2.2平面向量数乘运算及其几何意义.ppt
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2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
向量加减法向量的加减法平面向量加减法加减法运算加减法互为逆运算加减法简便运算小数加减法简便运算向量运算空间向量与立体几何向量的运算
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
《向量数乘运算》课件
几何意义
要点一
总结词
向量数乘运算的几何意义是标量$k$与向量$mathbf{a}$的 模长相乘，再根据$k$的正负确定几何意义可以理解为标量$k$与向量 $mathbf{a}$的模长相乘，即新的向量的长度是原向量长 度乘以标量$k$。同时，根据标量$k$的正负来确定新向量 的方向。当$k > 0$时，新向量的方向与原向量方向相同 ；当$k < 0$时，新向量的方向与原向量方向相反；当$k = 0$时，新向量为零向量。这种几何意义有助于直观理解 向量数乘运算的过程和结果。
实数与向量的数乘的几何意义
实数与向量的数乘的几何表示
实数λ与向量a的数乘在几何上表示将向量a的长度扩大或缩小λ倍，并改变其方 向。
实数与向量的数乘在几何上的应用
在物理、工程和科学实验中，实数与向量的数乘常用于描述力的合成与分解、 速度和加速度等物理量。
实数与向量的数乘的性质
1 2 3
实数与向量的数乘的模的性质
02
向量数乘运算的性质
线性性质
总结词
线性性质是指向量数乘运算满足线性组合的特性。
详细描述
向量数乘运算具有线性性质，即对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k_1, k_2$，有$(k_1 k_2)mathbf{a} = k_1(k_2mathbf{a}) = (k_2mathbf{a})k_1 = k_2(k_1mathbf{a})$。线性性质在向 量运算中非常重要，它使得向量数乘运算可以像标量运算一样进行简化。
乘运算来计算其合加速度。
实例三：向量的投影
向量的投影是向量数乘运算的一个重要应用
在物理和工程领域中，向量的投影是一个常见的概念 。通过向量数乘运算，可以方便地计算一个向量在另 一个向量上的投影。这有助于描述力的作用效果、速 度的方向变化等。例如，在机械工程中，当一个力作 用在物体上时，可以通过向量的投影来计算该力对物 体产生的旋转效应。在建筑学中，向量的投影可以用 来描述建筑结构在不同方向上的变形。
新教材高中数学第6章平面向量及其线性运算：数乘向量：向量的线性运算pptx课件新人教B版必修第二册
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)
A
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
向量数乘运算及其几何意义 课件
【变式训练 3】
已知向量 a 和向量 b,求作向量:
1
2
(1) − 2a;
(2)2a-b.
解:(1)作 = 2a, =
图1
1
, 连接AB,则
2
=
1
− 2a.如图
2
图2
(2)作 = 2a, =b,连接 AB,则 = 2a-b.
如图 2.
1.
题型四
共线问题
【例 4】 已知非零向量 a,b 不共线.
归纳总结向量 λ(μ1a+μ2b)可以用平行四边形法则作出,如图
, = (1a+μ2b).
(
【做一做 4】 在▱ABCD 中, = 2a, = 3b,则 等于
)
A.a+b
B.a-b
C.2a+3b
D.2a-3b
解析: = + = 2a+3b.
答案:C
共线向量定理的应用
15
15
2 2 4
2 4 26
=
- +
+ - - +
5 3 15
5 3 15
=0·a+0·b=0+0=0.
题型二 用已知向量表示未知向量
【例 2】 已知在▱ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若
=e1, =e2,试用 e 1,e 2 表示 , .
1
2
分析:由于 MN , 则用e1 与 e2 表示可得 ; 在△AMN
步骤:
(1)设 ma+nb=λ(ka+pb);
(2)整理,得 ma+nb=λka+λpb,故
向量数乘运算及其几何意义(课件)新
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩放，即通过乘以一个标量 系数来改变向量的长度或方向。这在数学中常用于向量的 标准化和归一化。
解决线性方程组
向量数乘可以用于解决线性方程组。通过将方程组中的向 量进行数乘运算，可以化简方程组的形式，便于求解。
描述向量的旋转
向量数乘可以用于描述向量的旋转。通过乘以一个旋转角 度的余弦值和正弦值，可以将一个向量旋转一定的角度。
负向量的数乘
负向量的数乘结果为该向量 的反方向。
向量数乘的运算规则
结合律
向量数乘满足结合律，即(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v) = k1 * k2 * v。
分配律
向量数乘满足分配律，即k * (v1 + v2) = k * v1 + k * v2。
单位元
任何非零标量都可以作为单位元，即e * v = v * e = v，其中e是单位元。
向量数乘运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘的几何意义 • 向量数乘的应用 • 向量数乘的扩展知识
01
向量数乘运算的定
义与性质
向量数乘的定义
向量数乘的定义
向量数乘运算是一种线性运算， 通过将标量与向量相乘，得到一 个新的向量。标量可以是实数或 复数。
02
向量数乘的几何意
义
向量数乘的长度变化
01
当数乘的系数为正数时，向量的长度会增大或缩小，但方向 保持不变。
02
当数乘的系数为负数时，向量的长度同样会增大或缩小，但 方向会反向。
03
数乘运算不会改变向量的起点和终点，因此向量数乘的长度 变化是相对的。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
一级达标重点名校中学课件
A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
一级达标重点名校中学课件
(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
一级达标重点名校中学课件
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
一级达标重点名校中学课件
3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
人教A版必修四 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(37张)
rr 和(- a )+(- a
)+(-
r a
)分
别如何简化其表示形式？
提示: ＋ ＋ 记为3 ，
（－ ）＋（－ ）＋（－ ）记为－3 .
