初中数学竞赛专题选讲《非负数》

非负数专题训练————李畏活动主题：复习非负数设计理念：初中阶段，我们学过的三种非负数：绝对值、偶次幂（主要是平方），算术平方根。

非负数的性质在解决数学问题时，应用十分广泛，而且灵活多变，应用技巧较高，了解、掌握和熟悉非负数的实质对提高解题能力很有好处，在各类考试和竞赛中也备受关注，非负数的练习应作为基本功加以训练，这节课主要举一些典型的例子供参考，望达到举一反三的目的活动目标：一、 知识目标1 通过第一关，同学们回忆非负数的常见的三种形式的式子的简单应用2通过第二三关，同学们掌握非负数在代数和几何中的重要应用3通过第四关，培养学生的数形结合思想二、 过程与方法同学们通过一次次的闯关，在游戏中感受非负数的在数学中的重要作用，同时熟练运用非负数的性质来解题三、 情感、态度。

价值观培养学生对数学的学习兴趣，激发学生对非负数的重视，激发学生热爱数学的情感。

教学重点：非负数的应用教学难点：非负数的应用和利用非负数，构造几何情境来解决最值问题。

四 教学过程：教师：“老师崇拜三国时代的一位英雄，他曾千里走单骑，过五关斩六将。

同学们知道他是谁么？那么这节课我想从同学们当中也挑选几位像关羽这样过五关斩六将的英雄。

”一、入关先决条件1． 非负数一路伴随我们从初一一路走来，非负数的定义是大于等于0的数。

那么同学们2．学生回答：1一个数的绝对值 2 一个数的算术平方根和 3一个数的偶次幂/平方 二、进入第一关，了解游戏规则教师：“恭喜同学们进入第一关，接下来迎接我们的是怎样的挑战？”把学生分成A、B 、C 、D 四组，教师出示四题，A 组题为两个非负数相加和为0的形式，同时掌握被开方数也为非负数这一性质特点 如果a 中的被开方数22n a a 或0,=则x=_____,y=_______B 组题为根式的化简问题C 组题为两个非负数相加和为0的形式D 组题考察同学们看图识别的能力每组同学完成一题，想出来的同学请举手！四组同学按举手的先后回答该组的题目，按顺序分别+10分、+8、+6、+4分，答错扣分。

第三讲 非负数一、选择题1．若|2x - 3| > 2x – 3,那么这个不等式的解集为（ ）A ．x > 23; B ．x = 23; C ．x < 23; D ．解集为空集2．若-3 < x < 4，则满足5|4|962=--++x x x 的x 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．对于实数x ，x x x 120002000+-+-=（ ）A ．0;B ．2000;C ．-2000;D ．200014．若|a – x – x 1| + 01322=+-x x ，那么2)2(-a 等于（ ）A ．5-2;B ．2-5;C ．±5-2;D ．5±25．已知：|x – 1 | + |x – 5 | = 4，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤5;B ．x ≤1;C ．1 < x < 5;D ．x ≥5二、填空题1．若a,b 为非零实数，则ab ab b b a a ||||||-++=__________。

2．设0 < x < 1，化简4)1(4)1(22-+-+-x x x x =_____________。

3．若y = |x + 1 | -2 |x| + |x – 2 |，且-1≤x ≤2，那么y 的最大值是___________。

4．如果a,b,c 都是整数，且满足c b ab c b a 12421333222++<+++，则a=____________,b=_______,c=____________。

