知识讲解 对数函数及其性质 基础

对数函数的性质与变化规律对数函数是指以某个固定底数为底的数学函数。

对数函数在科学、经济以及其他领域中广泛应用，具有许多独特的性质和变化规律。

本文将介绍对数函数的基本性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数b作为底数，a为真数的对数表达式。

可以表示为log_b(a) = x，其中b称为底数，a称为真数，x称为以b为底a的对数。

对数函数可以用来解决指数方程、指数函数和指数关系中的问题。

2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集R^+，即所有大于零的实数。

对数函数的值域为实数集R，即所有实数。

3. 对数函数的图像当底数b大于1时，对数函数为增函数，图像从左下方无限逼近y 轴，并且获得正无限大的纵坐标值。

当底数0<b<1时，对数函数为减函数，图像从右上方无限逼近y轴，并且获得负无限大的纵坐标值。

对数函数的图像在横坐标轴上有一个渐近线y=0。

4. 对数函数的基本性质对数函数有以下基本性质：- 对数函数的符号性质：对于所有正数a，log_b(a)>0；对于所有0<a<1的数值，log_b(a)<0。

- 对数函数的乘法性质：log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c)。

- 对数函数的除法性质：log_b(a/c) = log_b(a) - log_b(c)。

- 对数函数的幂指数性质：log_b(a^r) = r*log_b(a)，其中r是任意实数。

二、对数函数的变化规律1. 对数函数的平移对数函数的图像可以进行水平和垂直的平移。

如果对数函数的表达式为y = log_b(x-k)，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向右平移k个单位。

如果对数函数的表达式为y = log_b(x) + k，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向上平移k个单位。

2. 对数函数的伸缩对数函数的图像可以进行水平和垂直方向上的伸缩。

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。

常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。

自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。

常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。

2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。

（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。

•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。

•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。

•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。

（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。

•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。

•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。

•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。

•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。

•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。

对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。

本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。

一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。

2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。

4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。

5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。

6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。

二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。

2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。

3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。

4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。

5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。

三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。

对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。

11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。

在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。

对数函数及其性质对数函数是初等函数中的一种，也是数学中非常重要的一种函数。

在我们学习对数函数之前，我们需要先了解指数函数。

指数函数，即 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 为常数，$a>0$，$a≠1$，$x$ 为自变量。

当 $a>1$ 时，指数函数呈现增长趋势；当$0<a<1$ 时，指数函数逐渐减小。

然而，当我们需要解决 $a^x=c$（其中 $c$ 为定值）时，往往难以直接求解。

这时，我们就可以用到对数函数。

对数函数的定义为：设 $a>0$ 且$a≠1$，$y=\log_{a}{x}$，当且仅当 $a^y=x$。

对数函数是指数函数的反函数。

对于对数函数，我们可以发现以下性质:1. 对数函数的底数 $a$ 必须为正实数且不能等于1。

2. 对数函数的定义域为正实数集哦 $(0,+\infty)$；3. 对数函数所得的值域为实数集$(−\infty,+\infty)$；4. 对数函数有一个特殊的点 $(1,0)$，即底数为 $1$ 时，对数函数为 $0$。

那么，我们何时需要使用对数函数呢？下面是一些例子：1. 求解以指数形式表示的方程式，例如 $2^x=16$。

转化成对数形式:$\log_{2}{16}=x$。

2. 用于度量某些指标的倍增，例如声高的分贝计算，经过计算后得到的值可以用对数函数来表示。

对于对数函数，我们还可以进一步了解到对数函数的两个重要性质：性质一：对数函数的对数运算法则设 $a>0$，且$a≠1$。

则有：$\log_{a}{MN}=\log_{a}{M}+\log_{a}{N}$$\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}$$\log_{a}{M^p}=p\log_{a}{M}$推导过程：$\log_{a}{MN} = y$，即 $a^y=MN$,则 $a^y=MN=a^{log_{a}{M}}\cdota^{log_{a}{N}}=a^{log_{a}{M}+log_{a}{N}}$,所以 $y=log_{a}{MN}=log_{a}{M}+log_{a}{N}$。

