两角和与差及倍角公式

两角和与差及倍角公式

【考点导读】

1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；

2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．

【基础练习】

1．写出下列各式的值： （1）2sin15cos15??=_________； （2）22cos 15sin 15?-?=_________；

（3）22sin 151?-=

； （4）22sin 15cos 15?+?=

____1_____．

2．已知3(,),sin 25παπα∈=)4

πα+=_________．

3．求值：（1）1tan151tan15-?=+?_______；（2）5cos cos 1212π

π=_________．

4．求值：tan10tan 20tan 20)???+?+?=____1____．

5．已知tan 32α

=，则cos α=________．

6．若cos 2π2sin 4αα=-??- ???

，则cos sin αα+=_________．

【范例解析】

例1.求值：（1）sin 40(tan10??；

（2

分析：切化弦，通分．

解：（1）原

式=sin10sin 40(cos10???=sin 402sin(1060)

sin 40cos10?-?=???

2cos 40sin 40cos10?

=-???sin801cos10-?

==-?．

（2）2sin 4011cos10?

?=+==?

Q ，

又=?． 12 23

1

7 1

4

－54

1

2

原式

2sin 402sin 50sin80??+??

=

2==． 点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．

例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2α，cos 2β．

分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--．

解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13

αβ+=- 33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-． 点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．

例3.若3cos()45x π

+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 分析一：()44

x x π

π=+-． 解法一：177124x ππ<

x πππ∴<+<， 又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-．

cos cos[()]4410x x ππ=+-=-Q

，sin 10

x ∴=-，tan 7x =． 所以，原式

=22((2(281010101775

??+?=--． 分析二：22()42

x x π

π=+-．

解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +?-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4

x x x x x π+==?+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=，

所以，原式7428()25375

=?-=-． 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．

【反馈演练】 1．设)2,0(π

α∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ． 3．若316sin =??? ??-απ，则??? ??+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55

αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=??

． 6．已知232,534cos παππα<≤=??? ??

+．求??? ?

?+42cos πα的值解：().2sin 2cos 2

24sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=??? ??

+ 又3cos 0,224π

ππαα??≤<+> ??

?且,47443ππαπ<+≤ 54cos 14sin 2=??? ?

?+--=??? ??+∴παπα 从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=??

? ??+??? ??+=??? ??

+=παπαπαα， 254cos 2122cos 2sin 2=??? ?

?+-=??? ??+-=παπαα5023125725242242cos =??? ??--?=??? ??+∴πα51 43- 17- 97- 12

5.4(4)两角和与差公式应用

资源信息表

5.4 (4)两角和与差公式的应用 上海市杨浦高级中学曹丽琼 一、教学内容分析 通过之前的学习，学生已初步掌握两角和与差的正弦、余弦与正切公式.本节课将对这组公式作进一步的应用，从中体会公式的作用. 辅助角公式的引入是本节课的重点，可以由具体实例出发，使学生经历由具体到一般的抽象思维过程，使辅助角公式的形成自然、易理解. 二、教学目标设计 （1）应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义.能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用. （2）在推导的过程中，进一步提高对比、分析和知识运用的能力，逐步形成从具体到一般的抽象思维以及化归的数学思想. 三、教学重点及难点 两角和与差公式的应用； 辅助角公式的形成、理解.

四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、讲授新课 1、复习引入，设置问题 复习：两角和与差的正弦、余弦公式. βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 快速练习：利用两角和与差公式展开)3 sin(π α+. 学生完成.（2 3 cos 21 sin )3 sin(? +?=+ααπ α） 若要将表达式2 3 cos 21sin ? +?αα化简为只含一个三角比的形式，则表达式可以是)3 sin(23cos 2 1sin πααα+=? +? 问题1、表达式还可以是什么？为什么？ 学生回答（)37sin(23cos 2 1 sin πααα+=? +?、)6 cos(πα-等）

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.