5．若11||=-x x ，则x x 21||+的值为___________。

三、解答题1．求方程|x – 2 | + |x – 3 | = 3的实数解。

2．a,b,c 为三角形ABC 的三边，且满足c b a c b a 262410338222++=+++试判别这个三角形的形状。

3．化简|9625|2++-x x x4．求方程组⎩⎨⎧=-=+122z xy y x 的实数解。

非负数是什么意思七年级数学
很多同学在上七年级的时候都学习了非负数，那么非负数是指什么意思？大家一起来看看吧。

非负数简介
正数和零总称为非负数，非负数可以理解为不是负数而是正数和零。

例如：0、3.4、9/10、π（圆周率）。

自然数和零一起．叫做非负整数。

非负数性质
1、有限个非负数的和仍是非负数。

2、两个非负数的差不一定是非负数：当被减数小于减数时，其差为负数；当被减数大于或等于减数时，其差非为负数。

3、有限个非负数的积（包括乘方）仍是非负数。

4、非负数的商（除数不为零）仍是非负数。

5、非负数大于一切负数。

非负数计算题
例1：已知m、n为实数，且√（5m-2）十√（2-5m）十n=10，求mn的值。

分析：要使根号下有意义，有5m-2≥0且2-5m≤0，所以5m-2=0，解得m=2/5，则n=10，
因此mn=2/5×10=4。

例2：已知m是实数，且（m^2+7m-18）√（m-5）=0，求m^2十2m一3的值。

分析：由题意得m^2十7m一18=0或m一5=0，解得m=一9，2，5，当m=一9，2时，√（m-5）无意义，故m=5。

所以m^2十2m一3=25十10一3=32。

以上就是非负数的相关知识，希望同学们在考试中取得优异成绩。

初二数学初二数学1实数【知识要点】1、你知道实数的定义吗、你知道实数的定义吗??你能给实数具体分类吗你能给实数具体分类吗? ?2、什么叫做无理数呢、什么叫做无理数呢??了解无理数后了解无理数后,,你知道无理数主要具有哪些方面的特征吗你知道无理数主要具有哪些方面的特征吗? ?3、有关实数的相关概念和运算法则、有关实数的相关概念和运算法则,,你了解多少你了解多少? ?4、有关比较大小、有关比较大小,,你知道几种方法你知道几种方法? ?记一记：646.27,449.26,236.25,732.13,414.12»»»»»5、你知道怎样作长为n 的线段（以5为例）吗为例）吗? ?【典型例题】# 例1将下列各数填入相应的集合内：将下列各数填入相应的集合内：将下列各数填入相应的集合内： 0,7,6,1225,101001.2,345345.0,2,67,9,5,5,27------ p 整数集合整数集合{}有理数集合{} 无理数集合无理数集合{} 正数集合正数集合{}负数集合负数集合{}# 例2 在下列实数中是无理数的为（在下列实数中是无理数的为（在下列实数中是无理数的为（ ） A 、0 B 、-3.1415926 C 、3125D 、4p# 例3-1如果如果76,76,76---=---=--=c b a ，()76----=d ，试确定d c b a ,,,的大小关系的大小关系. .# 例3-2求下列各式中的求下列各式中的x . （1）()07<=x x（2）23=x例3-3 已知已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示， 求代数式()22a ab ac b c --++-++的值的值..# 例4-1 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. .（1）p 与10 （2）23与（3）190189+-+-与（4）101321--与b 0 1 a c例4-2 求适合下列条件的数求适合下列条件的数求适合下列条件的数. . #（1）绝对值小于7的所有整数；的所有整数； （2）大于105且小于-的所有整数；的所有整数；例4-3 通过估算比较它们的大小通过估算比较它们的大小通过估算比较它们的大小. . （1）32316与-（2）41741-与（3）81425与-例4-4 现有四个无理数现有四个无理数8,7,6,5，其中在1312++与 之间的有（之间的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个例4-5 若139139-+与的小数部分分别为的小数部分分别为=-+-234b a ab ,b a 则与 .# 例5-1 在数轴上作出在数轴上作出345和-的点，要求留下作图痕迹，的点，要求留下作图痕迹， 并写出作图过程并写出作图过程. .实数快速练习A姓名： 成绩：1．下列各组数中，都是无理数的一组是（．下列各组数中，都是无理数的一组是（ ） A 、10，p ，5，3100 B 、7-，5-，4，3 C 、p ，0，－p D 、×21.0，0.230.23，，××54.02．下列叙述中，不正确的是（．下列叙述中，不正确的是（ ） A 、绝对值最小的实数是零、绝对值最小的实数是零 B 、算术平方根最小的实数是零、算术平方根最小的实数是零 C 、平方最小的实数是零、平方最小的实数是零 D 、立方根最小的实数是零、立方根最小的实数是零3．若实数a 满足012=-a ，则a 的值为（的值为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、0.54．下列命题中，错误的是（．下列命题中，错误的是（ ） A 、相反数等于本身的实数是0 B 、绝对值等于本身的实数是1 C 、倒数等于本身的实数是1±D 、算术平方根等于本身的实数是1或0²5．在144，14.3-，p1，34，0.30.3，，01.0，2.3030032.303003……（两个3之间的0依次多一个），722中无理数有（中无理数有（ ） A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6．已知x 是169的平方根，且y x y x 则,322=+的值是（的值是（ ） A 、65 B 、±、±65 65 C 、3143±D 、65或31437．