高三数学综合测试题试题以及答案

韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。

高三数学试题（文 ）一、选择题1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为 （ ）A ．（1，2）B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 （ ）A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．21,2 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，若==84,1S S 则 （ ）A ．17B ．171 C ．5 D ．51 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，则点),(n m P 在直线4=+y x 上的概率是（ ）A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为１，等腰三 角形的腰长为5，则该几何体的体积为（ ）A ．32πB ．34π C ．π2D ．π46．已知复数z 满足i izi z 431+=-+⋅（i 是虚数单位）， 则=z （ ） A ．i +3 B ．i -3 C ．i 32-D ．i 34-7．已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA 2=⋅AC AB ，且,60︒=∠BAC 则OBC ∆的面积为（ ）A ．21 B ．33 C ．23 D ．32 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于（ ）A ．39B ．20C ．19D ．10 9．设函数='=≠+=003),(3)3(),0(31)(x x f f a bx ax x f 则若 （ ）A ．1±B ．2C ．3±D ．21 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … … …10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20102009，则判断框内应填入的条件是 （ ） A ．?2008=i B ．?2009>i C ．?2010>iD ．?2012=i11．过抛物线x y 22=的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条12．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围是（ ）A ．]10,2[-B ．]16,2[-C ．]10,4[D ． [4，16] 二、填空题13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为 。

浙江省春晖中学2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．32．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞3．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥9．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．,1)3C ．(0,]3D ．[311．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届高三综合自主测试（9月）数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()(){}140A x x x =+-<，{}20B x x a =+<，且{}13A B x x ⋂=-<<，则a =（）A.6B.4C.4- D.6-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】{}14A x x =-<<，2a B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，∵{}13A B x x ⋂=-<<，∴32a-=，∴6a =-，故选：D.2.已知111i iz =-+，则z =（）.A.B.2C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由111i 1i iz =-=++，得()21i 2i z =+=，则2i z =-，所以2z =.故选：C .3.已知()()πsin 3f x x ωω⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N 的图象与直线y a =在区间[]0,π上存在两个交点，则当ω最大时，曲线()y f x =的对称轴为（）A.ππ244k x =+，k ∈Z B.ππ305k x =+，k ∈Z C.5ππ244k x =+，k ∈Z D.ππ65k x =+，k ∈Z【答案】D 【解析】【分析】先根据条件求出ω的取值范围，再求出对称轴.【详解】当[]0,πx ∈时πππ,π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要使得()f x 的图象与直线y a =存在两个交点，则ππ11ππ232ω<-<，解得53566ω<<，又因为N ω∈，所以{}1,2,3,4,5ω∈，所以max 5ω=，此时曲线()y f x =的对称轴为ππ5π32x k -=+，k ∈Z ，解得ππ65k x =+，k ∈Z ，故选：D 4.函数()x x f x -=）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设())ln g x x =，对任意R x ∈x x >≥，0x ->，所以()g x 的定义域为R ，())lng x x-=xx+=)()lnx g x ==--=-，所以函数())ln g xx =为奇函数.令())ln 0gx x ==，1x -=1x =+，所以10x+≥，可得1x ≥-，1x =+可得()2211x x +=+，解得0x =，所以()x x f x -={}0x x ≠，又()()()2222()x x x xg x x g x --++--==-=-，所以函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x>时，)lnx =是减函数，则))lnln0ln10x <==，220x x -+>，所以()0f x <，排除A 选项.故选：C5.若平面单位向量a ，b ，c 满足π6a b = ，，0b c ⋅=，0a c ⋅< ，则2b c a c+=+（）A.B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据题意确定2,3a c π= ，得到12a c ⋅=-，再根据2b c a c+=+进行求解，或在平面直角坐标系中设出a ，b ，c的坐标，利用坐标运算进行求解．【详解】解：法一由,6a b π= ，0b c ⋅= ，0a c ⋅< 得2,623a c πππ=+= ，所以12a c ⋅=- ，所以2b c a c +==+ ，故选：A ．法二由题意可设()1,0a =，1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()cos ,sin c αα= （02απ≤<），则31cos sin 022b c αα⋅=+=，得tan α=，又cos 0a c α⋅=< ，则2π3α=，故13,22c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以2b c a c+=+故选：A6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图（2），砖雕厚度为6cm ，80cm AD =， 3CDAB =， CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：2cm ）（）A.3200πB.480π960+C.6880π960+D.3680π960+【答案】C 【解析】【分析】先求出 60πcm CD =， 20πcm AB =，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABCD 的面积可得该梅花砖雕的表面积.【详解】延长DA 与CB 交于点O ．由 3CDAB =，80cm AD =，得40cm OA =，120cm OD =．因为 CD 所对的圆心角为直角，所以 60πcm CD =， 20πcm AB =．所以该梅花砖雕的侧面积 ()()26480π960cm S CDAB AD BC =+++=+侧，扇环ABCD 的面积为()()2221π120π403200πcm 4⨯-⨯=，则该梅花砖雕的表面积()2480π96023200π6880π960cm S =++⨯=+表面积．故选：C ．7.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为()00,M x y ，且0||21,(,2)AB x Q t t =+--，若点P 在抛物线C 上，则||PQ 的最小值为（）A.324B.322C.334 D.32【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，()00,M x y ，从而得到1202x x x +=，利用抛物线的定义得到0||2AB x p =+，解得1p =，根据题意可知点Q 在直线:20l x y ++=上，故将||PQ 的最小值转化为求与l 平行的切线与直线l 之间的距离.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点为()00,M x y ，得1202x x x +=，由抛物线的定义可得120||2AB x x p x p =++=+，又0||21AB x =+，所以1p =，故抛物线C 的方程为22y x =．易知点Q 在直线:20l x y ++=上，设与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为0x y m ++=，由202x y m y x++=⎧⎨=⎩，可得22(22)0x m x m +-+=，则22(22)40m m ∆=--=，得12m =，则切线与直线l 之间的距离即||PQ 的最小值，故||PQ324=．故选：A8.已知数列{}n a 满足1111113,2,4(1)(n n n n n n a a a b a a +++=-==-+，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，则λ的取值范围为（）A.1(,)10+∞ B.1(,)5+∞ C.11(,)102D.12(,55【答案】D 【解析】【分析】求出数列{}n a 的通项，再分奇偶求出n T 半探讨其范围，并建立关于λ的不等式求解即得.【详解】由113,2n n a a a +=-=，得数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，则21n a n =+，于是1111(1)(42123n n b n n +=⨯-⨯+++，当n 为偶数时，1111111111111435577991121212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111()4323n -+，当n 为奇数时，111114325n n n T T b n ++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭111111()()423254323n n n +=++++，当n 为偶数时，1111()432312n T n =-<+；当n 为奇数时，11112()432315n T T n =+≤=+，因此()max 215n T =，由不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，得225153λλ<-，即2320525λλ-+<，解得1255λ<<，所以λ的取值范围为12(,)55.【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等．二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0,0a b >>，直线12:(2)10,:20l x a y l bx y +-+=+-=，且12l l ⊥，则（）A.01ab <≤B.2≤ C.222a b +< D.23b a b+≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用12l l ⊥，找到2a b +=，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2l l b a a b ⊥∴⨯+-⨯=∴+= ，且0,0a b >>，所以2012a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；22()4a b a b +=+++=，当且仅当a b =时等号成立，2≤，故B 正确；222222(2)2442(1)22a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，故C 错误；2113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即1a b ==时等号成立，故D 正确．故选：ABD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱11D A 、11D C 、1A A 上，满足11111114D E D F D A D C ==，11(0)A GA Aλλ=>，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为l ，则（）A.存在(0,1)λ∈使得平面EFG 截正方体所得截面图形为四边形B.当34λ=时，三棱锥B EFG -体积为32C.当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球表面积为34πD.