传热学第四章

( x, ) x cos(1 ) m ( )
与时间无关
当 F0 0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。
半无限大物体的非稳态导热
半无限大物体的概念 几何上是指x=0的界面开始可以向正 的x方向及其他两个坐标（x，y）方 向无限延伸的物体，称为半无限大物 体。
3 半无限大的物体
n 2
2
因此
( x , ) 是F0, 0
Bi 和
x

函数，即
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
注意：特征值 n 特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况
对无限大平板 当F
0
F0 a 2
0.2
取级数的首项，板中心温度，误差小于1%
过余温度比

a Biv Fov 2 (V A)
Biv
h(V A)

a Fov (V A) 2
Fov
是傅立叶数
hA Vc
e 0
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
Biv Bi Bi Biv 2 Bi Biv 3
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ=const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写：
导热微分方程
初始条件
2 t t ( 0 x , 0 ) a 2 x
1 即与
的量纲相同，当

Vc
hA
时，则
hA 1 e 36.8% 1 此时， Vc 0
Vc 上式表明：当传热时间等于 hA 时，物体的过余温度已经 达到了初始过余温度的36.8％。称 Vc 为时间常数，用 c hA 表示。
c
0
1 e 36.8% 0
一、瞬态非稳态导热
温度分布
t
H
1
G
F E C D
t
0
A
B
温度分布变化的阶段划分与特点
非正规状况阶段 （不规则情况阶段）
温度分布主要受初始 温度分布控制，温度 随时间的变化率处处 不同 温度分布主要取决于 边界条件及物性，温 度随时间的变化率具 有一定的规律 温度的变化不再 随时间变化
正规状况阶段 （正常情况阶段）
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短 的时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。
(3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
两个重要参数:
① 几何位置 对一原为2δ的平板，若
若y 2

x 4 a
4 a
无量纲变量

x 4 a
0
e
y2
d erf ( x
4a )
无量纲 坐标
其中， 数

x 4 a
，
erf ( )
为误差函
，它随 的变化而变化
说明
无量纲就是没有单位的量，一般而言热血中设计到很多的统 计性数据，这些数据就是没有单位的，只具有统计学术上的 意义。
(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关.
新稳态阶段
热量变化
热流量不相等 过程的进行差 距越来越小
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
热扩散率a
物理内部温度变化率的大小，取决于 边界条件影响向内传播的速率。
a
c
对于瞬态非稳态导热：a越大，意味着不规则情况阶段和正 常情况阶段所需时间越短，即加热或加冷过程所需时间越 短。 对于周期性非稳态导热：a越大意味着温度波衰减及时间延 迟程度越小，传播速度越快。
t ( x, ) tw 则有：
2 a 2 x
0时， ( x,0) 0 t0 t w x 0时, (0, ) t w t w 0 x 时， (, ) t0 t w
t tw 2 0
即可作为半无限大物体来处理
② 时间
若
y2

x2 2 16a
对于有限大的实际物体，半无限 大物体的概念只适用于物体的非稳态 导热的初始阶段，那在惰性时间以内 即任一点的热流通量：
1 q x 0 x a
e
2 x
4 a
令 x0
即得边界面上的热流通量
0 a
应用集总参数法时，物体过余温度的变化 曲线
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间

Fo越大，热扰动就能越深入地传播到 物体内部，因而，物体各点地温度就 越接近周围介质的温度。
( x, ) 2 sin 1 x cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
(0, ) m ( )
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2 n
a ( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
1 非稳态导热的定义 物体的温度随时间而变化的导热过 程称非稳态导热。 2 非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
基本特点： 任何非稳态过程必伴随着加热或冷却 的过程 t 0

可分为周期性和非周期性 热流方向上热流量处处不等
已知半无限大物体初始温度均匀为t0，当 0 时， x=0侧表面温度突然提升到tw，保持不变 ，确定 物体温度变化时间，和在时间间隔内的热流量。
t 2t a x 2 t tw x 0 t t0
0
t
tw
t0
x
x , t ( x, ) t0
引入过余温度：
第四章
非稳态导热
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点；
② 集总参数法的基本原理及应用；
③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：
① 确定瞬时温度场的方法；
② 确定在一时间间隔内物体所传导热 量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
控制方程 初始条件
hA 方程式改写为： Vc d
d
d
hA d Vc
hA ln 0 Vc
积分
hA 0 Vc 0 d

d

t t e 0 t0 t

hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
qw
[0,]内累计传热量
q 0 qwdz 2

c 0
吸热系数
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为tf的流体中。
当物体被冷却时（t >tf）,由能量守 恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
d hA - Vc d ( 0) t0 t 0
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规 律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c
t t t t ( ) ( ) ( ) Pv x x y y z z
集总参数法的应用条件
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
h(V A)
Biv

Fra Baidu bibliotek.1M
M是与物体 几何形状 有关的无量 纲常数
对厚为2δ的
无限大平板
对半径为R的无限 长圆柱 对半径为R的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 3 R V R 3 2 A 4R 3
Bi准则对温度分布的影响
当Bi→∞时，rh→0，相当于第一类边界条 件，即tw=tf；定向点在壁表面 当Bi→0时，r→0 ，任一时刻物体内t分布 均匀，即t=f（） ,零维分布；定向点在壁 表面无穷远处； 0<Bi<∞，t分布介于上述两种极限之间。
二、集总参数法 Bi→0 1 定义：忽略物体内部导热热阻、认 为物体温度均匀一致的分析方法。 此时，Bi→0，温度分布只与时间有 t f ( ) 关，即 ,与空间位置无关，因 此，也称为零维问题.
0 x h x
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2 n
此处Bn为离散面(特征值) 若令
n n
则上式可改写为：
3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无 量纲数。 4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
Bi对温度分布的影响
当Bi→∞时，
当Bi→0时， ，，因此，可以忽略对流换热热阻 1/ h / / 1/ h，因此，可以忽略导热热阻
d r r rh
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变 换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法 、分子动力学模拟
无线大平壁的瞬态导热
1）毕渥数的定义：
h Bi 1h

毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部 温度场的分布规律。
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
2 n
a
2
μn为下面超越方程的根
ctg n
h
n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
t t0
t 0 x

0
边界条件
x0
x
t h(t t ) x
(对称性 )
引入变量－－过余温度
令 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a 2 x
0 x , 0
0
x0 x
0