r
r
r
思考3：向量3 a 和－3 a 与向量 a 的大小和方向有
什么关系？
r
a
rr
r
aa
a
OA
B
C
r
r
r
a
a
a
P
N
M
O
思考4：设
r a
为非零向量，那么
r
2 3
x，y，λ(x
r a
±y
r b
）可转化为什么运算？
提示:
rr
r
r
λ(x a ±yb ）=λx a ±λyb .
【即时训练】
已知A→B＝a＋5b，B→C＝－2a＋8b，C→D＝3(a－b)，则( B ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
=
提示:
（1）(ar ) ()ar
r a,
br，试作
uuur OA
rr a＋b，
《向量数乘运算及其几个意义》人教版数学高一年级下册PPT课件
2.数乘的几何意义 λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． [知识点拨](1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实数与向量可 以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义．
1
(2)对于非零向量 a，当 λ＝|a|时，λa 表示 a 方向上的单位向量．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb) 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
『规律总结』 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ， 使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量
倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘． 那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的
呢？
1．向量的数乘
定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向____量___，这种运算叫做向量的数 乘，记作 λa
长度 |λa|＝|λ||a| λ>0 λa 的方向与 a 的方向相____同____
方向 λ＝0 λa＝___0___ λ<0 λa 的方向与 a 的方向相____反____
(3)三角形的垂心：三角形三条高线的交点．
(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点．若 G 是△ABC 内一点，且满足G→A ＋G→B＋G→C＝0，则 G 是△ABC 的重心．
[解析] B→M＝31B→C＝61B→A＝61(O→A－O→B)
1
＝6(a －b )，
∴O→M＝O→B＋B→M＝b＋61a
1 15
－6b ＝6a ＋6b .
∵C→N＝31C→D＝61O→D，
向量的数乘运算及其几何意义PPT 演示文稿
②向量共线定理(a 0)
课外作业：
P92 A组习题11、12
课后思考：
1.证明:若A,B,C三点共线,则 PC PA (1 ) PB 2.证明:若 PC PA (1 ) PB ，则A,B,C三点共线。
3.在 ABC 中，已知D 是AB边上的一点，若 AD 2DB ，
课堂ห้องสมุดไป่ตู้业
1 CD CA CB ，则 等于（ A ） 3 1 2 1 A. B. C. 3 3 3
2 D. 3
4.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状， 并给出证明。 1 (1) AD BC ; ( 2) AD BC 3
为什么要是非零向量? a
a
。
3) 怎样理解向量平行？与两 直线平行有什么异同？
例题讲解:
例2.如图，已知任意两个向量 a、 b ，试作 OA a b,
OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？ C
a
b
3b 2b b
B A
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作： a .
几何意义吗? a 的积：
口答：
AC 5 则 C在线段AB上，且 CB 2
5 AC 7 AB 2 BC AB 7
数乘向量运算定律 : 结合律： ( a ) ( )a ; 第一分配律： ( ) a a a ; 第二分配律： ( a b ) a b .
探究： 已知非零向量
a
a ，作出 a a a
o
N
a
a
高一数学必修4课件：2-2-3向量数乘运算及其几何意义
→ → 1→ PN ，则选项A，C，D不正确，很明显MP ＝ 2 MN ，则选项B正 确．
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
4．向量的线性运算
加、减、数乘 向量的________________运算统称为向量的线性运算，
对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a± 2b)＝ μ λμ1a± 2b. λμ
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
已知非零向量a，b满足a＝4b，则( A．|a|＝|b| C．a与b的方向相同 B．4|a|＝|b|
)
D．a与b的方向相反
[答案] C
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
定义 长度 方 向 λ>0 λ＝0 λ<0
向量 一般地，实数λ与向量a的积是一个____，
这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向______ 相同 λa＝0 λa的方向与a的方向_____ 相反
第二章
第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
第二章
2.2
2.2.3
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
新人教A版必修二 向量数乘运算及其几何意义 课件(22张)
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使____b_=_λ__a_____.
