定积分在极限运算中的应用
胡 涛
(武汉军械士官学校基础部数学教研室/助教)
摘要：极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文利用定积分的定义式来解决一些复杂的和式极限的问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解。 关键词：定积分 极限运算 和式极限
一 引言
极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，二者关系十分密切，其中定积分的概念由极限的思想引出，数学上具体表述如下：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在
[,]a b 上可积，从而()f x 在[,]a b 上的任意积分和均以()b
a f x dx ⎰为极限，数学表达式为
1
()lim
()n
b i i a
i f x dx f x λξ→==∆∑
⎰
，其中1[,](1,2,,)i i i x x x i n -∆== ，1max i i n
x λ≤≤=∆，i ξ为
区间1[,]i i x x -上的任意一点。本文将利用定积分的定义式，通过一些巧妙的构造，去解决一些复杂的和式的极限问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解，增强学生的解题反思能力。
二 算例分析
下面我们通过两个例子来引入本文的观点：
例1、求极限1
1
lim
p n
p n i i n
+→+∞
=∑
，其中0p >为常数
解：首先将和式进行变形
1
1
1
1()
p n
n
p
p i i i
i
n
n n +===
∑∑
对于上述和式中的变量
(1,2,,)i i n n
= ，当n →+∞时，其取值范围为区间
[0,1]。令i x n
=
，则上述和式可以看成是函数()p
f x x =在区间[0,1]上的一个
积分和，即
1
1
1
1
()p n
n
p i i i i
f n
n n
+===
∑
∑
。 又因为()p
f x x =在区间[0,1]上可积，于是：
111
1
1lim
()1
p n
p
p n i i f x dx x dx n
p +→+∞
==
=
=
+∑
⎰
⎰
例2、求极限12lim
(sin
sin
sin )n n n
n
n
n
π
ππ→+∞
+++
解：首先将上述和式变形
1
121
(sin
sin
sin
)sin
n
i n i n n
n
n
n
n
π
πππ=+++=
∑
同上分析，显然上述和式是函数()sin f x x π=在区间[0,1]上的一个积分和，
即
1
1
11
sin
()n
n
i i i i f n
n
n n
π===
∑
∑
又因为()sin f x x π=在区间[0,1]上可积，于是：
10
1
12
lim
sin
sin n
n i i xdx n
n
πππ
→+∞
==
=
∑
⎰
这样，我们将两个复杂的和式极限问题转化成了两个简单的定积分问题。
通过上述两个例子，我们不难发现，在求某些和式极限的时候，我们首先要对和式结构进行分析，找出该和式是哪个函数的积分和，然后确定被积函数和积分区间，再借助定积分求出和式的极限。由于定积分定义式中的i ξ是取自每一个小区间
1[,](1,2,,)i i x x i n -= 上的任意一点，且和式的极限值与定义区间[,]a b 的分割及i
ξ的取法均无关，因此为方便计算，我们可以将定积分的定义区间[,]a b 分割成n 等份，i ξ取每个小区间的右端点，得到下面这个式子：
1
()()lim
()
n
b a
n i i b a b a
f x dx f a n n
→+∞
=--=+
∑
⎰
（1） 对于（1）式，只需确定式中,a b 和()f x 的值，就可以直接计算出和式的极限值。
三 应用
下面再通过两个例子来进行说明（1）式的应用。 例3、求极限111lim (
)1
2
x n n n n
→+∞
+
++
+++
解：首先将求极限的式子进行变形
1
1
1111111
2
1n
n
i i i n n n n
n i
n
n
==+
++
=
=
+++++
∑
∑
