.(√)3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.(×)4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.(×)突破一配方法因式分解例1把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.跟踪训练1分解因式x2＋6x－16.突破二十字相乘法因式分解命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解例2把下列各式因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.跟踪训练2把下列各式因式分解：(1)x2＋xy－6y2；(2)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12.命题角度2形如一般二次三项式ax2＋bx＋c型的因式分解例3把下列各式因式分解：(1)12x2－5x－2；(2)5x2＋6xy－8y2.跟踪训练3 把下列各式因式分解：(1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7；(3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3.1.分解因式x 2－3x ＋2为( )A.(x ＋1)(x ＋2)B.(x －1)(x －2)C.(x －1)(x ＋2)D.(x ＋1)(x －2)2.分解因式x 2－x －1为( )A.(x －1)(x ＋1)B.(x ＋1)(x －2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋523.分解因式：m 2－4mn －5n 2＝________.4.分解因式：(a －b )2＋11(a －b )＋28＝________.5.分解因式：x 2－y 2－x ＋3y －2＝____________.一、选择题1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是( )A.2B.－2C.－2100D.21002.边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为( ) A.120 B.60 C.80 D.403.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是()A.x2＋4xB.a2－4b2C.x2＋4x＋1D.x2－2x＋14.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为()A.(x＋5)(x－1)B.(x－5)(x＋1)C.(x＋5)(x＋1)D.(x－5)(x－1)5.要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是()A.1，－1B.5，－5C.1，－1,5，－5D.以上答案都不对6.已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为(x－1)(x＋2)，则b＋c的值为()A.－3B.－2C.－1D.07.下列变形正确的是()A.x3－x2－x＝x(x2－x)B.x2－3x＋2＝x(x－3)－2C.a2－9＝(a＋3)(a－3)D.a2－4a＋4＝(a＋2)28.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m－n)2的值为()A.200B.－200C.100D.－100二、填空题9.因式分解：ax＋ay＋bx＋by＝______________________.10.因式分解：(x＋y)2－2y(x＋y)＝_________________________________________________.11.分解因式：(a2＋1)2－4a2＝__________________.三、解答题12.分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)x2－x－6.14.若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝_______________________________________.15.分解因式：(1)(x－y)2＋4(x－y)＋3；(2)m(m＋2)(m2＋2m－2)－3.。

第2课时 集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．思考：(1)不等式x －2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x －2<3的解集？ 提示：(1)元素的共同特征为x ∈R ，且x <5. (2){x |x <5，x ∈R }．1．方程x 2＝4的解集用列举法表示为( ) A ．{(－2,2)} B ．{－2,2} C ．{－2}D ．{2}B [由x 2＝4得x ＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．] 2．用描述法表示函数y ＝3x ＋1图象上的所有点的是( )A ．{x |y ＝3x ＋1}B ．{y |y ＝3x ＋1}C ．{(x ，y )|y ＝3x ＋1}D ．{y ＝3x ＋1}C [该集合是点集，故可表示为{(x ，y )|y ＝3x ＋1}，选C.] 3．用描述法表示不等式4x －5<7的解集为________． {x |x <3} [用描述法可表示为{x |x <3}．]用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A ； (2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . [解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32， 所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，32. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)， 所以D ＝{(1,4)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ； (3)方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .[解] (1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2，故A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解为x ＝2或x ＝3， ∴M ＝{2,3}．(3)解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(4)15的正约数有1,3,5,15，故N ＝{1,3,5,15}． 用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． [解] (1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}． (3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．描述法表示集合的2个步骤2.用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x －3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．[解] (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤32，0≤y ≤1.(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．,集合表示方法的综合应用[探究问题] 下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？提示：(1)集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，所以实质上{x |y ＝x 2＋1}＝R ；集合②的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以实质上{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，所以{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．【例3】 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路点拨]A 中只有一个元素――→等价转化方程kx 2－8x ＋16＝0只有一解――→分类讨论求实数k 的值[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．1．(变条件1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.1．思考辨析(1){1}＝1.()(2){(1,2)}＝{x ＝1，y ＝2}．( ) (3){x ∈R |x >1}＝{y ∈R |y >1}．( ) (4){x |x 2＝1}＝{－1,1}．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A ．{x |－3<x <11，x ∈Z } B ．{x |－3<x <11} C ．{x |－3<x <11，x ＝2k } D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D ，故选D.]3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}D [由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y ＝－2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，试用列举法表示集合A . [解] ∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4， ∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．。

姓名，年级：时间：第2课时充要条件学习目标核心素养1。

理解充要条件的概念．（难点）2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点）3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)1。

通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.1．充要条件的概念一般地,如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说,p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．充要条件的判断（1)一般地,如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。