对数及其知识点总结一、定义和性质1. 定义对数是一个数学函数。

正式定义为：如果a > 0且a≠1，且x>0，则以a为底x的对数记作log_a(x)=y，其中y表示底为a的x的对数。

换句话说，log_a(x)表示a的y次幂等于x，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

2. 性质（1）对数函数的定义域为正实数。

（2）对数函数的值域为实数。

（3）对数函数在a>1时，在a=1时，及a＜1时对数的性质是不同的。

（4）对数函数y=log_a(x)的图象是一条单调递增的曲线，穿过第一象限。

当x=a时,y=1。

（5）对数函数的性质：log_ab=log_ax/log_ab=log_a(x)×log_a(b)。

二、对数的计算1. 对数的运算法则（1）加法法则：log_a(mn)=log_am+log_an。

（2）减法法则：log_a(m/n)=log_am- log_an。

2. 对数的换底公式对数的换底公式是指，当我们计算不同底数的对数时，可以使用换底公式来进行计算。

换底公式是log_ab= log_cb/log_ca。

3. 对数的计算方法对数的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）确定底数a和真数x；（2）使用对数的定义，代入相应的值进行计算；（3）根据需要，使用对数的运算法则和换底公式进行计算。

（4）对于特殊情况，如对数为整数或分数时，需要进行额外的计算。

4. 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在科学计算、工程技术、金融业务等领域都有着重要的作用。

对数常常用来表示某一数量级的大小，例如声音的强度、地震的强度、化学溶液的浓度等。

三、常用对数及自然对数1. 常用对数常用对数是指以10为底的对数。

在常用对数中，log_10(10)=1，log_10(100)=2，log_10(1000)=3，依此类推。

常用对数可以简化对数的计算，常用对数的应用也十分广泛。

2. 自然对数自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数。

对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学中有着广泛的应用。

本文将从基础定义、性质、常见变形以及实际应用等方面，进行对数函数常用知识点的汇总介绍。

一、基础定义1.对数的定义：对于任意正数a和正数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作log_a(b) = x。

2.常用对数和自然对数：当底数a为10时，称为常用对数，记作log(b)；当底数a为自然常数e时，称为自然对数，记作ln(b)。

3.对数函数的定义：对于任意正数a（a≠1），对数函数y = log_a(x)表示一个数x的以a为底的对数。

二、性质总结1.对数函数的定义域：对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)。

2.对数函数的值域：对数函数的值域为实数集R。

3.对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数的图像上升；当0<a<1时，对数函数的图像下降；对数函数的图像经过点(1,0)。

4.对数函数与指数函数的关系：对数函数y = log_a(x)与指数函数y =a^x是互为反函数的关系。

三、常见变形1.对数函数的平移：对数函数y = log_a(x)的图像向左平移h个单位，可表示为y = log_a(x-h)；向右平移h个单位，可表示为y = log_a(x+h)。

2.对数函数的伸缩：对数函数y = log_a(x)的图像纵向伸缩k倍，可表示为y = log_a(kx)；横向伸缩k倍，可表示为y = log_a(x/k)。

3.对数函数的反转：对数函数y = log_a(x)的图像关于y = x对称。

四、实际应用对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的实际应用场景：1.音乐和声音的测量：声音的强度通常使用分贝（dB）来表示，而分贝就是以对数函数为基础进行计算的。

2.化学中的pH值：pH值是衡量溶液酸碱性的指标，它是以对数函数为基础计算的。

3.经济学中的财富分配：洛伦兹曲线和基尼系数中，对数函数被用来度量收入和财富的不平等程度。

对数函数及其性质1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解： （1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a（x-1），y=2log a x ，y=log a x+21等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表名称 指数函数 对数函数一般形式 y=a x（a ＞0且a ≠1）y=log a x（a ＞0且a ≠1）定义域 R （0，＋∞）值域（0，＋∞）R函数值 变化 情况当1a >时，1010010x xx a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，， 当01a <<时，0101010x xx a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩，，，， 当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，，；当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a ax x x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><<⎩，，，，，单调性当a ＞1时，y=a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=a x是减函数．当a ＞1时，y=log a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=log a x是减函数．图象y=a x（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．当a ＞1时， 当0＜a ＜1时，补充 性质 当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大；0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小．当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大； 当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数。