当12λ=时，直线l 与平面ABCD所成的角的正弦值为33【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，对λ分情况讨论，图形展示即可；对于B ，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，得出1//C B 平面EFG ，利用等体积可求体积；对于C ，当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球心在过线段E 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，可求出2r =，得表面积；对于D ，求出l 的方向向量与平面ABCD 法向量，利用向量公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为4，以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A 选项，1λ=时，G 在A 点，11111114D E D F D A D C ==，由11//EF A C 可知//EF AC ，所以截面EFG 即为四边形EFCA ；(0,1)λ∈由图形知，截面EFG 为五边形或六边形．故A错误．对于B 选项，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，所以11////EG D A C B ，所以1//C B 平面EFG ，11B EFG C EFG G C EF V V V ---==，又1GA ⊥平面1EFC ，所以11111133133322G C EF C EF V S GA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，三棱锥B EFG -体积为32，故B 正确．对于C 选项，当34λ=时，11A G A E =且11A B ⊥平面1A EG ，所以根据球的性质容易判断，三棱锥1A EFG -的外接球的球心在过线段EG 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，(1,0,4)E ，(4,0,1)G ，所以EG 的中点55,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，可记球心55,,22O t ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,4)F ，外接球的半径r OE OF ====52=t，2r =，所以三棱锥1A EFG -的外接球表面积为43π，故C 错误．对于D 选项，当12λ=时，(4,4,0)B ，1(0,4,4)C ，(4,0,2)G ，(1,0,4)E ，(0,1,4)F ，所以1(4,0,4)BC =- ，(3,0,2)GE =- ，(1,1,0)EF =- ，设平面EFG 的一个法向量为()111,,p x y z =，则11113200p GE x z p EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则12y =，13z =，所以可取(2,2,3)p = ，由1⊥BC 平面11A B CD 知，平面11A B CD 的法向量为1(4,0,4)BC =-，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线l 的一个方向向量为()222,,m x y z =，则2221222230440m p x y z p BC x z ⋅=++=⎧⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令22x =，则25y =-，22z =，所以可取(2,5,2)m =- ，又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =，则2m n ⋅=r r，m =，1n =，设l 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,33m n m n m n θ⋅=〈〉===，故D 正确．故选：BD ．11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f x g x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令1x =-，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知n ∈Z ，且36n ≤≤，若31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则展开式中4x -的系数为______.【答案】6【解析】【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定4n =，再求出展开式中含4x -的项即可得解.【详解】31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为341(1)C (1)C r r n r r r r n r r n n T x x x ---+=-⋅=-，36n ≤≤因为存在常数项，所以4n r =，故只有当1,4r n ==时满足题意，即求431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含4x -的项的系数，令444r -=-，即2r =，所以展开式中含4x -的项为22444(1)C 6x x ---=，所以展开式中4x -的系数为6.故答案为：613.已知()f x 是定义域为(4,4)-的奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x 轴上方的部分恰好是()y f x =图像的一部分，则()f x 的解析式为___________.【答案】()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩【解析】【分析】求出给定圆的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出()f x 的解析式.【详解】以点()2,0为圆心，半径为2的圆的方程为22(2)4x y -+=，则该圆在x轴上方的部分的方程为)04y x =<<，由()f x 是奇函数，得(0)0f =，当(4,0)∈-x 时，(0,4)x -∈，()()f x f x =--=，所以()f x 的解析式为()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩.故答案为：()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩14.如图，对于曲线G 所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线G 上的任意两个不同的点,A B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线G 的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G 的相对于点O 的“确界角”.已知曲线C ：12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩（其中e 是自然对数的底数），点O 为坐标原点，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则sin β=____________.【答案】1【解析】【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.【详解】函数12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，因为110,0()e x x y x -'=>>+，所以该函数在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.过原点作1e 1x y x -=+的切线，设切点()1111,e1x A x x -+，由()11e x y x -=+'，则切线OA 的斜率为()11111e x k x -=+，直线()()()1111111:e11e x x OA y x x x x ---+=+-过()0,0，∴()11112111e1e x x x x x ----=--，∴11211e 10(0)x x x --=>，即1121e x x --=，由函数1e x y -=与2y x -=的图象在(0,)+∞有且只有一个交点，且当11x =时满足方程，故方程有唯一解11x =，则12k =；过原点作21116y x =+的切线，设切点2221,116B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由81y x '=，得切线OB 的斜率2218k x =，则切线()222211:1168OB y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭过原点(0,0)，则有22222)11116(80x x x -=≤--，∴24x =-，则212k =-，则有121k k =-，∴两切线垂直，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则π2β=，sin 1β=.故答案为：1.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为45，参观科技展的学生中女生占13．（1）根据已知条件，填写下列22⨯列联表，试根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．参观科技展未参观科技展合计男生女生合计（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X 表示女生人数，求X 的分布列和数学期望．参考公式和数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0．10．050．0250．010．001a x 2．7063．8415．0246．63510．828【答案】（1）列联表见解析，与性别有关（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解，（2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.【小问1详解】因为男生参观科技展的概率为45，所以参观科技展的男生人数为440325⨯=．因为参观科技展的学生中女生占13，所以参观科技展的人数为3248113=-．则参观科技展的女生人数为483216-=．结合男、女生各有40人，填写22⨯列联表如下：参观科技展未参观科技展合计男生32840女生162440合计483280零假设为0H ：学生参观科技展情况与性别无关．根据列联表中的数据，计算得到()228032248164013.333 6.635404048323χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．【小问2详解】用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()6084612C C 10C 33P X ===，()5184612C C 81C 33P X ===，()4284612C C 52C 11P X ===，()3384612C C 83C 33P X ===，()2484612C C 14C 33P X ===．所以X 的分布列为X 01234P 133833511833133所以()185810123423333113333E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．16.在ABC V 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC V 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．（1）求角A ．（2）若ABC V 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角A 即可.（2）利用余弦定理得到2225b c +=，再结合向量中线定理转化求解即可.【小问1详解】由题意得2sin2cos cos2sin 13sin A B A B S b B +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()22222cos sin 2sin cos cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin A A B A A B A B A C b b b B B B++=⋅=⋅=⋅，由正弦定理，得2432cos 3c A S b b =⋅，即431sin 2cos 32bc A bc A ⨯=，所以tan A =．又()0,πA ∈，所以π3A =．【小问2详解】因为ABC V 的面积为所以1πsin 23bc =，所以12bc =．因为a =，所以22π2cos 133b c bc +-=，即2213b c bc +-=，所以2225b c +=．因为D 是边BC 的中点，所以()12AD AC AB =+ ，所以()()2222211372cos 444AD b c bc A b c bc =++=++= ，所以2AD =uuu r ，所以AD 的长为2．17.如图（1），在ABC V 中，CD AB ⊥，224BD CD AD ===，点E 为AC 的中点．将ACD 沿CD 折起到PCD △的位置，使DE BC ⊥，如图（2）．（1）求证：PB PC ⊥．（2）在线段BC 上是否存在点F ，使得CP DF ⊥？若存在，求二面角P DF E --的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，64【解析】【分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得DE ⊥平面PCB ，即得DE PB ⊥；同法再证CD ⊥平面PDB ，得CD PB ⊥；则得PB ⊥平面PCD ，故PB PC ⊥；（2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由CP DF ⊥求得()DF = ，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得.【小问1详解】依题意可知点E 为PC 的中点，2PD CD ==，所以DE PC ⊥．又DE BC ⊥，BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PCB ，所以DE ⊥平面PCB ．又PB ⊂平面PCB ，所以DE PB ⊥．依题意可知CD PD ⊥，CD BD ⊥，BD PD D = ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以CD ⊥平面PDB ．又PB ⊂平面PDB ，所以CD PB ⊥．因为CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面PCD ，所以PB ⊥平面PCD ．又PC ⊂平面PCD ，所以PB PC ⊥．