如图2—6—1，若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数表示数 -1-1，，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（应在线段（ ） A 、AB 上B 、BC 上C 、CD 上D 、OB 上8．已知实数x 满足x x -=，则（，则（ ） A 、0³x B 、0>xC 、0£xD 、0<x9．与数轴上的点一一对应的是（．与数轴上的点一一对应的是（ ） A 、整数、整数 B 、有理数、有理数 C 、无理数、无理数D 、实数、实数1010．已知．已知b a ,是实数，下列命题正确的是（是实数，下列命题正确的是（ ） A 、若22,b a b a >>则B 、若22,b a b a >>则C 、若22,b a b a >>则D 、若2233,b a b a >>则1111．下列各式中，无论．下列各式中，无论x 为任何实数都没有意义的是（为任何实数都没有意义的是（ ）A 、x 3-B 、2x -图2—6—1 A O BCD -1123C 、12--xD 、321--x1212．．a 为无理数时a 是一个（是一个（ ） A 、非完全平方数、非完全平方数 B 、正实数、正实数 C 、完全平方数、完全平方数D 、非负实数、非负实数1313．在数轴上表示．在数轴上表示25-和的两点间的距离是（的两点间的距离是（ ） A 、25+B 、25-C 、)25(+-D 、25-1414．若．若a 是一个实数，那么a -表示的数是（表示的数是（ ） A 、负数、负数 B 、正数、正数 C 、非正数、非正数D 、实数、实数1515．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（ ） A 、有理数、有理数 B 、无理数、无理数 C 、有理数或无理数、有理数或无理数D 、任意实数、任意实数1616．已知．已知b a a ,,0¹互为相反数，下列各组数中，不互为相反数的一组是（互为相反数，下列各组数中，不互为相反数的一组是（ ） A 、33b a 与 B 、22b a -与C 、b a 33与D 、33++b a 与1717．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（ ） A 、0 B 、1 C 、－、－1 1D 、±、±1 11818．负数．负数a 与它的相反数的差是（与它的相反数的差是（ ） A 、2a B 、0C 、－、－22aD 、aa 1-1919．下列说法中正确的是（．下列说法中正确的是（．下列说法中正确的是（ ） A 、无限小数一定不是有理数、无限小数一定不是有理数 B 、有理数一定不带根号、有理数一定不带根号C 、一个数如果不是有理数，那么它一定是无理数、一个数如果不是有理数，那么它一定是无理数D 、若b a ,互为相反数，那么它一定是无理数互为相反数，那么它一定是无理数2020．设．设x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的实数，则y x +的值为（的值为（ ） A 、1B 、－、－1 1C 、0D 、－、－2 22121．设．设x 是有理数，则2x 是（是（ ） A 、正有理数、正有理数 B 、无理数、无理数 C 、非正有理数、非正有理数D 、非负有理数、非负有理数2222．．22不是（不是（） A 、分数、分数 B 、小数、小数 C 、无理数、无理数D 、实数、实数2323．已知．已知n 为任意整数，则1)1)(2)(3(+---n n n n 表示的数是（表示的数是（ ） A 、一定是整数、一定是整数 B 、一定是无理数、一定是无理数C 、一定是有理数、一定是有理数D 、可能是有理数，也可能是无理数、可能是有理数，也可能是无理数2424．实数．实数b a ,满足在数轴上的对应点到原点的距离相等，则b a 和应满足（应满足（ ）A 、b a =B 、b a =C 、22b a =D 、1=ba2525．全体小数所在的集合是（．全体小数所在的集合是（．全体小数所在的集合是（ ） A 、分数集合、分数集合 B 、有理数集合、有理数集合C 、无理数集合、无理数集合D 、实数集合、实数集合实数快速练习B姓名： 成绩：# 1．已知5=x，则x等于（）等于（A、5B、2.2362.236、±2.236C、±5D、±# 2．下列命题中，正确的个数是（）．下列命题中，正确的个数是（①两个有理数的和是有理数①两个有理数的和是有理数②两个无理数的和是无理数②两个无理数的和是无理数③两个无理数的积是无理数③两个无理数的积是无理数④无理数乘以有理数是无理数④无理数乘以有理数是无理数⑤无理数除以有理数是无理数⑤无理数除以有理数是无理数⑥有理数除以无理数是无理数⑥有理数除以无理数是无理数A、0个B、2个C、4个D、6个# 3．已知4=x，3=y，则yx+的值为（）.的值为（7、±7、±1A、±1 B、±C、1或7D、1或-7# 4．一个数是它的倒数的6倍，则这个数是（）.倍，则这个数是（A 、6B 、±6C 、6D 、±、±6 6# 5．3、5、2p的大小关系是（的大小关系是（）.A 、253p<<B 、523<<pC 、532<<pD 、352<<p# 6．a 、b 的位置如图所示，则下列各式中有的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（意义的是（ ）. A 、b a + B 、b a -C 、abD 、a b -#7．16949的算术平方根的倒数的相反数是的算术平方根的倒数的相反数是 . .8．若0463=-+-y x ，则y x 23+= .# 9．计算=-22817 ，312726=- .ao b# 1010．数轴上表示．数轴上表示5-的点与原点的距离是的点与原点的距离是 . .# 1111．已知．已知a 、b 互为相反数，互为相反数，c c 、d 互为倒数，互为倒数， 求()222222233cd b a cdcd b a b a ++++++-的值的值. .# 1212．比较大小．比较大小．比较大小. . （1）37与8（2）101010--与p1313．已知．已知25-x 有意义，试求()0213156-+--+--x x x x 的值的值. .1414．在数轴上作出．在数轴上作出3的点。