对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地;如果a x＝Na＞0;且a≠1;那么数x叫做以a为底N的对数;记作x＝log a N．a叫做对数的底数;N叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质1负数和零没有对数． 2log a1＝0a＞0;a≠1． 3log a a＝1a＞0;a≠1．10.对数的基本运算性质1log a M·N＝log a M＋log a N． 2log a错误!＝log a M－log a N． 3log a M n＝n log a Mn∈R．4.换底公式1log a b＝错误!a＞0;且a≠1；c＞0;且c≠1;b＞0．2logb a=1log aa5.对数函数的定义一般地;我们把函数y＝log a xa＞0;且a≠1叫做对数函数;其中x是自变量;函数的定义域是0;＋∞．6.对数函数的图象和性质7.对数函数y＝log a xa＞0且a≠1和指数函数y＝a x a＞0且a≠1互为反函数．基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：12－2＝错误!； 2102＝100； 3e a＝16； 464－错误!＝错误!；2. 若log3x＝3;则x＝_________3.计算：1log 216=_________; 2 log 381=_________; 32log 62+log 69=__________4.1 错误!＝________． 2log 23log 34log 48=________________5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b＝_________.6.若某对数函数的图象过点4;2;则该对数函数的解析式为______________.7.1如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象;已知a 值取错误!;错误!;错误!;错误!;则图象C 1;C 2;C 3;C 4相应的a 值依次是______________2函数y ＝lg x ＋1的图象大致是 4. 求下列各式中的x 的值： 1log 8x ＝－错误!；2log x 27＝错误!；8.已知函数fx ＝1＋log 2x ;则f 错误!的值为__________.9. 在同一坐标系中;函数y ＝log 3x 与y ＝log 错误!x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数fx ＝错误!那么ff 错误!的值为___________.例题精析：例1.求下列各式中的x 值：1log 3x ＝3； 2log x 4＝2； 3log 28＝x ； 4lgln x ＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：1log 8x ＝－错误!； 2log x 27＝错误!； 3log 2log 5x ＝0； 4log 3lg x ＝1.例2.计算下列各式的值：12log 510＋log 50.25; 2错误!lg 错误!－错误!lg 错误!＋lg 错误! 3lg 25＋错误!lg 8＋lg 5×lg 20＋lg 22.变式突破：计算下列各式的值：13错误!log 错误!4； 232＋log 35； 371－log 75； 44错误!log 29－log 25．例3.求下列函数的定义域：1y ＝错误!； 2y ＝错误!； 3y ＝log 2x －1－4x ＋8． 变式突破：求下列函数的定义域：1y ＝错误!; 2y ＝1log 2（x +2）; 3√1−log 2x .例4.比较下列各组中两个值的大小：1ln 0.3;ln 2； 2log a 3.1;log a 5.2a >0;且a ≠1；3log 30.2;log 40.2； 4log 3π;log π3.变式突破：若a ＝log 0.20.3;b ＝log 26;c ＝log 0.24;则a ;b ;c 的大小关系为________． 例5.解对数不等式1解不等式log 2x ＋1＞log 21－x ；2若log a 错误!＜1;求实数a 的取值范围． 变式突破：解不等式：1log 32x ＋1>log 33－x ．2若log a 2>1;求实数a 的取值范围． 课后作业：1. 已知log x 16＝2;则x 等于___________.2. 方程2log 3x ＝错误!的解是__________.3. 有以下四个结论：①lglg 10＝0；②lnln e ＝0；③若10＝lg x ;则x ＝10；④若e ＝ln x ;则x ＝e 2.其中正确的是_____________.4.函数y ＝log a x ＋2＋1的图象过定点___________.5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b ＝6. 若log 错误!a ＝－2;log b 9＝2;c ＝log 327;则a ＋b ＋c 等于___________.7.. 设3x ＝4y ＝36;则错误!＋错误!=___________.。

对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种特殊函数，其函数表达式为y = logb(x)，其中b是底数，x是自变量，y是函数值。

对数函数有许多特别的性质和应用，本文将对对数函数的基本性质、图像特征和应用等进行详细总结。

一、对数函数的基本概念和性质1.底数是正实数且不等于1：对数函数中的底数b必须是一个正实数，并且不能等于1，因为否则函数将不存在。

2.自变量x必须大于0：对数函数的自变量x必须大于0，否则函数值将无意义。

3.对数函数的定义域和值域：定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

值域：对数函数的值域是实数集，即(-∞,+∞)。

4. 对数与指数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即y = logb(x)与y = b^x互为反函数。

5. 乘法性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，即对数函数中两个实数的乘积的对数等于这两个实数的对数之和。

6. 除法性质：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，即对数函数中两个实数的商的对数等于这两个实数的对数之差。

7. 幂性质：logb(x^p) = p · logb(x)，即对数函数中一个实数的幂的对数等于该实数的对数乘以这个幂。

二、对数函数的图像特征1.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。

2.x轴和y轴的渐近线：当x趋近于0时，对数函数的y值趋近于负无穷，故x轴是对数函数的水平渐近线；当y趋近于正无穷时，对数函数的x值趋近于正无穷，故y轴是对数函数的垂直渐近线。

3.对数函数的基准点(1,0)：对于任意正实数b，对数函数在点(1,0)上均有一个特殊点，即对数函数的基准点。

4.对数函数的图像特征：当底数b>1时，对数函数在(0,+∞)上是递增的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐增加的；当0<b<1时，对数函数在(0,+∞)上是递减的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐减少的；对数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴，并且通过点(1,0)。