【小问2详解】由题意，得PC AC ===，BC ==，由（1）PC PB ⊥，所以PB ==．以点D 为坐标原点，DP ，DC 所在直线分别为x 轴、z 轴，过点D 且平行于PB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()2,0,0P ，()0,0,2C ，()1,0,1E ，()2,B ．所以()2,0,2CP =- ，()2,0,0DP = ，()1,0,1DE = ．设()01BF tBC t =≤≤，即()2,,2BF tBC t t ==--，则()22,,2F tt -，()22,,2DF t t =- ．若存在点F ，使得CP DF ⊥，则480CP DF t ⋅=-=，解得12t =，则()DF = ．设平面PDF 的法向量为()111,,m x y z = ，则11110,20.m DF x z m DP x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11y =，得10x =，1z =，所以平面PDF 的一个法向量为(0,1,m = ．设平面DEF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220,0.n DE x z n DF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令21x =，得20y =，21z =-，所以平面DEF 的一个法向量为()1,0,1n=- ．所以6cos ,4m n m n m n ⋅=== ．由图可知，二面角P DF E --为锐角，故二面角P DF E --的余弦值为4．18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点()2,0-．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q（点Q 不与F 的顶点重合）．若12HQ k QA k QB == ，1283k k +=-，试求出点Q 所有可能的坐标．【答案】（1）C 为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-（2）()2,0或()2,0-【解析】【分析】（1）设()00,T x y ，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；（2）设出H ，Q 的坐标，根据向量的坐标运算得到A ，B 的坐标，将点A ，B 的坐标代入F 的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及1283k k +=-建立方程，解方程即可【小问1详解】设C 上任意一点()00,T x y ，00x <，光线从点N 至点2,0的光程为1δ，光线穿过凸透镜后从T 点折射到点2,0的光程为2δ，则115δ==，()20221x δ=⨯++，由题意得12δδ=，得()0225x ++=，化简得012x -=，2220000014444x x x x y ∴+-=+-+，220013y x ∴-=．令00y =，得01x =-，C ∴为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-．【小问2详解】由题意知22:13y F x -=．设()0,H n ，()(),01Q m m ≠±，(),A A A x y ，(),B B B x y ，则(),HQ m n =- ，(),A A QA x m y =- ，(),B B QB x m y =- ，12HQ k QA k QB == ，()11A A m k x m n k y ⎧=-∴⎨-=⎩，()22B Bm k x m n k y ⎧=-⎨-=⎩，易知10k ≠，20k ≠，得111A A mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，222B B mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即111,mk mn A k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，222,mk m n B k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．将点A 的坐标代入2213y x -=，得22222112211213m k m k m n k k ++-=，化简整理得()22222111203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．同理可得()22222221203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，1k ∴与2k 为方程()222221203n m x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两个解，212221m k k m ∴+=--．由题知1283k k +=-，222813m m ∴-=--，解得2m =±，∴点Q 的坐标可能为2,0或()2,0-.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系，关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k 的二次方程，结合韦达定理求解.19.已知函数()()21e 2e 22x x f x a ax =+--．（1）若曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．（2）若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．（3）当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．【答案】（1）1a =，单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞（2）(),2-∞-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与4210ax y ++=对比可得1a =，即可利用导数的正负确定函数单调性，（2）求导得()()()e e 2x x f x a =+-'，即可对a 分类讨论求解导数的正负求解单调性，（3）将不等式变形为只需要证明222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--，构造函数()2215e 2e 222x x h x x =+--，利用导数求证()0h x >，构造函数()ln x t x x =和()2e 12x x x ϕ=+，利用导数分别证明()()x t x ϕ>，即可求证21ln e 02x x x x >--，进而可求解.【小问1详解】由题意，得()()2e 2e 2x x f x a a -'=+-，所以()01f a '=--．因为曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()312y a a x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又4210ax y ++=，所以21a a -=--，所以1a =．所以()()()2e e 2e 2e 1x x x x f x =--=-+'．令()0f x '<，得ln2x <；令()0f x '>，得ln2x >．所以函数()f x 的单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞．【小问2详解】由题意得()()()()2e 2e 2e e 2x x x x f x a a a =+--=+-'．当0a ≥时，令()0f x '>，得ln2x >；令()0f x '<，得ln2x <．所以()f x 在(),ln2-∞上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，此时()f x 只有极小值，不符合题意．当a<0时，令()0f x '=，得1ln2x =，()2ln x a =-．因为()f x 的极大值为()ln2f ，所以()ln2ln a <-，解得2a <-．综上，a 的取值范围为(),2-∞-．【小问3详解】当0a =时，()21e 2e 2x x f x =-．要证()2535e ln 22x f x x x x +->+，即证22135e 2e ln e 222x x x x x x +-->-，只需证222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--．先证：2215e 2e 2022x x x +-->，0x >．设()2215e 2e 222x x h x x =+--，0x >，则()2e 2e 4x x h x x =+-'．设()2e 2e 4x x m x x =+-，0x >，则()()()22e 2e 42e 1e 20x x x x m x =+-=+'->．所以函数()m x 在()0,∞+上单调递增，则()()030m x m >=>，即()0h x '>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，所以2215e 2e 2022x x x +-->．再证：21ln e 02xx x x --<，0x >，即证2ln e 12x x x x <+．设()ln x t x x =，则()21ln x t x x -'=．当()0,e x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 单调递减．所以()()1e et x t ≤=．设()2e 12x x x ϕ=+，0x >，则()()32e x x x xϕ-'=．当()0,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增．所以()()2e 1242x ϕϕ≥=+．所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x ≤<+≤+，即2ln e 12x x x x <+．综上，222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--得证．故()2535e ln 22x f x x x x +->+．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2023年茂名市高三级第一次综合测试数学参考答案一、单选题：4.【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中，2510C =5.【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为α，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为2的等腰三角形，所以2211sin sin 22l αα=⨯⨯=sin α=π3α=或2π3α=．由2π3α=得，πcos cos 23h l α==，πsin sin 323r l α===，则上半部分的体积为22311ππ333r h =⨯=，下半部分体积为218r h ππ=蒙古包的体积为3(18+6.【解析】1cos 211()sin 2sin(222242x πA f x x x T π-=+=-+∴=对于选项,，选项B:221（1-2）20且0()=22sin x sin x sin x cos x ,f x tan x T πsin x cos x sin x cos x-≠≠==∴=11()cos cos 222C f x x x x x x T π=-++=∴=对于选项,cos ，11()sin 2()sin(2)2623ππD f x x x T π=+=+∴=对于选项,，7.【解析】,685ln ,13ln ,564ln -=-=-=c b a 故可构造函数()(),112ln +--=x x x x f ()()(),01122'>+-=x x x x f 所以()()()543f f f <<12345678D A A D C C B D8.【解析】当PC CD ⊥时，三棱锥P ACD -的表面积取最大值，PD =三棱锥P ACD -的外接球的半径为R =.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112ACD ACD ABD BC10．【解析】由题意得，()()中心对称，，的图像关于01 x f 故A 正确；由()()()()x f x f x f x f +-=-=-2,且得()()()()x f x f x f x f ⇒+-=-=2的周期为4，故B 错误；()()01 01=-∴=f f ，故C 正确；()412121274 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f x f ，的周期为 ，故D 正确11.【解析】A 选项：由抛物线C 的定义知A 是正确的；B 选项：由12y x '=，切线方抛物线C 在点(21-，）处的切线斜率为1-，切线方程为10x y ++=；C 选项：顶点在原点O 的正三角形与抛物线相交与A 、B 两点,这个正三角形的边长为，OAB ∆的周长为C 错；D 选项：F 为抛物线的焦点，过H 作HD 垂直抛物线C 的准线y=1-于点D ，如图由抛物线的定义知，1sin HG HG t HF HD HGD===∠当t 取最大值时，HGD ∠取最小值，（正弦函数的单调性的应用）即直线GH 与抛物线C 相切．设直线HG 的方程为1y kx =-，由214y kx x y=-⎧⎨=⎩得2404x x k +=-，所以216160k ∆=-=，解得1k =±，此时2404x x k +=-，即2440x x ±+=，所以2x =±，故()2,1H ±，所以1122222H S GF x =⋅=⨯⨯=△GFH ，故D 正确．12.【解析】原式变形为n n n m me m ln ln ->-，构造函数()x xe x f x -=，()()11'-+=x e x f x ，()()()x f x f x e x x ,0,110'>∴>+>时， 单调递增，()()()x f x f x e x x ,0,110'<∴<+<时， 单调递减对于A ，取1==n m 满足原式，所以A 错对于B ，当n e m n n m≥>∴>≤≤1,010ln 时，，即，当()()时，在时，∞+>00ln x f n 单调递增，原式()()n f m f ln >⇔，n e n m m>>∴，即ln ，所以B 对。

阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1S x x =<-或}5x >，集合{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),31,-∞--+∞ B.()3,1--C.(][),31,-∞--+∞ D.[]3,1--【答案】B 【解析】【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，所以185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-，即实数a 的取值范围为()3,1--.故选：B ．2.设复数z 满足()1i 1i z +=-，则1z +=（）A.1 B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出i z=-，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.【详解】()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ---+====-++-，故i z =，i 11z +=+=.故选：B3.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．4.已知数列{}n a 满足()22n a n n λλ=+∈R ，则“{}n a 为递增数列”是“0λ≥”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由{}n a 为递增数列得6λ>-，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】由{}n a 为递增数列得，()()2212(1)12420,n n a a n n n n n n λλλ++⎡⎤-=+++-+=++>∈⎣⎦N ，则()42n λ>-+对于n +∈N 恒成立，得6λ>-．可得06λλ≥⇒>-，反之不行，故选：C ．5.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm ）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量/mm0.19.9~1024.9~2549.9~5099.9~等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm ，底面直径为8cm ，深度为20cm 的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的12，则当日的降雨所属等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】设上口半径为R ，下口半径为r ，桶深为h ，水面半径为1r ，则17cm 2R rr +==，降水量的体积()()222231111110ππππ310πcm 323h V r r rr r r rr =++⋅=++=，降水深度为2310π3.1cm 31mm π100πV R ===，属于大雨等级.故选：C ．6.已知圆22:46120C x y x y +--+=与直线:10l x y +-=，P ，Q 分别是圆C 和直线l 上的点且直线PQ 与圆C 恰有1个公共点，则PQ 的最小值是（）A.B. C.1- D.1【分析】PQ ==，CQ 的最小值为圆心()2,3C 到直线的距离，可求PQ 的最小值.【详解】圆22:46120C x y x y +--+=化为标准方程为()()22:231C x y -+-=，则圆C 的圆心为()2,3C ，半径1r =，则1CP =，直线PQ 与圆C相切，有PQ ==，因为点Q 在直线l上，所以CQ ≥=，则PQ ≥．即PQ.故选：A7.设28log 3,log 12,lg15a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】22232331log 3log 21log 122log 2a ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，88832331log 12log 81log 122log 8b ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，101032331lg15log 101log 122log 10c ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，3332220log 2log 8log 10,a b c <<<∴>> .故选：D ．8.已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+-，()14f =且当0x >时，()2f x >，若存在[]1,2x ∈，使得()()2421f ax x f x -+=，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.52,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，再结合赋值法求出3()12f -=-，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.【详解】任取12,x x ，且12x x <，则210x x ->，而当0x >时，()2f x >，于是21()2f x x ->，又()()()2f x y f x f y +=+-，因此21211211()[()]()()2()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->，则函数()f x 是增函数，而222(4)(2)[(4)2]2(2)21f ax x f x f ax x x f ax x -+=-++=-+=，于是2(2)1f ax x -=-，令0x y ==，得(0)2f =，令1,1x y ==-，得(1)0f -=，令1,1x y =-=-，得(2)2f -=-，令2,1x y =-=-，得(3)4f -=-，令3x y 2==-，得3(12f -=-，即有23(2)()2f ax x f -=-，因此2322ax x -=-，原问题即2432x a x -=在[]1,2有解，令11[,1]2t x =∈，则22242343()33a t t t =-+=--+在1[,1]2t ∈时有解，从而42[1,]3a ∈，12[,]23a ∈，所以a 的取值范围是12[,]23.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【答案】BCD 【解析】【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可求解.【详解】对于A 中，例如：数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，所以A 错误；对于B 中，根据频率分布直方图中中位数的求法，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，所以B 正确；对于C 中，根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以C 正确；对于D ．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，所以D 正确故选：BCD ．10.已知O 为坐标原点，椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为12,.,F F A B 两点都在C 上，A ，,O B 三点共线，P （不与,A B 重合）为上顶点，则（）A.AB 的最小值为4B.11AF BF +为定值C.存在点A ，使得12AF AF ⊥D.13PA PB k k ⋅=-【答案】BCD 【解析】【分析】求出AB >可判断A ；由椭圆的对称性可判断B ；因为2>c ，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点可判断C ；求出13PA PB k k ⋅=-可判断D .【详解】对于A ，由椭圆的方程可知2a b c ===，所以焦点()()122,0,2,0F F -，设()11,A x y ，则()11,B x y --，(P ，因为()11,A x y 在椭圆上，所以2211216x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AB AO ====≥即AB >，A 错误；对于B ，由椭圆的对称性可知，1112AF BF AF AF +=+=B 正确；对于C ，因为c b >，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A ，使得12AF AF ⊥，故C 正确；对于D ，设()11,A x y ，则()11,B x y --(,P 2c =，则2121112211112126213PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭⋅=⋅===--，故D正确．故选:BCD ．11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω=B.π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'-⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12.如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，22CD AB ==，则()AB CD FE +⋅=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】连接AF 、DF ，根据平面向量线性运算法则得到()12FE BA CD =+，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】连接AF 、DF ，所以FA FB BA =+ ，FD FC CD =+，又E 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以()()()111222FE FA FD FB BA FC CD BA CD =+=+++=+，所以()()()12AB CD FE AB CD BA CD +⋅=+⋅+()()12AB CD CD AB =+⋅-()221413222CD AB -=-== ．故答案为：3213.抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，得到抛物线2C ，其准线方程为340x y ++=，则抛物线1C 的焦点坐标为______．【答案】()2,0【解析】【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出4p =，进而得到结果.【详解】由于抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，抛物线2C ()24231=+且可知0p >，则4222p ==，则4p =，所以抛物线1C 的焦点坐标为()2,0．故答案为：()2,0.14.已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=≠，则()cos αβ-=______，()sin αβ+=______.【答案】①.2222a b +-②.222ab a b +【解析】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到tan2αβ+，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由sin sin a αβ+=可得()22sin sin a αβ+=，即222sin sin 2sin sin a αβαβ++=，由cos cos b αβ+=可得()22cos cos b αβ+=，即222cos cos 2cos cos b αβαβ++=，两式相加可得()2222sin sin cos cos a b αβαβ++=+，即()2222cos a b αβ+-=+，解得()222cos 2a b αβ+--=；因为sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 22a αβαβ+-==，cos cos cos cos 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2coscos 22b αβαβ+-==，所以2sin cos22tan22cos cos 22a b αβαβαβαβαβ+-+==+-，所以()22222222sincos 2tan 2222sin sin cos tan 11222a ab b a b a b αβαβαβαβαβαβαβ+++⨯+====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．故答案为：2222a b +-；222ab a b +.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=．（1）求角C 的大小；（2）若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．【答案】15.π316.2【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，所以根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos cos A A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，即sin C C =．因为cos 0C ≠，所以tan C =．因为0πC <<，所以π3C =．【小问2详解】cos 1AB AC bc A ⋅== ．因为2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos 11b c bc A +=+=①．因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-②．联立①②可得22320b b --=，解得2b =（负根舍去），故ABC 的面积为11sin 322222ab C =⨯⨯⨯=．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.（1）证明://BE 平面PDF .