(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

成功是必须的 :两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )= T( a + 3 ): tan( a + 3 )= 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2 h 例 2 设 cos a — 2 1 9’ T 2 : tan2 . a sin 2 — 2 3,其中 n 2, n 0, 2，求 cos( a+ 3). sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a = — — , 3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。 如T( a± 3可变形为： tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B 、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知0 3 . ncos(— 4 4 3 5，sin( 4 )—,求 sin( a + 3 )的值. 13 则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围; 值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。 1 1 例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值. (2)求角的某一个三角函数 n a — 6 + A —症 A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 4 3」 B 辺 B. 5 4 q 5 cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65 sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C. 65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( ) C . 0 或 3 4 D ?5 16 65 0或土 3 A . 0 B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin5 5、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5 B. o ■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值? 1 1 变式3:已知tan a = , tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值. 7 3 题型4辅助角公式的应用 J 2 2 asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 b tan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 例4求函数f(x) 5sin xcosx ^3cos 2 x —V 3( x R)的单调递增区间？ 2 变式4( 1)如果f x sin x 2cos(x )是奇函数，则tan 变式1 :化简求值: 题型2给值求值 2cos10 sin 20 cos20 (2)若方程si nx J3cosx c 有实数解，则c 的取值范围是 ____________________ 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幕降幕 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把 所求角 用“已知角”表示.

两角和与差公式的应用经典练习题

两角和与差公式的应用 【导航练习】 1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= . 2. sin x =2 2是tan x =1成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范围是 （ ） A ．（0，π2 ） B ．（π4 ,3π4 ） C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π） D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4 ） 4．已知α＋β=π4 ＋2k π （k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 2 5．已知cos x ＋cos y = 12 ,sin x －sin y = 14 ,求cos （x ＋y ）的值. 【巩固练习】 1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是 （ ） A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 2．已知tan x = － 2 ,π

3．在△ABC 中，sin A = 35 ,cos B = 513 ,求sin C 的值。 4．求cos55°cos65°＋sin 25°的值。 5．求 42sin 18cos 318sin 的值。 6. 化简：sin （x ＋17°）cos （x －28°）＋cos （x ＋17°）sin （28°－x ） 7．求证：在△ABC 中，sin A cos B cos C ＋sin B cos C cos A ＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C 8. 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A ＋ 3 tan B ＋1 = tan A tan B ,试判断 △ABC 的形状。 9．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos （α－β）= 1213 ,sin （α＋β）= － 35 ，求sin2α的值。

两角和与差及倍角公式(一)

两角和与差及倍角公式（一） 【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】 1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________． 2. 化简2cos 6sin x x -=_____________ ． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ． 4.化简： sin sin 21cos cos 2αααα +=++___________ ． 【范例解析】 例 .化简：（1） 4221 2cos 2cos 22tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+； （2） (1sin cos )(sin cos ) 22(0)22cos θθ θθθπθ ++-<<+． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一 ： 原 式 = 2221 (2cos 1)2 2sin() 4cos () 4cos()4 x x x x π ππ----22 (2cos 1)4sin()cos() 44 x x x ππ -= --2cos 22sin(2)2 x x π = -1 cos 22 x =． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二 ：原式 221 (2cos 1)21tan 222(sin cos ) 1tan 22 x x x x x -= -?++2 2c o s 2c o s s 2(s i c o s s x x x x x x x =- ?++ 1c o s 2 x =． （ 2 ） 原 式 = 22 (2sin cos 2cos )(sin cos )2 22224cos 2 θ θ θθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθ θθθ--?== 12 3＋cos2x 22cos()3x π + tan α