对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。

本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。

一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。

记作y=logaₐx。

2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。

3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。

二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。

2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。

3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。

4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。

（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。

（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。

（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。

（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。

三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。

（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。

2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

对数函数的基本性质与公式对数函数是数学中一种重要的函数形式，其基本性质和公式在解决各种问题中具有广泛应用。

本文将介绍对数函数的基本性质和常见的公式，帮助读者更好地理解和应用对数函数。

一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意给定的正实数a（a>0且a≠1）和正实数x（x>0），以a为底的对数函数y=loga(x)表示满足a^y=x的实数y。

其中，a称为底数，x称为真数，y为对数。

对数函数具有以下基本性质：1. 对于任意正实数a和b，以a为底的对数函数和以b为底的对数函数是等价的，即loga(x)=ln(x)/ln(a)（其中ln(x)表示以自然数e为底的对数函数）。

2. 对于任意正实数a，a^loga(x)=x。

3. 对于任意正实数a和b，loga(b)×logb(a)=1。

4. 对于任意正实数a、b和c，loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。

二、常见对数函数公式1. 换底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为任意正实数。

2. 对数乘方公式：a^loga(x)=x，其中a为正实数，x为正实数且x≠0。

3. 对数运算公式：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)，其中a为正实数，b、c为正实数且b≠0，c≠0。

4. 对数倒数公式：loga(1/b)=-loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0。

5. 对数除法公式：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，其中a为正实数，b、c 为正实数且b≠0，c≠0。

6. 对数幂公式：loga(b^n)=n×loga(b)，其中a为正实数，b为正实数且b≠0，n为任意实数。

三、对数函数在实际问题中的应用对数函数的公式和性质在各个领域中有着广泛的应用。

以下是一些实际应用的例子：1. 在金融领域，对数函数的性质被用于计算复利问题，如投资收益率和贷款利率的计算。

对数函数的基本性质对数函数是数学中的一种重要函数，具有许多基本性质。

本文将详细介绍对数函数的定义、性质以及在实际应用中的作用。

一、定义对数函数的定义可以从指数函数进行推导得出。

设a为正实数且a≠1，对数函数y=logₐx表示满足a^y=x的y值。

其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。

二、基本性质1. 对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合 (-∞,+∞)。

2. 当x=a⁰时，对数函数的值为0，即logₐa⁰=0。

3. 当x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。

4. 当x=a¹时，对数函数的值为1，即logₐa¹=1。

5. 对数函数是一个递增函数，即当x₁ > x₂时，有logₐx₁ > logₐx₂。

6. 对数函数与指数函数互为反函数，即logₐaⁿ = n。

三、对数函数的表示形式对数函数可以用不同的底数来表示，常用的底数有自然对数e和常用对数10。

1. 自然对数自然对数是以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数函数，用符号ln表示，即lnx=logₑx。

自然对数的特点是在微积分和指数函数中具有重要应用。

2. 常用对数常用对数是以10为底的对数函数，用符号lg表示，即lgx=log₁₀x。

常用对数在计算和工程领域中更常用，因为我们身处的十进制数系统就是以10为底。

四、对数函数的应用对数函数在实际应用中有广泛的应用，下面分别从数学和科学领域介绍其作用。

1. 数学应用对数函数在解决指数方程、指数函数的性质、对数方程等数学问题中具有重要作用。

它可以将复杂的指数运算转化为简单的加法和乘法运算，并且可以帮助掌握数值大小的比较。

2. 科学应用a. 质谱仪：对数函数可用于质谱仪中质量光谱的分析与计算。

b. 化学反应：对数函数可用于化学动力学中反应速率的计算与分析。

c. 经济学：对数函数可用于经济学中利润、收入等变量的模型建立与预测。

五、总结对数函数是一个重要的数学函数，具有定义明确、基本性质清晰的特点。

对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。

本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。

一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。

1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。

当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。

2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。

（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。

（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。

（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。

（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。

（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。

二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。

（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。

（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。

（4）logₐ(a)=1/logₐ⁡(a)，即对数底变换公式。

2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。

（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。

三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。

2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。

对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质要点诠释：关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)要点四、反函数 1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x f y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1f-．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y f x -=的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)ay a a =>≠；（2）2log 2;y x =+（3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，二非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数．【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件． 类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域. (1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y = (2)lg 23y x x =+-.【答案】（1）(1，23) (23，2)；（2）(()[),115,32,-∞----+∞．【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠->->-1)1(log 0)1(log 012121x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2).（2）由22240,230,lg(23)0,x x x x x ⎧-≥⎪+->⎨⎪+-≠⎩得22,31,1x x x x x ⎧≤-≥⎪<->⎨⎪≠-⎩或或故所求定义域为(()[),115,32,-∞-----+∞．类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。