（2）求平面PBC 与平面PDF 夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得PF ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，可得平面PDF 的法向量，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为PAB 是等边三角形，F 是AB 的中点，所以PF AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，不妨令2AB =，则()()()()(0,0,0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,F B C D P --，所以11,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,22BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()(2,1,0,FD FP == ，设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，则200m FD x y m FP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得()1,2,0m =- ，所以111202BE m ⋅=⨯-⨯= ，即BE m ⊥ ，又BE ⊄平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；【小问2详解】因为()()(0,1,0,2,1,0,B C P --，所以()(2,0,0,BC BP == ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '''= ，则200n BC x n BP y ⎧⋅==⎪⎨⋅='''+=⎪⎩ ，令1z '=，可得()0,n = ，又平面PDF 的一个法向量为()1,2,0m =- ，所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面PBC 与平面PDF夹角的余弦值为5.17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为()()1,0,1,0A B -，动直线l 过点()2,0M ，当直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点时，点B 到直线l的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）当直线l 与双曲线C 交于异于,A B 的两点,P Q 时，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ．是否存在实数λ，使得21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221x y -=（2）存在，3λ=-【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得()121234my y y y =-+，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解.【小问1详解】2221,1y a x b =∴-= ，故当直线l 过()2,0且与双曲线C 有且仅有一个公共点时，l 与C 的渐近线平行．设直线():2l y b x =±-，则点()1,0B 到直线l,12b =∴=，所以双曲线C 的标准方程为221x y -=．【小问2详解】由题可知，直线l 的斜率不为0，设直线()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，由221,2,x y x my ⎧-=⎨=+⎩得()()222143010m y my m -++=-≠．2Δ4120m =+>成立，则12122243,11m y y y y m m -+==--，()121234my y y y ∴=-+．121212,11y y k k x x ==+- ，()()()()221212212211121212111313111y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x λ++-+∴=====-+++()()122121211233934443313444y y y y y y y y y y -++-+===--++-．故存在实数3λ=-，使得21k k λ=成立．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数()3ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性．（2）已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对a 进行分类讨论()f x 的单调性；（2）利用方程组113ln x ax =，223ln x ax =得到21213lnx x a x x =-，问题转化为()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】()()30ax f x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln 01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =.【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。

2023届高三综合测试（二）数学参考答案与评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数,选择题不给中间分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 【解析】 化简得1,1,z i z i z =+=−=选B.2. 【解析】 依题意132x x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即312x <<，选B.3. 【解析】 13EC EB BC AB AD =+=+,所以43u λ+=，选C. 4. 【解析】 按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令，有一个，所以有 ,选D.5. 【解析】 设棱台的上底面矩形边长分别为b a ，，则下底面矩形边长分别为b a 22，，则 棱台的体积为：63)44 (331=+⨯+⨯⨯=ab ab ab b a V ，所以9b =a ，棱台的上底面的周长为,124)2=≥+ab b a （ 当3==b a 时，上底面的周长最小值为22221(0)x y a b b a+=>>y c =−2b x a =2110244ac b a+=⎧⎪⎨=⎪⎩2211022a c a c a +=⎧⎪⇔⎨−=⎪⎩22110a c a −⇔=45c e a ⇔==12，选D.6. 【解析】 由图可知，1521433T =−=，所以4T =，π2=ω；一条对称轴为23x =，所 以π2ππ232k ϕ⨯+=+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=；故()ππ3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()g x 的图象的最小正周期为T π=，A 正确； 因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以42333x πππ≤+≤，B 错误； 对于C: 令π2π+()22123k x k x k Z πππ+=⇒=+∈，所以C 正确； 对于D ：令π2()3π26k x k x k Z ππ+=⇒=−∈，所以D 正确. 故选B. 7.【解析】 由方程5ln 0x x ++=和50x x e ++=，可得 ln 5x x =−−和5xe x =−−，因为方程的根分别是，且ln y x =与x y e =互为反函数，所以分别与ln y x =和x y e =的交点的横坐标为，故有5y x y x =⎧⎨=−−⎩，解得5252x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，所以5=-22αβ+， ，∴的单调递减区间是，故选A.8.【解析】 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 当时，，则；,αβ5y x =−−,αβ222525()()5()24f x x x x x x αβαβαβαβ=+++=−+=−+−()f x 5(,]2−∞12n ≤≤0.5 1.5<<1f=1=36n ≤≤ 1.5 2.52f=12=712n ≤≤ 2.5 3.5<<3f=13=1320n ≤≤ 3.5 4.5<<4f=14=当，此时，包含 ，，，，共个整数，分组为，，，…，，第组有个数，且每一组中所有数之和为， )100(1)99(1)90(1)5(1)4(1)3(1)2(1)1(1f f f f f f f f +++++++++ ++++++++++++++++++++=41414141414141413131313131312121212111111111112468101218101923456910=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=，故选C.二、多项选择题：本题共2分，有选错的得0分.9. 【解析】对于A, 曲线C 表示双曲线，224,4a b λ== 24(1)c λ=+ ，A 正确; 对于B, 曲线C 表示椭圆， 224(),4a b λ=−= ，24(1)c λ=−−，B 不对; 对于C,1λ=−时，曲线C 表示圆224x y +=，C 不对;对于D, 曲线C 表示椭圆, 224,4a b λ==−, 24(1)c λ=+,D 正确 . 10.【解析】对于A, 由二项分布的期望公式，1()3E X n =，由期望的运算性质，(31)3()116E X E X n +=+=+=，则n=5，所以A 正确;对于B, 由正态分布曲线的性质可知，(4)10.70.3P X ≥=−=，根据对称性，(2)0.3P X ≤−=，于是(21)0.50.30.2P X −<<=−=，B 错误;对于C, 因为()()0,()0,(|)()()()()()P AB P A P B P B A P B P AB P A P B P A >>==⇒= ()212122k k k *−+<<∈N 1k =221144k k n k k −+<<++21k k −+22k k −+2k k +2k ()1,11111,,,2222⎛⎫ ⎪⎝⎭111111,,,,,333333⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,n nn ⎛⎫⎪⎝⎭n 2n 122n n⨯=所以()(|)()()P AB P A B P A P B ==，所以C 正确; 对于D, 因为()12P A =，()14P B A =，所以()12P A =，()34P B A =，又因为()23P B A =， 由全概率公式，可得121317()()(|)()(|)232424P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=,故选：ACD.11. 【解析】 对于A, 由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =，故//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形，故A 不正确； 对于B, 连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，平面⊥EMFN 平面''D DBB ，故B 正确； 对于C 选项，四棱锥A MENF −的体积,11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S −−=+=⋅==△，故C 正确； 对于D 选项，由于四边形MENF 是菱形，所以周长222244442222+=+=+=MN MN EF MN l ，所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的周长最小，此时MN EF ==，即周长的最小值为4, 故D 不正确．故选：BC ．12.【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4431F x f x f x f x f x F x +=+++=+−=， 所以()y F x =是以4为周期的周期函数，又(0)(0)(1)10F f f =+−=−≠，所以()y F x =不是是奇函数，A 错误.可求得23,211,10()21,011,12x x x y F x x x x −−−≤≤−⎧⎪−−≤≤⎪==⎨−≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以函数()y F x =的最大值为1，B 正确.当()2022,2023x ∈时，()20242,1x −∈−−，所以()()202424045F x F x x =−=−+，单调递减，C 正确.因为()()x F x F −−=1，()F x 关于12x =−成轴对称，因为()()x F x F −=−1，()F x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，D 正确. 选BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.21 14. 552 15.π3416.22(3)(2)16x y −++= （2分）, （3分）13.【解析】所求概率 32324412A A P A == 14.【解析】由已知可得，tan 2α=，再由同角关系可得，sin 5α=，所以sin()πα−=15.【解析】设圆锥底面半径为R ，母线长为L ，则⎪⎩⎪⎨⎧==3222ππππLR RL 解得.6L 36R ==，,易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中3626===BC AC AB ，，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于334=AM ，故32433436221=⨯⨯=∆ABC S，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△ r 212r 21⨯+⨯⨯=BC AB ,解得：33r =，其表面积：224443S r πππ===. 16.