2021届黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷

大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：x R ∀∈，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，200320x x -+≤ B ．x R ∀∈，320x x -+> C ．0x R ∃∈，200320x x -+>D ．x R ∀∈，320x x -+≥2．若{}0,1,2A =，{}2,a B x x a A ==∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,43．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．5z =D ．13122z i i =++ 4．已知3a i j =+，2b i =，其中i ，j 是互相垂直的单位向量，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．28D ．245．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()2E X =，()43D X =，则p =（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若6k a S =，则k =（ ）A ．15B ．16C ．17D ．187．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ︒=（ ） A ．3-B ．12-C ．12D ．3 8．已知函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧+>⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()()1g f -的值为（ ）A ．10-B ．9-C ．7-D ．19．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移23π个单位 10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（ ）A ．11A PB D ⊥B ．三棱锥1D APC -的体积不变，为83C ．1//A P 平面1ACDD ．1A P 与1D C 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()ln 1f x x =+，若存在互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则411i if x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知点A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标为______． 14．若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为______．15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈满足()()2411n n S a +=+，则361111kk kk k kaa a a =++-=-______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若13a =，3b =，求ABC △的面积18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：AB PE ⊥；（2）求二面角A PB E --的大小．19．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参考成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名学生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求()3P ξ≤（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按与按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．21．已知函数()ln x xf x xe x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意的()0,x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围 请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()23,0P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为141x k k y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围 23．选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案1．C 2．C 3．D4．A 5．C 6．B 7．A8．B 9．A 10．D11．B12．A13．(-14．315．52π1617．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）解：（Ⅰ）由2tan tan tan B bA B c =+及正弦定理可知，∴sin 2sin cos sin sin cos cos cos B B B A B C A B =+∴()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C⋅⋅=+， 所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3A π=（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得21393c c =+-，所以2340c c --=，即()()410c c -+=， 所以4c =，从而11sin 3422ABC S ab A ==⨯⨯=△18．（1）证明见解析；（2）60°解析：（1）连结PD ，∵PA PB =，∴PD AB ⊥，∵//DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ⊥ 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ，∴AB PE ⊥ （2）法一：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 则DE PD ⊥，又ED AB ⊥，PD ⋂平面AB D =，DE ⊥平面PAB过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥，DFE ∠为所求二面角的平面角，32DE =，2DF =，则tan DEDFE DF∠==A PB E --大小为60°法二：∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ⊥平面ABC 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，∴()1,0,0B ，()0,0,3P ，30,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()1,0,3PB =-，30,,32PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBE 的法向量()1,,z n x y =，∴30,330,2x z y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3z =，得()13,2,3n = ∵DE ⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n = 设二面角A PB E --大小为θ，由图知，1212121cos cos ,2n n n n n n θ⋅===⋅， 所以60θ=︒，即二面角的A PB E --大小为60°19．（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分（2）依题意z 服从正态分布()2N μσ，，其中=70.5x μ=，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()2270.5,14.31N N μσ=，，而()()56.1984.810.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=，而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=20．（1）证明见解析，21nn a =-；（2）11202（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①-②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-（2）根据（1）求解知，()22log 12121n n b n =+-=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列又因为11a =，23a =，37a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-281072911202=-+=21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）k ，，1 解析：（Ⅰ）()()21ln 1x xf x x e x +'=++，易知()f x '在()0,e 上为正，因此()f x 在区间()0,1上为增函数，又1210xe ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()0f I e =>因此()10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 在区间()0,1上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1,+∞上恒成立，即在()1,+∞上无零点， 则()f x 在()1,+∞上存在唯一零点（Ⅱ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=，原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1xxe x g x x--=，则()ln x xxe x g x x+'=，由（Ⅰ）可知()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，00x x e t =故只求()0g x ，设00x x e t =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-， 可得0000ln ln ln x tx x x t =-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左右负不相等，只能1t =因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即k ，，1求所求 22．（1）S 的普通方程为：2240x y x +-=()04,0x y ≤≤≥或()0,0x y >≥或()0,0x y ≠≥方程写标准式也可S 的极坐标方程为：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭（不写范围扣2分） （2）0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23．（1）见证明；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1）由柯西不等式得)2222211x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅+⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦ ∴()()222433x y x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式1121a a x y+≥-++恒成立，即可转化为214a a -++≤， 当2a ≥时，214a -≤，可得522a ≤≤， 当12a -<<，34≤，可得12a -<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。

【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。

大庆铁人中学2021届高三第三次阶段考试数学〔理〕试题总分值：150分 考试时间:120分钟 第一卷〔选择题 总分值60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