两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ； 2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ； 3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测： 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) 711 A 、 711 B 、- 713 C 、 7 13D 、- 2、已知cos ????α－π6＋ sin α＝4 5 3，则 sin ????α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4 5 3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5 13 ，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或 ±3 5、三角式2cos55°－3sin5° cos5° 值为( ) A.3 2 B. 3 C ．2 D ．1 题型训练 题型1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]???++. 变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20 ?? ? - 题型2给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如 ()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()() αβαβα=+--， 22αβαβ++=? ，()( ) 222αββ ααβ+=--- 例2 设cos ????α－β2＝－19 ，sin ????α2－β＝2 3，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos(α＋β)． 变式2：π3π33π5 0π,cos(),sin(),4445413 βααβ<< <<-=+=已知求sin(α+β)的值. 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。 例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1 7 ，求 2α－β的值． 变式3：已知tan α= 17，tan β= 1 3 ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 题型4辅助角公式的应用 ()sin cos a x b x x θ+= + (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a θ= 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间？ 变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； （2）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂

三角函数基础,两角和与差、倍角公式

练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足

两角和与差的正切公式

第4课时 两角和与差的正切公式 【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式. 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明. 【教学重点与难点】 重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用. 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点. 【教学过程】 导入 我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75?. 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75?的值. 问题引入 两角和、差的正弦公式： =+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________ 两角和、差的余弦公式： =+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________ 构建新知 推导过程 sin() tan()cos() αβαβαβ++= + sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβ αβαβ += - 分子分母同时除以cos cos αβ，得 t a n t a n t a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=-

两角和、差的正切公式： =+)tan(βα________ tan tan 1tan tan αβ αβ +-________________________ 用β-代替β，就可得到 =-)tan(βα___________ tan tan 1tan tan αβ αβ -+_____________________ 例题分析 例1 求值 （1）0 75tan ；（2）0 00043 tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00 75tan 175tan 1-+ 解 （1）0 tan 75tan(4530)=?+? tan 45tan 301tan 45tan 30?+? = -?? = （2）00 00 tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=?+?= - （3）00 1tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+?+?==?+?=--?? 特殊角的三角函数值 例2 已知7 tan ,5)tan(== -ββα，求αtan . 解 []t a n t a n ()ααββ=-+ tan()tan 1tan()tan αββ αββ -+= -- 1=

两角和与差的三角函数练习含答案

一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）；

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计 一、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标 1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

两角和与差的正切公式

第4课时两角和与差的正切公式 【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导岀两角和与差的正切公式 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明 【教学重点与难点】 重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点.【教学过程】 导入 我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75 . 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75的值. 问题引入 两角和、差的正弦公式： sin( ) ______________________ ，sin( ) _____________________ 两角和、差的余弦公式： cos( ) __________________ ，cos( ) ___________________ 构建新知 推导过程 分子分母同时除以cos cos ，得 两角和、差的正切公式： tan tan tan() 1 tan tan 用代替，就可得到 tan tan tan() 1 tan tan

例题分析

例1 求值 (1) tan 750 ； ( 2) tan 17 0 1 tan 17 tan 43 0 0tan 43° 1 tan 75 0 1 tan 75 0 (1) tan 750 tan (45 30 ) (2) tan17 0 (3) tan 43 0 tan17 0 tan 430 tan (17 43 tan 75 0 1 tan 75 0 tan 45 tan 75 1 tan 45 tan 75 tan (45 75 ) 例2 已知tan( ) -,tan 3 ，求 5 7 解 tan tan ( ) 随堂训练 1 ?填空： 0 1 3 (1) tan 105 1 「 5 tan tan 12 12 tan tan 12 12 1 tan 15° 1 tan 150 tan 30 (4) tan150 1 tan15 0 1门 tan 15 1 1 tan15 2.已知tan 3, tan( )3 , 求tan 2 5 特殊角的三角函数值 (3) 3 解 tan tan ( )

两角和、差及倍角公式(一)

两角和、差及倍角公式（一） 【考纲解读】 1. 掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换. 【基础回顾】 1. 和、差角公式： sin()______________________αβ±=； cos()______________________αβ±=； tan()______________________αβ±=. 2. 二倍角公式： sin 2______________________α=； cos 2_____________________________________________α===； tan 2______________________α=. 3. 半角公式： =αsin _________________； _________________________________________________cos ===α； ________________tan =α. 4.降幂公式： 2sin _________________α=； 2cos _________________α=. 5.辅助角公式： sin cos ______________a x b x +=, (其中sin ______cos ______??==，). 【基础练习】