初中数学竞赛精品标准教程及练习48非负数教程部分：第一章：数与式的认识1.数的认识和计算（十进制、分数、百分数）2.四则运算的规则和性质（加、减、乘、除）3.代数式的认识和计算（表达式、方程式）4.点、线、面的认识和性质5.常见数的表示方法（科学计数法、循环小数）6.数列的认识和性质（等差数列、等比数列）第二章：方程与不等式1.一次方程的解与应用2.二次方程的解与应用3.一元二次不等式的解与应用4.一次不等式的解与应用5.复合不等式的解与应用6.根与系数的关系第三章：几何与图形1.初中几何基本概念（点、线、面、角、圆）2.相交线的性质与应用（相交线、平行线、垂直线）3.三角形的性质与应用（等腰三角形、直角三角形）4.四边形的性质与应用（矩形、正方形、菱形、平行四边形）5.圆的性质与应用（圆心角、圆周角、弧）6.空间几何与图形的投影应用第四章：函数与图像1.实数的认识和性质2.函数的认识和性质（定义域、值域、图像）3.一次函数的性质与图像（斜率、截距）4.二次函数的性质与图像（开口方向、顶点坐标）5.指数函数与对数函数的性质与图像（增减性、单调性）6.函数的复合与反函数（复合函数、反函数的求解）第五章：统计与概率1.数据的整理和分析（频数、频率、分布图）2.中心与离散的认识和计算（平均数、标准差）3.概率的认识和计算（事件的概率、相互关系）4.抽样与调查的方法与应用（随机抽样、问卷调查）5.实际问题的建立与解决（应用统计与概率知识解决问题）练习部分：第一章练习题目50道，包括选择题、填空题、计算题等，针对数与式的认识和计算。