请考生把答案填写在答题纸相应位置上。

〕 1．{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，那么=PQ〔 〕A ．∅B ． {}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,2-2．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 〔 〕A ．||2x y =B ．21(1)y g x x =++C ．22x xy -=+D ．111y gx =+3．假设复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，那么tan θ的值为〔 〕A ．43B ．34-C ．34D ．3344-或4．给出以下不等式：①a 2＋1≥2a ；②a ＋b ab≥2；③x 2＋1x 2＋1≥1．其中正确的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．35．－1，a ，b ，－4成等差数列，－1，c ，d, e ，－4成等比数列，那么b －ad＝ 〔 〕 A ．14 B ．－12C ．12D ．12或－126．曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为〔 〕A ．42ln 2-B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．2ln 27．假设某几何体的三视图如图1所示，那么此几何体的外表积是〔 〕A ．52π+ B ．32π+C ．πD ．32π8．j i ,为互相垂直的单位向量，向量a j i 2+=，b j i +=，且a 与a +λb 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是〔 〕 A ．),0()0,35(+∞-B ．),35(+∞-C ．),0()0,35[+∞-D ．)0,35(-9．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N两点，O 为坐标原点．假设OM ON ⊥，那么双曲线的离心率为 〔 〕A BC D10．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，那么〔 〕A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<>B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<<C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -><第二卷 〔非选择题 总分值90分〕二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分。

黑龙江省大庆市铁人中学2021届上学期高三年级阶段考试数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A. )}1,1(),1,1{(- B. }1{ C. ]1,0[ D. ]2,0[2．已知i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，则 | z | +1z＝( )A.iB.1i -C.1i +D.i -3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为 ( ) A.112B .14C.13D.7124．已知(1,2),(2,3)a b =--=-，当ka b +与2a b +平行时，k 的值为( ) A. 14 B ．－14 C ．－12 D.125.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. ①④②③ B ．①④③② C ．④①②③D ．③④②①6．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 （ ） A.6πB.56πC.76πD.116π7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则a 的取值范围是（ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A.16πB.4πC.8πD.2π9．数列{}n a 满足221221,1,(1sin )4cos 22n n n n a a a a ππ+===++，则910,a a 的大小关系为 A.910a a > B.910a a = C.910a a < D.大小关系不确定10．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31,f x f x x x +=--++则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程是（ ）A.320x y --=B.320x y +-=C.10x y -+=D.20x y --=11．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ，并且1202,2x x <<>，则1ba -的取值范围是 ( ) A.)31,1(-- B .]31,3(-- C.)21,3(-- D.]21,3(--12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足：0)()('<+x f x f ，则122)(+--m m em m f 与)1(f （e是自然对数的底数）的大小关系是（ ） A.122)(+--m m em m f >)1(f B.122)(+--m m em m f <)1(f C.122)(+--m m em m f ≥)1(f D. 不确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为_______。