【解析】：过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F 且斜率为1−的直线为1y x =−+，由241y x y x ⎧=⎨=−+⎩消去x ，得2610x x −+=，所以AB 的中点为(3,2)D −且128AB x x p =++=，所以以线段AB 为直径的圆的半径为4r =，方程为22(3)(2)16x y −++=，对圆D 内任意一点M ，必可作互相垂直的两直线与相交，故存在圆D 上两点,P Q ，使90PMQ ∠=；对圆D 外任意一点M ，,P Q 是圆D 上两点，当,MP MQ 与圆D 相切时，PMQ ∠最大，此时DPMQ 为矩形，DM ==，所以若以线段AB 为直径的圆上存在两点,P Q ，在圆22:()1T x a y −+=上存在一点M ，使得90PMQ ∠=，等价于以D 为圆心以DM ==为半径的圆与圆222:(2)(7)(0)T x y a a +++=>有公共点，所以a DT a −≤=≤，解得a ≤≤，所以填.四、解答题： 本题共 6 小题，共 70分． 17.（10分）解：（1）令{}n a 是等比数列，设公比为，，时，有当q a a a n 11211=+==………………………………………………………1分,11211+=+=≥−+n n n n S a S a n ，时，有当…………………………………………2分112n n n n na a a a a ++−==相减得:，有，,2=q 所以有 ………………………………3分………………………………………………………4分q .2,111−==n n a a 故有代入解得（2）由（1）知：()()n b n nn +−=−121 ……………………………………………………5分122222212122+−−=+=−−−n b n b n n n n ， …………………………………………7分141122+=+−−n n n b b ……………………………………………………………………8分∴ n n ……………………………………………………………………………10分 18. （12分）证明：（1）连接1CB 交1BC 于点F ，连接EF ,则F 是C B 1的中点 ……………………………………………………1分由于F E 、分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB ………………………………………………2分由于111,AB BEC EF BEC ⊄⊂面面，所以11//AB BEC 面 ………………………………………………4分（2）由点1B 在底面上的射影为点C ,所以ABC C B 平面⊥1 ……………………………5分在ABC ∆中5,2,1===AC BC AB BC AB ⊥∴过B 作C B 1的平行线为Z 轴易知,,AB CB Z 两两垂直，如图以B 为原点，分别以,,AB CB Z 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系…………………………………6分)0,1,21(220)0,2,0()0,0,1(),0,0,0(1E B C A B ），，，（，， BC C B =11，得），，（2401C ………………………………………………………7分 ），，（），，，（232101211−=−=EC AE )0,1,21(=BE ，)2,4,0(1=BC设平面E BC 1的法向量），，（z y x m =()()()()[]12123421214437(41)n n n n S b b b b b b n −−+++==+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−()()()[]134********(41)n n n b b b b n −−+++=++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−21441(21)2143n n n n n n −−=++=++−0240211=+=⋅=+=⋅z y m BC y x m BE)2,1,2(−=∴m ………………………………8分设平面11A AEC 的法向量为),,(z y x n =2321211=++−=⋅=+−=⋅z y x n EC y x n AE)1,1,2(−=∴n …………………………………9分 设平面1BEC 与平面11A AEC 所成角为θ186691 cos ===n m θ………………11分183186311sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛−=θ 所以，平面1BEC 与平面11A AEC 所成角的正弦值为18318………………………12分19.（12分）解：（1） 在APB ∆中，23==PB PA，AB =， 由余弦定理得2223cos 22AB PB PA PBA AB PB +−∠==⋅36……………………………2分 又2π=∠ABCsin 3PBC ∠=…………………………………………3分 111sin 22322PBC S PB BC PBC ∆=⨯∠=⨯⨯112232⨯=…………………5分（2）法1：设PAB θ∠=，则(0,)4πθ∈，在APB ∆中，因为34APB π∠=，所以344PBA πππθθ∠=−−=−， ………6分由正弦定理，得sin sin PB ABPAB APB=∠∠，从而2sin PB θ= ，…………………7分在CPB ∆中，()244PBC πππθθ∠=−−=+， 由余弦定理得：2222cos()4PC PB BC PB BC πθ=+−⋅+ ………………………8分24sin 22sin cos()4πθθθ=+−⨯+=22cos 224sin (cos sin )θθθθ=−+−−62(2cos 2sin 2)θθ=−+6)θϕ=−+（其中tan 2,(0,)2πϕϕ=∈）， ……………………………10分 因为(0,)4πθ∈，所以2(,)2πθϕϕϕ+∈+， ………………………………………11分所以当22πθϕ+=时，222min 6211PC =−=−⨯，从而，min 1PC =。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的几何意义是（）A. z在复平面上的实部为0B. z在复平面上的虚部为0C. z在复平面上的轨迹为y轴D. z在复平面上的轨迹为直线x=03. 在等差数列{an}中，若a1 + a3 = 10，a2 + a4 = 18，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若函数g(x) = |x| - 2，则f(x)与g(x)的图象交点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5是（）A. 62B. 72C. 82D. 926. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值是（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√27. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，b < 0，则该函数的对称轴是（）A. x = -b/2aB. x = b/2aC. x = -b/aD. x = b/a8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点P'的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)9. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn^2 - (n^2 - 1)Sn + 2(n^2 - 1) = 0的解为（）A. n = 1B. n = 2C. n = 3D. n = 410. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，若x∈[-1,1]，则f(x)的最大值是（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。

2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．183．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π6．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．237．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 8．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=12．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学综合测试题一、选择题1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为( B )A ．4-B ． 4C ．6-D ．6 2． 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件}2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D3. 设函数()1xf x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =120.6，b =120.7，c =lg0.7，则 ( C )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)6、设函数1()7,02(),0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ C ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞U 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是( D )8．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1)上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )A ．[0，4]B ．[)3+∞，C ．[2，4]D ．[3，4]10．已知定义在R 上的奇函数f (x )是(]0，∞-上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t )-4<0}，Q ={x |f (x )<-2}．若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ B ）A ．t ≤-1B ．t >3C ．t ≥3D ． t >-1二、填空题11．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________ 12．已知偶函数f (x )=242n n x -(n ∈Z )在(0，+∞)上是增函数，则n = 2 ．13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、6m >或3m <-_____________14．若不等式1一log )10(x a a -＜0有解，则实数a 的范围是 ； 15．已知函数)(x f 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示, 下列关于函数)(x f 的命题① 函数)(x f 的值域为[1,2]; ② 函数)(x f 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当],1[t x -∈时, )(x f 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当21<<a 时, 函数a x f y -=)(有4个零点. 其中真命题是 ② (只须填上序号).三、解答题16．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围． 答案:(1) 124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 94a >或 14a <-17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x )的图象过点(1，-4)，且不等式f (x )<0的解集是(0，5)．（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10)x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x )在[-3，1]上的最大值和最小值．17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)， 可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 18、（本题满分12分） 已知函数),(log )(1011≠>-+=a a x x x f a（1）求)(x f 的定义域，判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）对于],[42∈x ，)()(log )(x x mx f a -->712恒成立，求m 的取值范围。

2025届浙江省杭州市9+1高中联盟数学高三第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-2．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B．(0,2C．3,)24D．,1)23．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠4．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -5．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24πB．CD ．12π6．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．29．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP ｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ） A ．60B ．192C ．240D ．43210．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±11．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交12．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。