第二章练习题目50道，包括选择题、计算题、解答题等，针对方程与不等式的解与应用。

第三章练习题目50道，包括选择题、计算题、证明题等，针对几何与图形的性质和应用。

第四章练习题目50道，包括选择题、计算题、图像题等，针对函数与图像的性质和应用。

第五章练习题目50道，包括选择题、计算题、应用题等，针对统计与概率的计算和应用。

中考数学非负数专题讲座所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习：1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。

yy 初中数学竞赛专题培训第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3已知x，为实数，解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即(a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且(b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，的值．解u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．又因为xi为实数，所以经检验，原方程组的解为解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8已知方程组求实数x1，x2，…，xn的值．解显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得例9求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以≥△0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，≥△0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。

初中数学竞赛辅导资料（47-48）配方法 非负数 【附详细解答】配方法【甲】难点点拨1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝…… 这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.【乙】典型例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2（配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式：①347+； ②32-； ③223410+-. 解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+＝32+＝2＋3.②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2-＝2)13(2-＝226-.③223410+-＝2)12(410+-＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421.②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21)＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211.例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0. 解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组） (x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-012y x x∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方） ∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题） 解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解 解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项) （x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……【丙】模拟考场 1. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1. 2. 化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+；⑤324411-+； ⑥5353-++； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x . 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b a 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cb a 111++值的正负. （全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ； ③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5； ②x 2-6xy+y 2+10y+25=0. 【丁】答案精析1. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3） 3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－214. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。

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专题 4 初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1. 去绝对值符号法则2. 绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数，b 表示数轴上数 a 、数b 的两点间的距离3. 绝对值常用的性质① a 0 ② a2 a a2③ ab a b ④ a a b 0⑤ a b a b ⑥ a b a b例题与求解【例1】已知a 5,b 3，且a b b a，那么a b .祖冲之杯邀请赛试题）解题思路由已知求出a、b 的值，但要注意条件a b b a 的制约，这是解本题的关键例2】已知a、b、c均为整数，且满足a b10 a c 10 1，则a bA. 1B.2C.3D.4全国初中数学联赛试题）解题思路：a b10≥0，a c10≥0，又根据题中条件可推出 a b，a c中一个为0，一个为1.c ab ac bc abc c ab ac bc abc解题思路 ：根据 a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键希望杯邀请赛试题）【例5】设x 1, x 2 , x 3, x 4 , x 5 , x 6是六个不同的正整数，取值于 1，2，3，4，5，6.记S |x 1x 2||x 2 x 3| |x 3 x 4| |x 4 x 5| |x 5 x 6| |x 6 x 1|，求 S 的最小值 .（四川省竞赛试题）解题思路： 利用绝对值的几何意义建立数轴模型 .【例 6】已知（a b ）2 b 5 b 5，且 2a b 1 0，求 ab 的值.（北京市迎春杯竞赛试题）例 3 】 已 知 x 1 1 ＋2x 3x 2 2002x 2 2 ＋ x 3 3 ＋ ⋯ ＋ x 20022002 ＋ 2x2003 的值.解题思路：运用绝对值、 非负数的概念与性质， 的化简规律x 2003 2003 ＝ 0 ， 求 代 数 式先求出 x 1,x 2,x 3, ⋯，x 2002,x 2003的值，注意 2n 1 2n 例 4】设 a 、 b 、 c 是非零有理数，求2x 2解题思路：由2a b 1 0 知2a b 1 0，即b 2a 1，代入原式中，得(3a 1)2 2a 4 2a 4，再对3a 1的取值，分情况进行讨论A级1. 若m,n 为有理数，那么，下列判断中：1) 若m n，则一定有m n；2) 若m n，则一定有m n ；3) 若m n，则一定有m n ；4) 若m n，则一定有 2 m2( n)2；正确的是.(填序号)2.若有理数m,n, p满足m n p1，则2mnp.m n p 2mnp3.若有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图所示，则c 1 a c a b 化简后的结果是.4. 已知正整数a,b 满足b 2 b 2 0，a b a b 0，且a b，则ab的值是.四川省竞赛试题) 6. 如图，有理数a, b在数轴上的位置如图所示：则在a b,b 2a,b a,a b,a 2, b 4 中，负数共有( )A．3 个B．1 个C．4 个D．2个湖北省荆州市竞赛试题) 5.已知a 1,b 2, c 3,且a b c ，那么a b c2江苏省竞赛试题）求 b a d c 的值 . （希望杯邀请赛试题）B 级1.若 2 x 5，则代数式x 5 x 2 x的值为x 5 2 x xA ． 3 或 13B ．13 或－ 13C ．3 或－ 3D 8. 若 m 是有理数，则m m 一定是（ ）A ．零 B．非负数C ．正数D9. 如果 x 2 x 2 0，那么 x 的取值范围是（ ）A ． x 2 B． x2 C ． x 2 D10. a,b 是有理数， 如果a b ab ，那么对于结论（ 1） a 一定不是负数；（）A ．只有（ 1）正确B ．只有（ 2）正确C ．（1）（2）都正确D ．（1）（2）都不正确7. 若 a 8,b 5，且 a b 0，那么 a b 的值是（ ）－3 或－13负数x2（2）b 可能是负数，其中11. 已知 a,b,c 是非零有理数，且 abc0，求ab bcca的值.ca12. 已知 a,b,c,d 是有理数， a b 9,c d 16 ，且 a b c d 25 ，22. 已知a 1 ab 2 2 0 为. 那么 1ab11(a 1)(b 1) (a 2)(b 2)1的值(a2002)(b 2002)五城市联赛试题）希望杯邀请赛试题）创新杯邀请赛试题）希望杯邀请赛试题）湖北省黄冈市竞赛试题）3.数 a 在数轴上的位置如图所示，且 a 1 2，则 3a 7重庆市竞赛试题）4. 若 ab0，则ab的值等于ab5. 已知 (x5)6 0 ，则 y1 5xyx 2 x 36. 如果 0 15 ，那么代数式 x15p 15 在 p ≤ x ≤ 15 的最小值(A. 30B.0C.15D. 一个与 p 有关的代数式7. 设 k 是自然数，且 ka b 0，2 等于（ ）A.3B.2C.D. 22 k8. 已知 0 a4 ，那么 aa 的最大值等于（A ．1B ．5C ．D ．99. 已知 a,b,c 都不等于零，且abc，根据 a,b,c 的不同取值，abcx 有（A ．唯一确定的值B ．3 种不同的值C ．4 种不同的值D ．8 种不同的值10. 满足 a b b 成立的条件是A ． ab 0B ． ab 1C ． ab 0D ． ab 1中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1. 代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