2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．复数21i-的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()()2122211112i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2．已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A ．[21]-， B ．[21)-， C ．[1]3， D ．(13]，【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，根据对数复合函数的定义域求法求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、对数型复合函数的定义域，综合性比较强，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 4．函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则()f m 的值为（ ）. A ．2 B ．2- C ．23D ．23-【答案】C【解析】根据函数为奇函数可得20m m -+=，从而求出1m =，再由()=(1)=f m f ()()121313f ---=--=【详解】函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数， 则20m m -+=，解得：1m =，则()()12()=(1)=1313f m f f ---=--=.故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-⨯-= 故选B. 【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象，故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.7．已知65a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】利用指数函数单调性得到11651155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到11551156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到a ，b 的关系，再利用“1”与c 比较. 【详解】因为51110.2656111155665a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a b >>，而337 7235log log17c=>=，所以c a b>>．故选：C．【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．1083cm B．1003cm C．933cm D．843cm【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．由此即可得出体积．【详解】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角），∴该几何体的体积2116634310032V=⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，属于常考题型.9．已知函数221,0()log,0x xf xx x⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a≤，则实数a的取值范围是（）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-【答案】D【解析】分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：当0a ≤时，()211f a a =+-≤，解得40a -≤≤； 当0a >时，()22log 1log 2f a a =≤=，解得02a <≤； 综上所述，[]4,2a ∈-. 故选:D. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想. 10．已知向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>，若1m n ⋅=，则12a b+的最小值为（ ）A ．7B ．72+C ．7+ D ．【答案】B【解析】先由向量数量积的坐标表示，得到312a b +=，再由321212a b a a b b ⎛⎫+⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭=展开后，根据基本不等式求解，即可得出最值. 【详解】因为向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>， 若1m n ⋅=，则2131b a -+=，即312a b +=，因此33377222221212a b a a ba ab b b ⎛⎫⎛⎫+=+=++++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3a bb a=，即b =时，等号成立； 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.11．已知函数()()(0) ,2f x sin x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，为了得到()2g x sin x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】A【解析】利用函数()f x 的图象求得,ωϕ的值，再利用左加右减的平移原则，得到()f x 向右平移6π个单位得()2g x sin x =的图象. 【详解】因为712344T πππ-==， 所以22T ππωω==⇒=. 因为7()112f π=-， 所以7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以() 23f x sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭+. 所以() 2() 2663f x sin x sin x g x πππ⎛⎫⎛⎪-=-+⎫==⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象向右平移6π个单位 可得()2g x sin x =的图象. 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求,ωϕ的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量x 而言的.12．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的； 对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．二、填空题13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0-【解析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0- 【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.15．若tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】45【解析】根据题中条件，先得到tan 2θ=-，根据二倍公式，诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】 由tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得tan 131tan -=+θθ，解得tan 2θ=-，则22232sin cos 2tan 44cos 2sin 22sin cos tan 1415⎛⎫-=-=-=-==⎪+++⎝⎭πθθθθθθθθ， 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，涉及诱导公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________. 【答案】4【解析】由已知可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果 【详解】 ∵函数()1f x +是奇函数，∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称， ∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称， 则()()2f x f x -=-，又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--， ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称， 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足21322n S n n =+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）1122n T n =-+. 【解析】(1)根据知n S 求n a 公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ；(2)利用裂项相消法，即可求出n T . 【详解】(1)当2n ≥时，2211313(1)(1)2222n n n a S S n n n n -=-=+---- 22131133222222n n n n n =+-+--+1n =+， 当1n =时，1113222a S ==+=也适合上式，所以{}n a 的通项公式1n a n =+. (2)因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111111123344512n n =-+-+-++-++ 1122n =-+ 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a 及裂项相消法求和，属于基础题. 18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.【答案】（1）23C π=；（2【解析】(1)利用正弦定理边化角公式可得sin si c 1n sin os 2A B C B +=,再将()sin sin A C B =+整理可得1cos 2C =-2,3C π= (2)根据余弦定理可得c =再根据正弦定理求出2sin cR C=,即可得R 【详解】解:(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=，且sin 0,(0,)B C π≠∈所以1cos 2C =-2,3C π=(2)2222cos 19,c ab ab Cc ==+=-所以2sin c R R C ====【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25=-n a n ，2n n b =（*n N ∈）；（2）114(27)2n n ++-.【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出{}n a 的通项公式；根据题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-，由1n n n b G G -=-，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出数列的和. 【详解】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ， 由55S =得1545+52a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-；由题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-， ∴1n=时，21222b =-=，2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+=； ∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）由（1）可得，()252nn n n c a b n ==-⋅，则12312(3)2(1)212(25)2n n n T c c c n =+++=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，因此2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，即131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n +=---⋅，所以114(27)2n n T n +=+-.【点睛】本题主要考查求等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，属于常考题型.20．已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若()23fα=-，且0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求cos2α的值．【答案】（1）[]1,2-；（2． 【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质求解. （2）由2()3f α=-，得到1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，再根据52666πππα-≤-≤，利用平分关系得到cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）2()cos 2sin 1f x x x x =+-，2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[1,2]-． （2）由2()3f α=-，知1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又因为52666πππα-≤-≤，所以cos 263πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭⎝11332⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点(A 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值.【答案】（1）22142y x +=；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题中条件，得出椭圆的离心率2c e a ==，再由点(A 代入椭圆方程，根据222+=a b c ，即可求出,,a b c ，从而可得椭圆方程；（2）设直线BD 的方程为y m =+，根据题意得0m ≠，设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算12k k +，即可得出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由双曲线方程221x y -=则椭圆的离心率2c e a ==，将(A 代入22221y x a b+=，得22211a b += ，又222+=a b c，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩所以椭圆C 的方程22142y x +=； （2）证明：设直线BD的方程为y m =+，又A ，B ，D 三点不重合，∴0m ≠， 设()11,B x y ，()22,D x y ，则由22142y my x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y，整理得22440x m ++-= ，所以12x x +=，21244m x x -=，28640m ∆=-+>，则m -<，设直线AB ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，则12121212121111y y m m k k x x x x +++=+=+----()21212122201m m x x x x x x ++-=====--+所以120k k +=，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，涉及双曲线的离心率，属于常考题型.22．已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且21aa-≤，即得a 的取值范围. 试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min210a f x f f a -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

