备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法

湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿

一、一阶线性递推数列求通项问题

一阶线性递推数列主要有如下几种形式：

1.

这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，

则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．

2.

这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．

3.；

这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式

.

例１已知数列中，,求的通项公式．

解析：解法一：转化为型递推数列．

∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．

解法二：转化为型递推数列．

∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ②

②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x

2-x

1

=2，

公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．

当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为

求数列的通项公式.

解析：由已知得，则．

令=,则.比较系数，得.

即有．∴数列｛｝是以为首项，为

公比的等比数列，∴，故．

评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．

（4）

若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.

（5）；

这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.

例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式．

解析：设用代入，可解出．

∴是以公比为-2，首项为的等比数列．

∴，

即．

（6）

这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.

二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列

例５设数列求数列

的通项公式．

解析：由可得

设

故即用累加法得

或

例６在数列求数列的通项公式．

解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．

令使数列是以为公比的等比数列(待定)．

即∴对照已给递推式，有即的两个实根．

从而

∴①

或②

由式①得；由式②得．

消去．

例７在数列求．

解析：由①，得②．

式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故

==-1．

三、特殊的n阶递推数列

例８已知数列满足，求

的通项公式．

解析：∵①

∴②

②－①，得．∴故有

将这几个式子累乘，得

又

例9数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．解析：由①，得②．式①－式②，得，或，故有

.

∴,.

将上面几个式子累乘，得，即．

∵也满足上式，∴．

特征方程法求解递推关系中的数列通项

.

设已知数列的项满足

其中求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出

一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即

，其中是以为公比的等比数列，即

.

证明：因为由特征方程得作换元

则

当时，，数列是以为公比的等比数列，故

当时，，为0数列，故（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1已知数列满足：求

解：作方程

当时，数列是以为公比的等比数列.于是

例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.

当取何值时，数列是常数数列？

解：作方程则

要使为常数，即则必须

现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.

将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有

（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.

（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，

若则

若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，

其中

证明：先证明定理的第（1）部分.

作交换

则

①

∵是特征方程的根，∴

将该式代入①式得②

将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的

根于是③

当，即=时，由②式得故

当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：

④

由是方程的两个相同的根可以求得

∴

将此式代入④式得

令则故数列是以为公差的等差数列.

∴

其中

当时，

当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.