4.向量的线性运算 向量的___加__、__减__、__数__乘______运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b, 以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__λ__μ__1_a_±__λ__μ__2_b_S_S_.
解:法一 连接 AF.因为 AC = AB + BC =a+b,E 是 AC 的中点,所以 AE = 1 AC = 1 (a+
2
2
b).又因为 BD = BC + CD =b+c,F 是 BD 的中点,所以 BF = 1 BD = 1 (b+c),所以 AF = 22
AB + BF =a+ 1 (b+c),所以 EF = AF - AE =a+ 1 (b+c)- 1 (a+b)= 1 (a+c).
2
= 3 AB - 1 AC .故选 A.
4
4
题型三 向量共线定理的应用 【例 3】 设 a,b 是不共线的两个非零向量. (1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A,B,C 三点共线;
(1)证明:因为 AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2 AB , 所以 AB 与 BC 共线,且有公共点 B,所以 A,B,C 三点共线.
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有( B ) (1)a与-λa的方向相反;(2)︱-λa︱≥︱a︱; (3)a与λ2a方向相同;(4)︱-2λa︱=2︱λ︱︱a︱. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.向量的线性运算 向量的___加__、__减__、__数__乘______运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b, 以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__λ__μ__1_a_±__λ__μ__2_b_S_S_.
解:法一 连接 AF.因为 AC = AB + BC =a+b,E 是 AC 的中点,所以 AE = 1 AC = 1 (a+
2
2
b).又因为 BD = BC + CD =b+c,F 是 BD 的中点,所以 BF = 1 BD = 1 (b+c),所以 AF = 22
AB + BF =a+ 1 (b+c),所以 EF = AF - AE =a+ 1 (b+c)- 1 (a+b)= 1 (a+c).
2
= 3 AB - 1 AC .故选 A.
4
4
题型三 向量共线定理的应用 【例 3】 设 a,b 是不共线的两个非零向量. (1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b,求证:A,B,C 三点共线;
(1)证明:因为 AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2 AB , 所以 AB 与 BC 共线,且有公共点 B,所以 A,B,C 三点共线.
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有( B ) (1)a与-λa的方向相反;(2)︱-λa︱≥︱a︱; (3)a与λ2a方向相同;(4)︱-2λa︱=2︱λ︱︱a︱. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.2.3[向量数乘运算及其几何意义]课件(新人教a版必修4)
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２．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：
AB DC 2EF
建议课后作业:
P 101 T9、T10、 T11
a 的方向与 a 的方向 （2）当 0 时， 相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方
向相反；特别地，当 0时， a 0
（ 1） a a
2、实数与向量积的运算律
3(2a ) = 6 a
a
2a
3(2a )
6a
（） 1 ( a) ( )a
3 AC
∴
AC 与 AE 共线．ห้องสมุดไป่ตู้
思考:
判断下列各小题中的向量a与b是否共线: (1)a 2e, b 2e; (2) a e1 e2 , b 2e1 2e2
练习强化
1.已知 , R,则在以下各命题中,正确的命题共有(Ｄ ) (1) <0,a 0, a与a方向一定相反; (2) 0, a 0, a与a方向一定相同; (3) 0,a 0, a与a是共线向量; (4) >0,a 0, a与 a方向一定相同; (5) <0,a 0, a与 a方向一定相反; A.2 B.3 C.4 D.5
数与向量积
看书P97~99 (限时5分钟)
学习目标
1、实数与向量积的定义 2、实数与向量积的运算律
3、向量 与非零向量 a共线 的充要条件
b
一只兔每次位移向量
a
,
3次位移多少?
3a
n(n N )次位移多少?
na
位移与速度的关系：
s = tv
1、实数与向量积的定义
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A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
书本P91，A组，9,10 B组,3
并进行比较。 a
3(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
二、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a) ( )a;
(2)( )a a a;
(3) (a b) a b.
特别地:（ ）a a a b a b
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
三、向量共线定理：
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
（1） | a || || a |;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3) 4a
12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
5b
(3)(2a
3b
c
)
(3a
2b
c)
a 5b 2c
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
a
3a a a a
O
A
B
C
3a与 a 方向相同 且 3a 3 a
类比上述结论，(a) (a) (a) 又如何呢？
3a a a a
N
M
Q
P
3a与 a方向相反
且 3a 3 a
一、向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量 a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a，它的长度和方向
规定如下：
例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB a, AD b ，你能用 a 、b 来表示MA、MB、MC 和 MD 。
D
C
M
b
A
a
B
练一练: 书本P92,11题
练习：
C
D
①②④
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2，如果 AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
设e1,e2是两个非零向量，AB 2e1 ke2,CB e1 3e2, CD 2e1 e2，若A、B、D三点共线，求k的值.
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾顺次连，起点 指终点
C ab b
A
a
B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
Ba
b
a
b
C b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
B
b
BA a b
b
O
aA
作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出a a a ,你能发现什么？
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE
A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OA a b,
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b