黑龙江省大庆市铁人中学2021届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A ＝{x ｜x 2−2x−3<0}，集合B ＝{x|log 2(x−1）≥0｝,则A∩B ＝（ )A. ｛x|2≤x 〈3}B. ｛x|2〈x ≤3}C. {x ｜1≤x<3｝ D 。

{x ｜−1≤x<2｝ 2。

已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则( ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件3．已知向量b a ,不共线,b a c +=3，b m a m d )2(++=，若d c //,则m =( ）A ． —12B ． -9C ．-6D ．-34．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ） A ．7B ．8 CD ．5。

已知函数⎩⎨⎧>≤=1log 12)(2x x x x f x ，则())2(f f =（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26.某化工厂生产一种溶液，按要求,杂质含量不能超过0。

1％，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg2=0.301，lg3=0。

477)( ） A ．10B ．11C ．12D ．137. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点(,)P a b ,若3cos 25θ=-，则ba =( ）A ．12B ．2C ．12- D ．2-8． 函数3()2xy x x =-的图象大致是（ )A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin f x x x =-+,若3(3a f =，(2)b f =--,2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =,有()123f x x +=，则该函数的图象（ ) A ．关于直线4π=x 对称B ．关于直线3π=x 对称C ． 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称 D ．。

大庆市铁人中学2020届高三上学期期中数学（理）试卷试题满分150 分，答题时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1、1+212ii=-（ ） A ．4355i -- B ．4355i -+ C ．3455i --D ．3455i -+ 2、已知集合2{|}{|02450}A y y y N B x x x x N =≤∈=≤∈＜，，﹣﹣，，则A B ⋂=( ) {}1A ． }1{0B ．，02[C ．，） D ∅． 3、已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A 45-B 35-C 35 D454、曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率为（ ）A 1B 2C 3D 4 5、下列叙述正确的是（ ） A 命题“p q 且”为真，则,p q 恰有一个为真命题B 命题“已知,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件” C 命题:0p x ∀>都有1xe >，则0:0,p x ⌝∃>使得01x e≤D 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <g ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点6、若x y ，满足约束条件220+100x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =＋的最大值为（ ）A 4B 5C 6D 7 7、若101a b c >><<，，则（ ）（A ）cca b <（B ）ccab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c<8、在ABC ∆中， 0,2,23,AB BC AB BC →→→→===g D 为AC 的中点，则BD DA →→=g ( ) A 2 B 2- C 23 D 23- 9、函数1()1xx f x e x -=++的部分图像大致是（ ）10、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”，的外接球表面积为（ ） A833π B 8π C 6π D 433π11、不等式xe x ax ->的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A (,1)e -∞- B (1,)e -+∞ C (,1)e -∞+ D (1,)e ++∞12、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A (0,1) B (1,)+∞ C (,)e +∞ D (0,)e二. 填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分） 13、已知向量(1,),(,4),ax b x →→==若a b →→与反向则________x =14、函数()cos 26sin 1f x x x =++的最大值为_______15、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 060ABC ∠=ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________16、设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则当]0,2[-∈x 时，)(x f 的解析式为______________三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17、(10分)已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++ （1）求()f x 的最小正周期及对称中心 （2）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值。

数学本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数，数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，圆锥曲线等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一.选择题（每小题5分，共60分）【题文】1.设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩B 为( )A ．[0,3]B ．(2,3]C ．[3，＋∞) D．[1,3] 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】A ＝{x |0≤x 3≤},B={y |y >2}则A ∩B=(2,3] 【思路点拨】先分别求出A ，B 再求交集。

【题文】2.命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题 C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题 D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题【知识点】命题及其关系A2 【答案】A【解析】∵原命的否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，∴取x=0，则20+02=1，故它是假命题.【思路点拨】易得其否定为∀x ∈R ，2x +x 2＞1，直接推断其真假有困难，这不防反过来思考，是否所有的∀x ∈R ，都满足2x+x 2＞1，如取x=0则不满足. 【题文】3. 已知△ABC 中，tanA ＝－512，则cosA ＝( )A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案】D【题文】4. 若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－12【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】C【题文】5. 已知函数f (x )＝sin(2x －4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】D【题文】6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】整理圆方程得（x-3）2+y 2=16∴圆心坐标为（3，0），半径r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得P ．【题文】7.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2【知识点】直线与圆H4【答案】C【解析】由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，∴弦长=|x1-x2代入可得：7a2-4r2+4=0 ①再将点（0，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，得2a2=r2=0…②，联立①②即可解出a=1、r2=2，或a=-1，r2=2(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。

