微分方程的基础知识与练习
（一）微分方程基本概念：
首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足
x dx
dy
2=（1） 同时还满足以下条件：
1=x 时，2=y （2）
把（1）式两端积分，得
⎰=xdx y 2即C x y +=2（3）
其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得
1=C ，
由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：
12+=x y （4）
（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度
2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运
动规律的函数)(t s s =满足：
4.02
2-=dt s
d （5） 此外，还满足条件：
0=t 时，20,0==
=dt
ds
v s （6）
(5)式两端积分一次得：
14.0C t dt
ds v +-== （7）
再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8）
其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得
0 ,2021==C C
把21,C C 的值代入（7）及（8）式得
,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-=（10）
在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：
)(504
.020
s t ==
。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程
).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=
上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们
都是微分方程。 1．微分方程的概念
一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程
()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是
()(,,',...,)0,n F x y y y =（11）
其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而
)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
01)(=+n y
中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
0x x =时，0y y =，
或写成00|y y x x ==
其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
0x x =时，0y y =，'1y y =
或写成00|y y x x ==，0'|1x x y y ==
其中0x ，0y 和1y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是
方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问
题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
⎩⎨
⎧===.|),
,('00
y y y x f y x x （13） 二阶微分方程的初值问题是
00''(,,'),
|,'|1x x x x y f x y y y y y y ===⎧⎪⎨
==⎪⎩ 3、例题
例1验证：函数
kt C kt C x sin cos 21+=（14）
是微分方程
02
2
2=+x k dt
x d （15） 的解。
解求出所给函数（14）的导数
,cos sin 21kt kC kt kC dt
dx
+-= )sin cos (sin cos 212
22122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt
x d +-=--= 把22dt
x
d 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡
函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。 用程序来实现： >> syms k t C1 C2;
>> x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); >> diff(x,t,2)+k^2*x ans =