自主招生：数的非负性【知识梳理】1、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。

即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（基础）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的几何意义：a b −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。

2、平方根()()00a a a a a ≥⎧⎪==⎨−<⎪⎩ ； 注意a的双重非负性：00a ≥≥⎪⎩ 3、数的平方和偶次方【例题精讲】例1：有________个实数x例2：数c b a 、、在数轴上对应位置如图所示， 其中O 为原点。

则代数式: =++−++−c a b c b a b 22)(__________。

例3：已知2(1)240,x y x y +−+−+=求35x y +得值。

• • • • a b c o x【同步练习】练习1：（1）若x 为1,2,3,,2014x 有_______个。

（2）对于正整数)(,r q r q p <与、，定义()()1p p q f p p p r ⎧+⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩当为偶数时当为奇数时， 则=−)35.1840()71.2001(f f _____________。

（3）写出所有满足等式2a b ab −+=的整数对(,)a b 。

（4）在有理数上定义运算“*”，其规则为22a b a b a b−*=+，则(31)(22)***= 。

练习2：（1）若a b c 、、均为有理数，且0a b c ++>，0abc <，当a b c x a b c=++时，则201320131x x +− = 。

（2）若a b c 、、为非零实数，且0,a b c ++=则a b b c c a a b b c c a++的值为（ ） （A ）1 （B ）1− （C ）3 （D ）3−（3）已知实数a满足2008a a −=，那么22008a −值是（ ）（A ）2009 （B ） 2008 （C ）2007 （D ）2006练习3：（1）若a b c 、、为实数， 22,2A a b π=−+22,3B b c π=−+22,6C c a π=−+证明：A B C 、、中至少有一个的值大于零。