此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(1）若p⇒q，但q p,则称p是q的充分不必要条件．(2）若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考:（1)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q"的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是( ）A．p:a＝0,q：ab＝0 B．p：a＝b，q：（a－b）2＝0C．p:｜a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：｜a｜＝|b｜B[A。

a＝0⇒ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；B．a＝b⇒（a－b)2＝0，故B正确；C．若｜a|＝1，可得a＝±1,｜a|＝1，推不出a＝1，故C错误;D．若|a｜＝｜b|，可得a＝±b，故D错误．故选B。

］2. 设x∈R，则x〉2的一个必要不充分条件是（)A．x〉1 B．x<1C．x〉3 D．x<3A［∵x〉2⇒x〉1,但x>1x〉2，∴选A.］3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C［a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0。

第2课时 分段函数学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.知识点 分段函数1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数.( √ )2.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.( √ )3.分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( × )4.分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.( √ )题型一 分段函数求值命题角度1 给x 求y例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52的值. 考点 分段函数 题点 分段函数求值解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈(－2,2)，∴f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵－52∈(－∞，－2]，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32∈(－2,2)， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32 ＝－34.延伸探究本例中f (x )的解析式不变，若x ≥－5，求f (x )的取值范围. 解 当－5≤x ≤－2时，f (x )＝x ＋1∈[－4，－1]； 当－2<x <2时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1∈[－1,8)； 当x ≥2时，f (x )＝2x －1∈[3，＋∞)；∴当x ≥－5时，f (x )∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞). 反思感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2，x >0，2，x ＝0，1－2x ，x <0.求f (f (－2))的值；解 因为f (－2)＝1－2×(－2)＝5， 所以f (f (－2))＝f (5)＝4－52＝－21. 命题角度2 给y 求x例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (2)解不等式f (x )>8. 考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合解 (1)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，2x >8，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x 2＋2>8，② 解①得x ∈∅，解②得x >6，综合①②知f (x )>8的解集为{x |x >6}. 反思感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x ；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来.跟踪训练2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)若f (x )＝14，求x 的值；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围.考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合 解 (1)f (x )＝14等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x 2＝14，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，1＝14.②解①得x ＝±12，②解集为∅.∴当f (x )＝14时，x ＝±12.(2)由于f ⎝⎛⎭⎫±12＝14，结合此函数图象(图略)可知， 使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 题型二 分段函数的定义域、值域例3 (1)已知函数f (x )＝|x |x ，则其定义域为( )A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 D解析 f (x )＝|x |x 的分母不能为0，即x ≠0.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为______，值域为________.答案 (－1,1) (－1,1)解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1). 值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1). 反思感悟 (1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. ②分段函数的值域是各段函数值域的并集.(2)绝对值函数的定义域，值域通常要转化为分段函数来解决.跟踪训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________. 答案 R [0,1]解析 定义域为各段并集[－1,1]∪(－∞，－1)∪(1，＋∞)＝R ，值域为[0,1]∪{1}＝[0,1].分段函数的图象及应用典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则函数f (x )的图象是( )答案 A解析 当x ＝－1时，y ＝0，排除D ；当x ＝0时，y ＝1，排除C ；当x ＝1时，y ＝2，排除B. 典例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域.解 (1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；②当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x . 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由函数f (x )的图象知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3).[素养评析] (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.(2)利用图形描述、分析数学问题，建立数与形的联系是直观想象的重要内容，是数学核心素养的重要内容之一.1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，－3<x <3，x 2＋x －2，x ≥3，则f (x )的定义域为( )A.(－3，＋∞)B.[－3,3]C.(－3,3]D.[－3，＋∞)答案 A2.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3}答案 D解析 当0≤x ≤1时，f (x )∈[0,2]， 当1<x <2时，f (x )＝2， 当x ≥2时，f (x )＝3， ∴值域是{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 C4.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－52考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 C5.已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.答案 7解析 因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))；因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1≤x <0，－1，0<x ≤1，则f (x )的定义域为( )A.[－1,1]B.(－1,1)C.[－1,0)∪(0,1]D.R答案 C2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (3)等于( )A.15B.3C.23D.139 答案 C 解析 f (3)＝23.3.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f (f (－2))等于( )A.πB.0C.2D.π＋1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 A解析 f (－2)＝0，f (f (－2))＝f (0)＝π. 4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 等于( )A.1B.±3C.32 D. 3答案 D解析 若⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，x ＋2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ＝1，无解.若⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2，x 2＝3，即⎩⎨⎧－1<x <2，x ＝±3，∴x ＝ 3. 若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＝32，无解.5.函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，所以C 正确.6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( )A.－3B.±3C.－1D.±1 考点 分段函数 题点 分段函数求值答案 D解析 f (－1)＝－(－1)＝1. ∴f (a )＋f (－1)＝f (a )＋1＝2. ∴f (a )＝1，即⎩⎨⎧ a ≥0，a ＝1① 或⎩⎨⎧a <0，－a ＝1，② 解①得a ＝1，解②得a ＝－1. ∴a ＝±1.7.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13等于( )A.－13B.13 C.－23D.23答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0.∵f ⎝⎛⎭⎫13＝－23， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝13. 8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，－1≤x ≤1，x ，x <－1或x >1，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A.∅B.[－1,1]C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{2}∪[－1,1]考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ， f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意.故选D. 二、填空题9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________.考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________立方米. 考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 答案 13解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米).11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (－10)＝________.答案 2解析 f (－10)＝f (－7)＝f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝5－3＝2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫92，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值. 考点 分段函数 题点 分段函数求值 解 (1)∵－32∈(－∞，－1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2.又2∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵92∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫92＝2×92＝9. (2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意； 若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意. ∴a 的值为－3或3.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数的图象.解 (1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4， ∴f (f (f (5)))＝f (1) ＝12－2×1＝－1， 即f (f (f (5)))＝－1. (2)图象如下图所示.14.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________.考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 (－∞，1]解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1.画出图象如图所示：2 / 2由图易得函数f (x )的值域为(－∞，1].15.如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式.考点 分段函数题点 分段函数应用问题解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.。

