几个重要随机变量的期望与方差

第三节 几个重要随机变量的 数学期望与方差
1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
泊松分布的期望和方差都等于参数 .
4. 均匀分布
设 X ~ U(a,b), 其概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他.
则有 E( X )
xf ( x)d x
b1
xd x
aba
1 (a b). 2
Baidu Nhomakorabea
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
0
0
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
x2 1 e x θ d x θ2
0
θ
2θ2 θ2
θ2. 指数分布的期望和方差分别为 θ 和 θ2.
6. 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
f (x)
1
( x μ)2
e
2σ2
,
σ 0,
x .
2πσ
k0 k!
k1 (k 1)!
e e .
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
k(k 1) k e
k0
k!
2e
k 2
2ee 2 .
k2 (k 2)!
所以 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2 .
n k(k 1) k pk (1 p)nk np
k0
n
n k(k 1)n!pk (1 p)nk np
k0 k!(n k)!
n
n(n 1) p2
(n 2)!
pk2 (1 p)(n2)(k2)
k2 (n k)!(k 2)!
np
n(n 1) p2[ p (1 p)]n2 np
bx2
1
d
x
a
b
2
a ba
2
(b a)2 . 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
f ( x) θ1 ex θ , x 0, 其中 θ 0.
0,
x 0.
则有
E( X )
xf ( x)d x
x 1 ex θ d x
0
θ
xe x θ e x θ d x θ.
(n2 n) p2 np.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
(n2 n) p2 np (np)2
np(1 p).
3. 泊松分布
设 X ~ π( ), 且分布律为
P{ X k} k e , k 0,1,2,, 0.
k! 则有
E( X ) k k e e k1
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n
np
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np[ p (1 p)]n1
np.
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
2π
μ.
D( X )
(
x
μ)2
f
(x)d
x
(x
μ)2
1
e
(
x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t,得
σ
D( X ) σ2
t
2e
t2 2
dt
2π
σ2 2π
t2
te 2
t2
e2
d
t
0 σ2 2π σ2. 2π
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
二、小结
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,,n),
k
则有
0 p 1.
n
E(X ) k P{X k}
k0
n k n pk (1 p)nk k0 k
n
kn! pk (1 p)nk
k0 k!(n k)!
n
np(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
则有
E( X ) xf ( x)d x
x
1
e
( x μ)2 2σ2
d
x.
2πσ
令 x μ t x μ σt, σ
所以
E(X) x
1
( x μ)2
e
2σ2
dx
2πσ
1
t2
( μ σt)e 2 d t
2π
μ 1
t2
e 2 dt
σ
t2
te 2 d t
2π
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0 p1 n 1,
0 p1
0
ab
θ0 μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
np
np(1 p)
(a b) 2 (b a)2 12
θ
θ2
μ
σ2
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