05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
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1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。
如，梁弯曲强度条件：[]σσ≤=WM max max；剪切强度条件：[]τρτρ≤⋅=b I S F z Q *max,max 刚度条件：挠度⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l y l y max ；转角[]ϕϕ≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。
由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。
显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。
如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。
杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。
它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。
其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
2下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。
力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。
变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。
由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。
物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。
在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。
故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。
1 梁的弯曲 31.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。
考察一端固定，一端受弯矩M 作用的梁（纯弯曲）。
根据“平截面假设”，其变形图示如下：图1-1 在平截面假设下，（1）同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布； （2）应变ε与梁高方向的y 值成正比，比例常数c x 仅与横截面位置有关； （3）中性轴z 上各点（y=0）的应变ε为零。
(a) 弯曲前平面图(b) 弯曲后平面图(c) 弯曲前立体图(d) 弯曲后立体图从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴Z ）转过一个角度（如图1-1、1-2中的d φ），横截面仍然保持为平面，公式（1）表明：各纵向纤维（x 方向）的单位长度伸长量εx （线应变、正应变）可表示为()dxyd y ϕε=x ，同一截面各点（y 坐标不同）对应的纵向纤维原长dx 是一样的，但伸长量yd υ不同，随y 线性变化。
对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量εx (y)是不一样大的。
主题字母ε表示物理量为应变，下标x 表示该量ε的方向，圆括号(y)内的y 表示εx 的自变量是y ，即εx (y)表示x 方向的纵向纤维线应变，它随y 值变化。
应变εx 沿y方向线性分布，沿z 方向不变。
在y=0，即中性轴z 轴上各点的应变为零。
正弯曲作用的梁段上，中性层（为xz 坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。
1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。
()2 εσE =图1-2 在平截面假设下同一横截面上各点（z ，y ）应变ε沿y 线性分布，y=0各点为零1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。
在梁的横截面上的“广义合力”为作用在xy 面内的力偶M （弯矩），故横截面上各点“正应力”向z 轴取力矩的代数和，应该等于弯矩M 。
把该横截面划分为若干个微小的矩形截面dA=bdy ，设作用在dA 截面的平均正应力为σ，则一个矩形微截面上的轴向力为dA dF N σ=。
它对z 轴的力矩为N ydF dM =，y 为微截面dA 形心到中性轴z 的距离。
根据“合力偶等于分力偶之和”，则()3 ⎰⎰==AAdA y ydF M σ1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。
为了方便推导和阅读，把上面的几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：()()1 y c y x x =ε，()2 εσE =，()3 ⎰=AdA y M σ为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ式中，()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，显然，其单位为长度的4次方。
将（1）（2）式回代到（4）：()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（6（7）式表明梁的正应力沿梁高方向y 成线性分布。
应力σ不一定线性。
沿y 线性分布，由于ε(0)=0故应力σ（y=0）=f(ε)=f(0)=0，假设σ分布如左下图则只有()3 ⎰⎰==AAdA y ydF M σ成立。
ε,max压zdA=bdσ1-3 弯矩与正应力的一般表达式注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ⎰=AdA y M σ，恒等变形为不显含积分的表达式()4 z EkI M =，积分⎰AdA y 2，则隐含在惯性矩的定义式中，⎰≡Az dA y I 2，该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与内力（弯矩M ）无关，即可以对不同形式截面的惯性矩事先予以计算。
注2：在梁的横截面上有线性分布的正应力，但是，它们的合力为零，即梁的横截面上没有轴向力。
现证明如下：()022/2/22/2/bh 7======--⎰⎰⎰⎰h h z h h zAz A zAN y I Mb ybdy I MydAI M ydA I M dA F 宽设梁高为σ注3：实验和进一步的理论研究都指出，纯弯曲的应力公式可以应用于横力弯曲，只要梁长不小于梁高的5倍，即长梁，其计算精度满足土木工程要求。
注4：由()52 ⎰≡Az dA y I 和图1-4所示矩形截面，可导出矩形截面的惯性矩。
41.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲）性关系式()2 εσE =便可得到梁的变形公式。
()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()8 zEI Mdx d =ϕ（8）式中的dx d ϕ是曲率，由数学知：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取 ()9- y dxd ''=ϕ，把（9）代入（8）得zdA=bd图1-4 矩形截面梁惯性矩的推导此即是梁的弯曲微分方程。
对它积分一次得梁的转角方程（11）式，积分两次得梁的挠曲方程（12）式。
两式中的积分常数c 1和c 2由梁的转角和挠度边界条件确定。
51.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 建立三个关系物理关系：()2 εσE = 静力关系：()3 ⎰=AdA y M σ1.3.2 推导应力公式为了求得应力公式，推导如下;()()()()42123 z x Ax Ax AAAI Ec dA y Ec ydA yc E dA y E dA yE dA y M ======⎰⎰⎰⎰⎰εεσ定义()52 ⎰≡Az dA y I ，称为横截面对形心轴z 的惯性矩，其单位为长度的4次方。
()()()()6/214 z z z z x I yI yEEI yEI Ec M σσε====将（61-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导惯性矩定义式：()52 ⎰≡Az dA y I1.3.3 推导变形公式 根据 、()2 εσE =()()()dx d Ey E y I M z ϕεσ127===，整理后，得 ()9 zEI Mdx d =ϕ由数学知曲率：()()[]y y y y y dx d ''±≈'+±''='+''=322/3211ϕ，考虑到坐标轴y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取()10- y dxd ''=ϕ，把（10）代入（9）得12）式，积分两次得梁的挠曲方程（13）式。
