必修五数列求和

高一数学必修五第二章——数列求和知识归纳：数列求和的主要方法：（1）公式法：等差或等比数列直接运用求和公式计算的方法。

（2）分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。

（3）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。

常用技巧有：①)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ②)(11n k n kn k n -+=++③)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ④])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （4）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法。

若}{n a 为等差、}{n b 为等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用此法。

（5）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法一：公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；例1：等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2232221n a a a a ++++ ＝____________；练习1．数列}{n a 的通项是21n a n =+，，则数列{}n a 的的前n 项和为（ ）A ．2n B ．)1(+n n C ．)2(+n n D ．)12(+n n二、分组求和：若数列{}n C 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

例2： 已知数列{}n a 的通项公式为231n n a n =+-，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________；练习2．数列 ,21)12(,,815,413,211n n +-的前n 项和为n S ，则=n SA ．n n 2112-+B ．12211--+n nC ．n n n 21122-+-D ．n n n 2112-+-练习3、设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .三、裂项相消：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。

数列求和方法归纳总结数列前n 项和求解的基本方法主要有：公式法，倒序相加法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法。

1.公式法：即利用等差数列前n 项和公式或等比数列前n 项和公式求解。

例1、已知点(,)n n a 在函数()21f x x =-图像上，数列{}n a 的前n 项和为n S .求n S .2.倒序相加法：如果一个数列{}n a 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

（等差数列的前n 项和即用此法推导的）例2、设4()42x x f x =+，求和：122001...200220022002S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.分组求和法：把数列的项重新组合后，可构成等差或等比数列，则利用此法求解。

例3、（1）求数列11111,3,5...,[(21)]2482n n -+的前n 项和； （2）求数列{(1)(21)}n n --的前2013项和2013S .4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，则用此法求解（等比数列的前n 项和即用此法推导的）。

求解时，把数列的各项均乘以等比数列的公比，并错后一项与原数列各项对应相减，即可转化为特殊数列的求和问题。

例4、已知数列{}n a 是首项11a =的等比数列，且0n a >，数列{}n b 是首项1b =的等差数列，又5321a b +=，3513a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n nb a 的前n 项和为n S .5. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

注意：（1）在利用裂项相消法时要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩前面两项和后面两项；（2）将通项公式裂项后，注意调整前面的系数，使之相等。

（3）常见的拆项公式：1111()()n n k k n n k =-++；1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+.例5、已知等比数列{}n a 的首项为113a =，公比q 满足0q >且1q ≠，又已知135,5,9a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令31log n n b a =，求12231111...n n b b b b b b ++++的值.例6、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 和n S ； （2）令211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .同步练习1.已知数列满足，，数列的前项和为，且数列, , , ……. ……是首项和公比都为的等比数列。

数列专项之求和-4（一）等差等比数列前n 项求和1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nnn 项求和② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅的前n 项和.此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.例23. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x例24.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.一般地，当数列的通项12()()n ca anb an b =++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将na 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cb b λ=-，从而可得12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+③1a b=-- ④11;m m mn n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n…… 例25. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例26. 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

数列求和（复习课）数列求和的常用方法归纳1.公式法（分组求和法）如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前〃项和可考虑拆项后利用公式求解.2.裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律, 即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有:①兀（〃+Q②若仏｝为等差数列，公差为必则盘—）；③&石+矿闷"等・3.错位相减法若数列｛砒｝为等差数列，数列｛加｝是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为｛a n b n]f当求该数列的前n项的和时，常常采用将｛a n b n｝的各项乘以公比g,然后错位一项与｛冷乞｝的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法.4.倒序相加法如果一个数列｛«…｝,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法.【冷考龜鰹】题型一分组转化法求和［例1］已知数列｛"｝：百,2审…，试求｛cj的前n 项和.［解］令｛"｝的前n项和为S n,1 1 1 ⑴ 则S" = l^+2j+3g --------------------------------- 兀+[寸’=(1+2+3+・・・+〃)+ |+|+|+-+^}]H(H +1)2 +亡1_2T2U n(n + l)2 +1一即数列｛c“｝的前n项和为S”=^M+1—即.［类题通法］当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前〃项和等于拆分成的每个数列前〃项和的和.［对点训练］题型二错位相减法求和"41.求和：S川=3+33+333+…+ 3331 3・解:数列3,33,333,…，3331 3的通项公式«n=|(10M-l). /. s”=s(io—i)+^(io2—1)+…+§(io"—1) =*10+IO? + …+10")一彳=1 10(1 —10")」=匹J 3 入1-10 3 27llu L) 3-题型二错位相减法求和［例2］已知数列仙｝的前n项和为S”且S n=2n2+n9 MEN*,数列血｝满足a“=41og2〃”+3, neN\(1)求a川，bn；(2)求数列仙•加的前n项和几・［解］⑴由S n=2n2+n t得当"=1 时,©=Si=3；当“M2 时，a n=S n—S n-x = 4n — 1,所以a n=4n — l9 zz WN：由4n — l=a n=41og2^n+3得亦=2"一蔦H^N\丫+忆（£一励=[（L」Z+ …+忆+乙）t?+£]~uZ（l一呻）=l，l~U1Z帀坷“忆•（【一"初+ 一忆•£一㊇）-- M X厶+7 X £=匕乙【_忆・（【一"初 -- z ZXlI + ZX£ + £ = w2冏坷:Nm" 忆•（【一"初=5切商（D甲（?）［类题通法］如果数列仏｝是等差数列，｛阳是等比数列，求数列｛aM的前〃项和时，可采用错位相减法.在写出“S/与“gS屛的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S“一qS“”的表达式.［对点训练］2・已知砒=知求数列仙｝的前n项和S n.两式相减得;S" =£+*+* —壬一聶131 nil铲=_——4X3〃T_ n2 2X耳—铲'n _3 2H+32X3n=4_4X3,/e裂项相消法求和［例3］已知等差数列仙｝满足：如=7,血+如=26,｛a n ｝ 的前n 项和为S”.⑴求冷及s n ；⑵令加=詁不兀EN ),求数列｛九｝的前n 项和T n . ［解］⑴设等暮数列｛“”｝的首项为S 公差为〃， 由 丁 “3=：7,。