§1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一增函数与减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是.(2)不能.知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.(×)2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(√)3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(×)4.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数.(√)题型一利用图象判断函数单调性例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图，∴单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).反思感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1(1)函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.[－4，－2]B.[1,4]C.[－4，－2]和[1,4]D.[－4，－2]∪[1,4]答案 C(2)函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).题型二函数单调性的证明例2求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.反思感悟 定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2 利用定义判断f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上的单调性.解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝2x 2x 2＋3－2x 1x 1＋3＝2[x 2(x 1＋3)－x 1(x 2＋3)](x 1＋3)(x 2＋3)＝6(x 2－x 1)(x 1＋3)(x 2＋3).因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2－x 1>0，x 1＋3>0，x 2＋3>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )＝2xx ＋3在区间(0，＋∞)上是增函数.题型三 函数单调性的应用例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]. 延伸探究1.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，4]，则a 的值是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4， ∴a ＝－3.2.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调，则a 的取值范围是什么？ 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[2,4]上单调， ∴二次函数的对称轴x ＝1－a 一定不在区间(2,4)内， ∴1－a ≤2或1－a ≥4， 即a ≥－1或a ≤－3，∴a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞).3.若y ＝f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，3]答案 D解析y＝x2－6x的开口方向向上，对称轴为x＝3.所以其单调递减区间是(－∞，3].4.下列说法中正确的是()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，则x1<x2答案 D5.若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m)>f(1＋m)，则实数m的取值范围是__________. 答案(－∞，1)解析由2m<1＋m得m<1.1.证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性.(2)要证明f(x)在[a，b]上不是单调函数，只要举出一个反例即可.2.判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法，而函数单调性的证明现在只能用定义证明.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.一、选择题1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接.2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1C.y ＝1xD.y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数. 3.函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象， 如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数.4.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( )A.(－3,0)B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1，∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3).又∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3，∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).5.函数f (x )＝－x 2＋2(a －3)x ＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞) 答案 B解析 二次函数开口向下，对称轴为x ＝a －3，∴a －3≤－2，∴a ≤1.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)考点 函数单调性的应用 题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )考点 函数的单调性的概念题点 函数单调性概念的理解答案 B解析 对于A ，存在x 1∈(0,1)，f (x 1)>f (1)，A 不对；对于C ，存在x 1>1，f (x 1)<f (1)，C 不对；对于D ，存在x 1＝－1，x 2＝1，f (x 1)<f (x 2)，D 不对；只有B 完全符合单调性定义.8.已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A.减函数且f (0)<0B.增函数且f (0)<0C.减函数且f (0)>0D.增函数且f (0)>0答案 A 解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.二、填空题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________. 答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1).10.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 11.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. 三、解答题12.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间.考点 求函数的单调区间题点 求函数的单调区间解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示，∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1].13.证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数. 证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数.14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________.考点 函数单调性的应用 题点 已知二次函数单调性求参数范围答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1.由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.解 ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，∴令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2f (2).又f (2)＝1，∴f (4)＝2.∵f (2)＋f (x －3)＝f (2(x －3))＝f (2x －6)，∴f (2x －6)≤2＝f (4)，即f (2x －6)≤f (4).∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＞0，2x －6≤4，解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5].。