1. 已知),,2( ,53cos ππαα∈-= 的值求)4cos(απ-。 2. 已知)3 cos(,1715sin πθθθ-= 是第二象限角，求 3. 利用两角和差公式求下列各式的值 （1）?15sin (2)?75cos (3) ?15tan 4. 的值求已知)3tan(,3tan παα+ = 5.求下列各式的值： （1）??+??18sin 72cos 18cos 72sin （2）??+??12sin 72sin 12cos 72cos 6.化归：))tan()(os A )sin(A (?ω?ω?ω+++x x c x 、 、即化归成 （1） =-x x sin 23cos 21 （2）=+x x cos sin 3 （3）=-)sin (cos 2x x （4）=-x x sin 6cos 2 【高考例题】 4. （04重庆）sin163sin 223sin 253sin313_____??+??=. 5. （05北京）在ABC ?中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ?是___三角形.

两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。

三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课

两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式 时间：2017年12月7日授课班级：高一（16）班授课教师：叶桂芬一、教学目标 知识与技能 1.会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式 2.会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3.应用两角和与差的正切公式进行计算、对1的灵活运用. 过程与方法： 1.通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2.通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 情感、态度、价值观 1.使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想； 2.培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度. 二、教学重点、难点 1.重点：两角和与差的正切公式推导及其运用 2.难点：两角和与差的正切公式的运用。 三、课时安排 1课时 四、教学流程 1、复习回顾： β α αsin β β α C + = cos(- sin cos ) cos α+ β β αsin α α β β C cos(+ = - ) cos cos sin β α-

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βα+S βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βα-S 2、探究新知（推导过程） （1） 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出 )tan(βα+和)tan(βα-吗？ （2） 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式 βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)t an( βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满足什么条件？ 师生讨论： 当0)cos(≠+βα时，β αβαβ αβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan( -+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( -+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 β αβ αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+= - 由此推得两角和与差的正切公式。简记为“βα+T ，βα-T ” βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？ 由推导过程可以知道：) (2 ) (2 ) (2Z k k Z k k Z k k ∈+ ≠±∈+≠∈+ ≠π πβαπ πβπ πα

两角和与差的余弦公式教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问 题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生

思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程

两角和与差及二倍角公式讲义

两角和与差及二倍角公式 一．【复习要求】 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明. 二、【知识回顾】 1．两角和与差的三角函数 sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ； 2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。 sin 2α= ； cos2α= = = tan 2α= 。 3．降幂公式 2 sin α= ； 2cos α= . 注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式 证明： )sin cos x x y x x =+= sin sin cos )x x ??+ )x ?+ 其中， cos ?= sin ?= tan b a ?= 且角?终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想 如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。 5.公式的使用技巧 （1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++

（2）“1”的代换：22 sin cos 1αα+=，sin 1,tan 12 4 π π == （3）收缩代换：sin cos y x x =+ =)x ?+， （其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= +→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan 95tan 353tan 95tan 35--= 。 tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 。 （5）角的变换（拆角与配角技巧） 22 α α=? ， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2 ααβαβ= ++-， ()4 4 ααπ π =+ - ， ()4 24π π π αα+= --，1 [()()]2 βαβαβ=+--， （6）二倍角公式的逆用及常见变形 二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。 ①sin 2sin cos 22 α α α=；②2 2 2 2 cos cos sin 12sin 2cos 12 2 2 2 α α α α α=-=-=- ③2 2tan 2tan 1tan 2 α αα = -；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-= 5．三角函数式的化简 （1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三 角公式的逆用等。④降幂或升幂 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 6．三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变 换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于 “变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的 式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。 7．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证明