习题7.1
1.设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
00
,1),(~/x x e x f X x θθθ
θ为未知参数, 0>θ. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试求未知参数θ的矩估计值.
2. 设总体X 的概率分布为
2
2)1()1(23
2
1
θθθθ--k
P X
其中θ为未知参数.现抽得一个样本,1,2,1321===x x x 求θ的矩估计值和极大似然估计值.
3. 设总体X 具有概率概率密度
⎩⎨⎧<
<=-其他,
00,),(1x e x f θθθ
其中θ为未知参数. n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, 求λ的矩估计量和极大似然估计量.
4.设),1(~p b X ，n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，试求参数p 的极大似然估计.
5. 设总体X 的数学期望和方差分别为μ和2
σ，21,X X 3,X 为来自总体的的样本，对于参数μ的三个估计量
3211656163X X X ++=∧μ
3212525251X X X ++=∧μ
32133
13131X X X ++=∧μ
问它们中那些是无偏估计量，哪一个更有效？
6.设总体X 的k 阶矩)1)((≥=k X E k k μ存在, 又设n X X X ,,,21 是X 的一个样本.
试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩∑==n i k
i k X n A 1
1是k 阶总体矩k μ的无偏
估计量.
7. 为了估计湖中有多少条鱼，特从湖中捞出1000条鱼，标上记号后又放回湖中，然后再捞出150条鱼，发现其中10条鱼带有已给的记号，问在湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条有记号的鱼概率为最大？
8. 设),,,21n X X X （为总体X 的样本，欲使21
1
1
2
)(ˆi n i i X X
k -=∑-=+σ
为2σ的无偏
估计，问k 应取什么值？
9.设分别自总体),(21σμN 和),(22σμN 中抽取容量为21,n n 的两独立样本.其样
本方差分别为2221,S S . 试证, 对于任意常数2
221),1(,bS aS Z b a b a +==+都是2σ的无偏估计, 并确定常数b a ,使)(Z D 达到最小.
10.设n X X ,,1 是取自总体X 的样本, 且)(k
X D 存在, .,,2,1n k = 则∑=n i k
i
X n 1
1为)(k X E 的相合估计量, .,,2,1n k =
习题7.2
1. 为考虑某种香烟的尼古丁含量(以mg 计), 抽取了8支香烟并测得尼古丁的平均含量为.26.0=x 设该香烟尼古丁含量)3.2,(~μN X . 试求μ的置信区间, 置信度为0.95.
2. 从一批灯泡中随机地抽取10只作寿命(单位:h)试验, 计算得1147=x 已知这批灯泡寿命),8,(~μN X 求平均寿命μ的置信度为95%的单侧置信下限.
3..某总体的标准差cm 10=σ，从中抽取100个个体，其样本平均数
cm 500=x ，试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限（即置信区间的上、下限）.
4..对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，方使总体均值μ的置信水平为100（1-a ）%的置信区间长不大于定值L . 习题7.3
1.已知来自容量49=n 的正态总体)3.7,(2μN 的一个样本，其样本均值8.28=x ，试对总体的均值作区间估计（05.0=α）
2.设轴承内环锻压零件的平均高度），（24.0~μN X 现抽出了20只环，测得其平
均高度的算术平均值mm 3.32=x ，求内环平均高度的95%置信区间.
3.. 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为
2.14 2.13 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 若钉长分布为正态的，试对下面情况分别切除总体期望μ的置信度为0.9的置信区间；
（1）已知cm 01.0=σ；（2）σ未知.
4. 某大学英语测验，抽得20个学生的分数平均数72=x ，样本方差162=s ，假设分数服从正态分布，求2σ的置信度为98%的置信区间.
5.为考察某城市成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值,186=x 样本标准差12=s . 假定所论胆固醇水平),,(~2σμN X μ与2σ均未知. 试分别求出μ以及σ的90%置信区间.
6. 测量铝的比重16次，测得029.0,705.2==s x ，试求出铝的比重置信水平为95%的置信区间，设这16次测量结果可以看作来自同一正态总体.分别求出总体均值μ和方差2σ的置信水平为95%的置信区间.
7.为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择5块地段，在各地段按两种方案试验作物，得到单位面积产量如下：（单位：kg ）
方案I 87 56 93 93 75 方案II 79 58 91 82 74
若两种产量都服从正态分布，且有相同的方差，问按95%的置信度，两种方案的平均产量的差在什么范围内？
8. 随机地从A 中导线中抽取4根，并从B 中导线中抽取5根，测得其电阻）（Ω为
A 种导线 0.143 0.142 0.143 0.147
B 种导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测试数据分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ，并且它们相互独立，2σ已知，等于20025.0，但21,μμ均未知，试求21μμ-的置信水平为0.95的置信区间. 9. 有两台机器生产同一种零件，分别抽取6件和5件测量其尺寸（单位：cm ）
如下：
第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 第二台机器：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8
已知零件尺寸服从正态分布，问若取置信度为0.90，两台机器加工精度（标准差）之比应在什么范围内.
10设两位化验员A 、B 独立地对某种聚合物的含氮量用相同的方法分别作了18
次、13次测定，测得的数据经计算得样本方差依次为为=2A
s 0.34，=2B s 0.29，设2A σ和2
B σ分别是A 、B 两化验员测量数据的总体的方差，且总体服从正态分布，求方差比2
2/B A σσ的置信度为95%的置信区间.
习题7.4
1. 为估计一批产品的一等品率，从中抽取100件进行检验，发现60件一等品，若取05.0=α，试求p 的置信区间.
2.某射手对一快速移动靶射击100次，结果有8次命中，试求这名射手命中率p 的95%的置信区间.
3.设总体)(~λπX ，抽取容量为100的样本，已知样本均值x =4，求总体均值λ的置信度为98%的置信区间.
4.从一大批灯泡中任意抽取100只，测得它们的使用寿命并计算得样本均值
)(2000h x =，假设灯泡的使用寿命服从指数分布)(λE ，求参数λ的置信度为95%