2025届高三综合测试（一）数 学 参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 B ADDAAC C9 10 11 ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 8． 13. 4051． 14. 108．【详解】因为()e (22)()xf x x f x ′=−+，所以2()e e ()()22[]e ex x xx f x f x f x x ′−′−， 从而2()2ex f x x x c =−+，即2()e (2)x f x x x c =−+，其中c 为常数， 又(0)1f c ==，故2()e (21)x f x x x =−+，则2()(1)e x f x x ′=−，当(),1x ∈−∞−时，()0f x ′>，()f x 为增函数；当()1,1x ∈−时，()0f x ′<，()f x 为减函数；当()1,x ∈+∞时，()0f x ′>，()f x 为增函数， 所以当(1)(1)f k f <<−时，即40ek <<时，直线y k =与=()y f x 的图像有三个不同的交点，即方程()=f x k 有三个不同的解．故选：C ．10．【解答】解：因为函数()f x 的定义域为R ，且22()()()()f x y f x yf x f y +⋅−=−， f （1）2=，(1)y f x =+为偶函数，令0x y ==，得(0)0f =，再令0x =，则22()()(0)()f y f yf f y −=−， 显然()f y 不恒为零，所以()()f y f y −=−，即()f x 为奇函数，B 正确；所以(1)(1)(1)f x f x f x +=−+=−−，所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即()f x 的周期为4，则f （3）(1)f f =−=−（1）2=−，A 错误； (02)(0)0f f +=−=，C 正确；由A ，B ，C 可知，f （1）2=，f （2）0=，f （3）2=−，f （4）(0)0f =，且()f x 的周期为4，所以20241()506[k f k f ==×∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，D 正确．故选：BCD ． 11．【解答】解：因为2()f x ln x =，所以2()lnxf x x ′=，所以经过(i x ，())(1i f x i =，2)的切线方程为22()ii i ilnx y x x ln x x =−+，由切线过点(,)P a b 知，22()(1,2)ii i ilnx ba x ln x i x =−+=，令22()2alnxg x ln x lnx b x =+−−，则()g x 恰有两个零点1x ，2x ，且22(1)()()lnx x a g x x −−′=， 当a e =时，()0g x ′ ，则()g x 在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点；当a e ≠时，则若a e >，当0x e <<或x a >时()0g x ′>，当e x a <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增，在(,)e a 上单调递减，若0a e <<，当0x a <<或x e >时()0g x ′>，当a x e <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减， 故g （e ）0=或g （a ）0=时，函数()g x 才可能有两个零点， 又g （a ）20ln a b =−≠，故g （e ）0=，此时显然有两条切线， 所以2()10a g e b e =−−=，即2(1)a e b =+，当12b =时，34a e e =<，故A 错误，B 正确；由上述分析，1{e x ∈，2}x ，当a e >时，1x e a =<，()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增， 在(,)e a 上单调递减，示意图如图． 显然1x a <，且222222222()22(1)0alnx af x b ln x b lnx lnx x x −=−=−=−>， 所以2()f x b >，当0a e <<时，2x e a =>，()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减，示意图如图．显然212,()()1x a f x f e ln e <===，由2(1)a e b =+，得21a b e =−，所以22111a eb e e=−<−=，即2()f x b >， 综上，12()x af x b <>，故选项C 和D 正确．故选：BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试（二）数学试题及参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,,6,A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣，则（）A.A B⊆ B.B A⊆ C.A B= D.A B ⋃=N2.已知非零向量,,a b “||||||a b a b +=+ ”是“向量,a b共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()2,M m 到焦点的距离为3，则p =（）A.6B.4C.2D.14.若实数m 满足()2log 1m m -<+，则m 的取值范围为（）A.(),0∞- B.()0,∞+ C.(),1∞-- D.()1,0-5.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到27.174χ=.依据0.005α=的独立性检验，结论为（）A.变量x 与y 独立B.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005C.变量x 与y 不独立D.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.0056.若直线1ax by +=与圆22:1O x y +=相切，则圆221()()4x a y b -+-=与圆O （）A.外切B.相交C.内切D.没有公共点7.6π5πcos ,536ααα+=<<，则cos α=（）8.设501054321≤<<<<≤x x x x x ，随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2，若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（）A.12D D ξξ< B.12D D ξξ= C.12D D ξξ>D.1D ξ与2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值有关二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若m ∥,n αα⊂，则m ∥nB.若,,m n m αβ⊥⊥∥n ，则α∥βC.若α∥,m βα⊂，则m ∥βD.若α∥,,m n βαβ⊂⊂，则m ∥n10.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向左平移π3个单位长度得到D.函数()ππ2246x F x f f x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为94-11.双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O 为坐标原点，双曲线222:1(0)20x y C b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，右支上一动点P 处的切线记为l ，则（）A.双曲线C 的渐近线方程为12y x =±B.双曲线C 的离心率为305C.当2PF x ⊥轴时，1952PF =D.过点1F 作1F K l ⊥，垂足为,25K OK =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程220x kx ++=的一个虚根，则实数k =__________.13.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若()1ln28f =，则a =__________.14.如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改普，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，其中i x ，和i y ，分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得()()()()2020202211180,9000,800ii i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑.（1）求样本(),(1,2,,20)i i x y i = 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y （单位：只）和植物覆盖面积x （单位：公顷）的相关程度；（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X ，求随机变量X 的分布列.附：相关系数()()()()12211,2 1.414niii nni i i i x x y y r x x y y ===--=≈--∑∑∑16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是菱形，且与平面1A BC 垂直，BC AC ⊥，114,2AA AC BC ===.（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）棱1CC 上是否存在一点D ，使得直线1A D 与平面11ABB A 所成角为30 若存在，请确定点D 的位置；若不存在，请说明理由.17.（15分）已知数列{}n a 中，()*112311111,123n n a a a a a a n N n+=++++=-∈ .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2nn n b a =，记n T 为{}n b 的前n 项和，证明：3n时，()124n n T n +<-.18.（17分）已知直线1222:,:22l y x l y x ==-，动点,A B 分别在直线12,l l 上，AB =，M 是线段AB 的中点，记点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）已知点()2,1P -，过点P 作直线l 与曲线Γ交于不同的两点,C D ，线段CD 上一点Q 满足PC QCPD QD=，求OQ 的最小值.19.（17分）已知函数()ln 2(2)f x x x b b =+->.（1）证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ：在点()()22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度的零点近似值.（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.参考答案一、选择题1.B解析：∵{}N k k x x A ∈==,3，{}{}N z z z x N z z x x B ∈⋅==∈==,23,6，当N z ∈时，z 2为非负偶数，∴A B ⊆.2.A 解析：当b a b a +=+时，222222b b a a b b a a +⋅+=+⋅+，化简得b a b a ⋅=⋅，即1cos =⋅=b a ba θ，∴0=θ，即a 与b 共线，当a 与b 共线时，则存在唯一实数λ，使得b aλ=，则b b a λ+=+1，()b b a1+=+λ，1+λ与λ+1不一定相等，即b a +，b a+不一定相等，故“b a +=b a +”是“a 与b共线”的充分不必要条件.3.C 解析：由焦半径公式可得322=+p，故2=p .4.D解析：()1log 2+<-m m ⇔()01log 2<---m m ，∵函数()x y -=2log ，1--=x y 在()0，∞-上单调递减，则函数()()1log 2---=x x x f 在()0，∞-上单调递减，又()01=-f ，则()()()0110<<-⇔-<⇔<m f m f m f .5.A解析：∵005.02879.7147.7x =<=χ，∴依据005.0=α的独立性检验，我们认为变量x 与y 独立.6.B解析：直线1=+by ax 与圆122=+y x O ：相切，则圆心()0,0O 到直线1=+by ax 的距离等于圆O 的半径1，即1122=+=b a d ，得122=+b a .圆()()4122=-+-b y a x 的圆心坐标为()b a ,，半径为21，其圆心在圆O 上，∴两圆相交.7.B解析：∵566sin 2cos sin 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πααα，653παπ<<，则536sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，而653παπ<<，∴ππαπ<+<62，故546cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，故6sin 6sin 6cos 6cos 66cos cos ππαππαππαα⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1034321532354-=⨯+⨯-=.8.C解析：由题意得()()5432112.0x x x x x E ++++⨯=ξ，()()54321155443322122.0222222.0x x x x x x x x x x x x x x x E ++++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++⨯=ξ故()()21ξξE E =,记()()21ξξE E x ==，则()()()()[]25222112.0x x x x x x D -++-+-= ξ()()[x x x x x x x x x x 543212252221252.0++++-++++= ()225222152.0x x x x -+++= 同理()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=2215232221252222.0x x x x x x x D ξ∵501054321≤<<<<≤x x x x x ，则22,,2221252152221221x x x x x x x x +<⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛+ ，故2522212152********x x x x x x x x x +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，即得()()21ξξD D >，()1ξD 与()2ξD 的大小关系与54321x x x x x ，，，，的取值无关.