大庆市铁人中学2020届高三上学期期中数学（理）试卷试题满分150分，答题时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

）1、1+212i i =-（）A．4355i --B．4355i -+C．3455i --D．3455i -+2、已知集合2{|}{|02450}A y y y N B x x x x N =≤∈=≤∈＜，，﹣﹣，，则A B ⋂=(){}1A ．}1{0B ．，02[C ．，）D ∅．3、已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A 45-B 35-C 35D 454、曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（）A 1B 2C 3D45、下列叙述正确的是（）A 命题“p q 且”为真，则,p q 恰有一个为真命题B 命题“已知,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C 命题:0p x ∀>都有1x e >，则0:0,p x ⌝∃>使得01x e ≤D 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <g ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点6、若x y ，满足约束条件220+100x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =＋的最大值为（）A 4B 5C 6D 77、若101a b c >><<，，则（）（A）c c a b <（B）c c ab ba <（C）log log b a a c b c <（D）log log a b c c<8、在ABC ∆中，0,2,23,AB BC AB BC →→→→===g D 为AC 的中点，则BD DA →→=g ()A 2B 2-C 23D 23-9、函数1()1x x f x e x -=++的部分图像大致是（）10、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”，的外接球表面积为（）A 833πB 8πC 6πD 433π11、不等式x e x ax ->的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（）A (,1)e -∞-B (1,)e -+∞C (,1)e -∞+D (1,)e ++∞12、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（）A (0,1)B (1,)+∞C (,)e +∞D (0,)e 二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分）13、已知向量(1,),(,4),a x b x →→==若a b →→与反向则________x =14、函数()cos 26sin 1f x x x =++的最大值为_______15、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 060ABC ∠=ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________16、设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则当]0,2[-∈x 时，)(x f 的解析式为______________三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17、(10分)已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++（1）求()f x 的最小正周期及对称中心（2）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值。

铁人中学2021级高三上学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分。

）1. 已知集合{}0)2)(3(>-+=x x x A ，{})5ln(+==x y x B ，则=B A （ ）A. ()53--，B. ()3,2-C. ()5,2-D. ()()532--⋃+∞，， 2. 已知i2i i z z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A.i 5354+ B.i 5453- C.i 5453+ D.i 5354- 3. 若,R a b ∈且0ab ≠，则“1ab<”是“a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，能判断βα//的有（ ）A.n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//nB.平面α内不共线的三点到β的距离相等C.n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n mD.平面βα,都垂直于平面γ5. 已知函数()()3sin cos ,f x ax b x x a b =++∈R ，若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 26. 已知32log ,24log 43==b a ，235=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A.c b a >>B. bc a >> C.c a b >>D.a c b >>7. 杨辉是南宋杰出的数学家，一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：()()()()()1112123123126n n n n +++++++++++=++ ．若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()28121n n S a +=+，数列{}n b 的通项公式为1n n n b a a +=⋅，则根据三角垛公式，可得数列{}n b 的前10项和10T =（ ）A. 440B. 480C. 540D. 5808.定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足2ln 2)4(,01)(=>-'f x f x ，则不等式x e f x <)(的解集为（ ）A.)2ln 2,0(B.)2ln 2,(-∞C.)2ln 2(∞+，D. )2ln 2,1(二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在ABC △中，已知32A C π==，3CD DB =，则（ ）A.AB AC BC +=B.2AC AD =C.1344AD AB AC=+ D.AD BC⊥ 10.在三棱柱111C B A ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为线段1AA ，11C A ，11B C ，1BB 的中点，下列说法正确的是（ ）A.E ，F ，G ，H 四点共面 B. 平面EGH //平面1ABC C. 直线1AA 与FH 异面 D. 直线BC 与平面AFH 平行11.设0,0>>b a ，且121=+ab ，则（ ）A. 10<<b B. 1>+b a C.b a 2-的最小值为0 D. b a 1+的最小值为223+12.若αααα6tan tan 36tan 3tan +=-，则α的值可能为（ ）A.15π-B.152πC.154π D.1514π第Ⅱ卷 非选择题部分三、填空题（每小题5分，共60分）13. 已知平面向量m ，n 满足||3= m ，||2n = ，m 与n 的夹角为π3，则23||m n -= ___________.14. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为__________．15.已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为__________.16．若函数()f x ，()g x 在R 上可导，且()()f x g x =，则能得出()()''f x g x =．英国数学家泰勒发现了一个恒等式22012xnn ea a x a x a x =+++++ ，则0a = ，1011n n na na +==∑．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分。