二、多选题9.BC 解析：对于A，当α∥m ，α⊂n 时，n m ,有可能异面，故A 错误；对于B，∵α⊥m ，β⊥n ，∴n m ,对应的方向向量n m,分别是βα，的法向量，又n m ∥，∴n m∥，∴βα∥，故B 正确；对于C，∵βα∥，α⊂m ，由绵绵平行的性质易知β∥m ，故C 正确；对于D，当βα∥，α⊂m ，β⊂n 时，n m ,有可能异面，故D 错误.10.ABD 解析：由图可得：2=A ，又∵03121343>-=ωππ，T ，∴π=T ，又ωπ2=T ，∴2=ω，∴()ϕ+=x y 2cos 2，将⎪⎭⎫⎝⎛21213，π代入()ϕ+=x y 2cos 2得1613cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ，即Z k k ∈=+,2613πϕπ，即Z k k ∈+-=+,2613613ππϕπ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=62cos 226132cos 2πππx k x x f ，对于A，最小正周期ππ==22T ，故A 正确；对于B，令Z k k x k ∈≤-≤-,2622ππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤-,12125ππππ，可得()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12125ππππ，，当0=k 时，单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12125ππ，，故B 正确；对于C，函数x y 2sin 2=的图象向左平移3π个单位长度，所得到的函数解析式为：()x f x x x y ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos 2322sin 232sin 2πππ，故C 不正确；对于D，())xx x x x x x f x f x F cos sin 4sin cos 22sin 24cos 26242++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ令[]2,24sin 2sin cos -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πx x x t ，所以()()()122cos sin 4sin cos 22-+=++=t t x x x x x F 4942222222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=t t t ，故最小值为49-，D 正确.11.ACD 解析：对于A，由双曲线()0120222>=-b by x C ：可知52=a ，右顶点()0,52A ，其渐近线方程为x b y 52±=，右顶点A 到一条渐近线的距离为2，不妨取渐进线052=-y bx ，则220522=+b b ，解得5=b ，故双曲线C 的渐近线方程为x x b y 2152±=±=，A 正确；对于B，由于5,52==b a ，∴()()555222=+=c ，故双曲线C 的离心率为25525==a c ，故B 错误；对于C，()052，F ，当x PF ⊥2轴时，将5=x 代入152022=-y x 中，得⎪⎭⎫⎝⎛-=1202552y ，∴25±=y ，即得252=PF ，由于P 在双曲线的右支上，故2595425221=+=+=a PF PF ，故C 正确；对于D，连接2PF 并延长交K F 1的延长线于E ，由题意知，PK 为PE F 1∠的角平分线，结合l K F ⊥1，可知PE PF =1，K 为E F 1的中点，而O 为21F F 的中点，故()()522212121212122==-=-==a PF PF PF PE E F OK ，D 正确.三、填空题12.2-解析：i +1是关于x 的实系数一元二次方程022=++kx x 的一个虚根，i -1也是关于x 的实系数一元二次方程022=++kx x 的一个虚根，()k i i -=-++11，解得2-=k .13.3解析：由题意知()x f 是奇函数，且当0<x 时，()axe xf -=，故()()8121ln2ln 2ln 21ln 21ln===⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛aee f f f a ，则8121=⎪⎭⎫⎝⎛a，∴3=a .14.36解析：如图，正四棱锥为四棱锥ABCD P -，O 为底面对角线的交点，则⊥OP 平面ABCD ，设E 为AD 的中点，则AD PE ⊥，AD OE ⊥，则OEP ∠即为所求教的平面角，不妨设题中所给正方形的边长为a 2，x AD 2=，则x OE AE a PE ===,，故四棱锥ABCD P -的高22x a OP h -==，∴()()222222222222213434231x a x x x a x x a x V ABCDP -⋅=-=-⨯=-2738322213432222a x a x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++≤，当且仅当222222x a x x -==，即a x 36=时，取等号，此时a AE OE 36==，在POE Rt ∆中，3636cos ===∠a aPE OE OEP ，∴当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的角的余弦值为36.四、解答题15.解：（1）样本()()20,,2,1, =i y x i i 的相关系数为()()()()94.032290008080020120122201≈=⨯=----=∑∑∑===i i i i i i iy y x x y y x xr .由于相关系数[]1,75.0∈r ，则相关性很强，r 的值越大，相关性越强，故[]1,75.094.0∈=r ，故相关性越强.（2）由题意得：X 的可能取值为0,1,2，20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，∴()9533190660220212====C C X P ；()9548122011218===C C C X P ；()951419028222028====C C X P .∴X 的分布列为：16.解：（1）连接1CA 与A C 1，由于四边形11A ACC 为菱形，故11CA A C ⊥.由于侧面11A ACC 与平面BC A 1垂直，且两平面的交线是1CA ，⊂1AC 侧面11A ACC ，故⊥1AC 平面BC A 1，⊂BC 平面BC A 1，故BC AC ⊥1，又AC BC ⊥，A AC AC = 1，⊂AC AC ，1面11A ACC ，故⊥BC 面11A ACC .（2）由（1）知⊥BC 面11A ACC ，⊂BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥面11A ACC ，且交线为AC ，由于411===AC C A AA ，故三角形C AA 1为等边三角形，取AC 中点为O ，则AC O A ⊥1，⊂O A 1平面11A ACC ，∴⊥O A 1平面ABC ，故建立如图所示空间直角坐标系，其中y 轴与BC 平行，()()()3200,0020021，，，，，，，A C A -,()()32040221，，，，，--C B ，()()()3202320202411，，，，，，，，-=-=-=CC AA AB 设平面11A ABB 的法向量为()z y x m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅03220241z x m AA y x m AB，取3=x ，则()3,6,3=m ，设()m m CC m CD 32,0,21-==，其中[]1,0∈m ，故()m m D 32,0,22--，()3232,0,221---=m m D A故()()()()213232223432323223cos 22=-+---+--==m m m m m，化简得()0122=-m ，解得21=m ，故121CC CD =.故存在D，且D 在1CC 的中点.17.解：（1）∵1131211321-=+++++n n a a na a a ，∴1111312121321-=++++++++n n n a a n a n a a a ，作差可得12111+++-=+n n n a a a n ，变形为2121++=++n n a a n n ，则214332214332++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++n n a a a a a a n n ，整理得2222+=+n a a n ，∵11=a ，121321-=+a a a ，3232=a a ，解得22=a ，∴22+=+n a n ，∴n a n =，∴数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）∵nn nn n a b 22⋅==，∴nn n T 222212⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，作差可得()1122212122222++⋅---=⋅-+++=-n nn nn n n T ，∴()2211+-=+n n n T ，()()()24242221421111++-=--+-=--++++n n n n T n n n n n ，设()3,2422≥++⋅-=x x x f x，则()42ln 22+⋅-='xx f 在给定区间递减，又()042ln 163<+⨯-='f ，故()x f 在[]∞+，3是减函数，()()02234234max <-=+⨯+-==f x f ，∴当3≥n 时，()421-<+n n n T .18.解：（1）根据条件可设()()n n B t t A,2,,2-，∵22=AB ，∴()()()*8222=-++n t n t ，设()y x M ,，由题意知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=222nt y n t x ，∴⎩⎨⎧=+=-y n t n t 22，代入（*）式得1422=+y x ，故曲线Γ的方程为1422=+y x .（2）设λ==QDQC PDPC ，则PD PC λ=，QD CQ λ=，设()()2211,,,y x D y x C ，由PD PC λ=，可知()()1,21,22211-+=-+y x y x λ，∴()()⎩⎨⎧-=-+=+11222121y y x x λλ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=-λλλλ11122121y y x x ①∵QD CQ λ=，设()y x Q ,，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ②①×②可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=-2222122221112λλλλy y y x x x （**）∵D C ,在曲线Γ上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222121414λλλy x y x ，∴2222212222114λλλ-=-+-y y x x ，化简得：()1114222221222221=--+--λλλλy y x x，（**）式代入可得142=+-y x，即022=+-y x .∴Q 的轨迹方程为：022=+-y x .∴OQ 的最小值为O 到直线022=+-y x 的距离.∴55252min ==OQ .19.解：（1）()()22ln >-+=b b x x x f ，定义域为()∞+，0，∴()021>+='xx f 在()∞+，0上恒成立，∴函数()x f 在()∞+，0上单调递增，∵()0221ln 1<-=-+=b b f ，()0ln 2ln >+=-+=b b b b b b f ，∴存在唯一()b a ,1∈，使得()0=a f ，即：()x f 有唯一零点a ，且()b a ,1∈；（2）（ⅰ）由（1）知()21+='xx f ，∴曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线斜率为21+=nn x k ，∴曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线方程为()()()n n n x x x f x f y -'=-，即1ln 21--++=b x x x x y n nn，令0=y 得()nnn n x x b x x x 211ln +++-=，∴切线与x 轴的交点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-0211ln ，n n n n x x b x x ，即()n nn n n x x b x x x 211ln 1+++-=+，∴()()nnn n n x x b x x x g 211ln +++-=；（ⅱ）证明：对任意的()+∞∈,0n x ，由（ⅰ）知，曲线()x f 在()()n n x f x ,处的切线方程为：1ln 21--++=b x x x x y n nn，故令()1ln 21--++==b x x x x y x h n nn，令()()()1ln 1ln +--=-=n nx x x x x h x f x F ，∴()x x x x x x x F n n n -=-='11，∴当()n x x ,0∈时，()0>'x F ，()x F 单调递增；当()+∞∈,n x x 时，()0<'x F ，()x F 单调递减，∴恒有()()0=≤n x F x F ，即()()x h x f ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（ⅰ）知，()()n n n n x f x f x x '-=+1，且当a x n ≠时，n n x x ≠+1，若a x n =，则()()0==a f x f n ，故任意a x x x n n ====+11 ，显然矛盾，∵1+n x 是()x h 的零点，∴()()()011==<++a f x h x f n n ，∵()x f 为单调递增函数，∴对任意的a x n ≠时，总有a x n <+1，又∵a x <1，∴对于任意*N n ∈，均有a x n <，∴()0>'n f ，()()0=<a f x f n ，∴()()n n n n n x x f x f x x >'-=+1，综上，当()a x ,11∈，总有a x x n n <<+1.。