磁场的最小面积
1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。
2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为0.5×103
V/m,
B 1大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界
与x 轴重合．一质量m =1×10-14
kg 、电荷量q =1×10-10
C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2
．
(1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大？； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少？
y
x
v L
30°
P O
3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：
（1）该粒子在磁场里运动的时间t；
（2）该正三角形区域磁场的最小边长；
（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。
4．如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：
⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
⑵此匀强磁场区域的最小面积。
A B
C
D
答案
1．解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r ，
r
v m qvB 2
= ①
据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。过P 沿速度方向作延长线，它与x 轴相交于Q 点。作圆弧过O 点与x 轴相切，并且与PQ 相切，切点A 即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C ，如图所示。 由图中几何关系得
L=3r ② 由①、②求得
qL
mv
B 3=
③ 图中OA 的长度即圆形磁场区的半径R ，由图中几何关系可得 L R 3
3
=
④ 2．解：(1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛仑兹力的作用 ，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成60°角斜向下． (2分) 由力的平衡有
Eq =B 1qv (2分) ∴
(1分)
(2) 画出微粒的运动轨迹如图．
由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为
(2分)
微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即
(2分)
解之得
(2分)
(3) 由图可知，磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内．由几何关系易得
(1分)
(1分)
y
x
v
L 30°
P O
r r Q R C 60° N
P
M
O y /cm
x /cm
60°
A
C
D
所以，所求磁场的最小面积为 (2分)
3．解：
4．解析：
（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。令圆弧 ⌒ AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力
0f ev B =
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧 ⌒ AEC
的圆心在CB 边或其延长线上。依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有
2
2
v f m =
联立①②式得 0
mv B ea
=
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。因而，圆弧 ⌒ AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02
π
θ≤<
）的情形。该电子
的运动轨迹qpA 如右图所示。图中，圆弧 ⌒ AP
的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，由③式知，圆弧 ⌒ AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为
sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④
⑤
这意味着，在范围02
π
θ≤≤
内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 ⌒ AFC
，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 ⌒ AEC 和 ⌒ AFC
所围成的，其面积为2221122()422
S a a a ππ-=-=
磁场中的最小面积及动态圆积问题 因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。 【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于 ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方 加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在 一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。 【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O 点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒 子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。 【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB = 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点 和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R = 故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：01 32(3)3 3r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限 区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场， 在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安 放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的 速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求： （1）该带电粒子的比荷q m ； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。 R R y o x A B v v o ︒300v 0v b
确定磁场最小面积的方法 电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。 一、几何法 例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°,同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60 ° 角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）c点到b点的距离。 解析：（1 ）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有： ① 解得 过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知： 由②③得2所示：要使磁场的区域有最小面积 , 图2
所以圆形匀强磁场的最小面积为: (2)带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动 的合成知识有： ④ ⑤ 而 ⑥ 联立④⑤⑥解得 、参数方法 例2.在xOy 平面内有许多电子(质量为 m 、电荷量为e )，从坐标原点0不断地以相同 的速率 沿不同方向射入第一象限，如图 3所示。现加一个垂直于 平面向里，磁感应 强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于 x 轴向x 轴正向运动。求 符合该条件磁场的最小面积。 解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点 0沿任意方向射入第一象限时，先考察速 度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在 x 轴上的A i 点、半径为 沿圆弧OCP 运动至最高点P 时即朝x 轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界， 见图5。当电子速度方向与 x 轴正向成角度 时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时， 速度方向必须平行于 x 轴方向，设边界任一点的坐标为 ，由图4可知： 图4 ，消去参数得: 的圆。该电子
（2010•模拟）（强化班学生做）如图所示，第四象限有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m，B1大小为0.5T．第一象限的 某个矩形区域 ．．．．，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场 的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量 q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60° 角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限的磁 场B2区域．一段时间后，微粒经过y轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出．M点的坐标为（0，-10）， N点的坐标为（0，30），不计微粒的重力，g取10m/s2．求： （1）请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速 度v； （2）匀强磁场B2的大小为多大； （3）B2磁场区域的最小面积为多少？ 解：(1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限仅受，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成60°角斜向下．由力的平衡有Eq=B1qv ∴ (2) 画出微粒的运动轨迹如图．由几何关系可知粒子 在第一象限做圆周运动的半径为 微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即 解之得 (3) 由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示 的矩形P ACD．由几何关系易得 所以，所求磁场的最小面积为 如图所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面做匀 速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向 里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图 中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向 进入宽为L的匀强电场. 电场强度大小为E，方向竖直向上. 当粒子穿出电场时速度大小变为原来的倍. 已知带电粒子的质量为m，电量为q，重力不计. 粒子进入磁场前的速度与水平方向成60°角. 试解答： （1）粒子带什么电？ （2）带电粒子在磁场中运动时速度多大？ （3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大？ •解析: （1）根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电. （2分）
磁场的最小面积 1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。 2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为0.5×103 V/m, B 1大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界 与x 轴重合．一质量m =1×10-14 kg 、电荷量q =1×10-10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2 ． (1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大？； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少？ y x v L 30° P O
3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）该粒子在磁场里运动的时间t； （2）该正三角形区域磁场的最小边长； （3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。 4．如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： ⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； ⑵此匀强磁场区域的最小面积。 A B C D
磁场的最小面积 为中心的一个圆平面上，磁场分布在以Oxy1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xv ，方向沿、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为形区域内。一个质量为m ，的距离为L °，P 到O 粒子经过后来，y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30正方向。 。的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B y 30°P L x v O 3 B EE V/m,0.5第四象限内有互相正交的匀强电场×与匀强磁场10，的大小为2.如图所示，1BB ，磁场的下边界0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场大小为 21-10-14yqvxm 轴正方10C 沿与轴重合．一质量10=1×kg 、电荷量的带正电微粒以某一速度=1×与BPM 区域．一段时间后，小球点沿直线运动，经点即进入处于第一象限内的磁场向60°角从2NNyMy 点的坐标为，°角的方向飞出。点的坐标为(0，经过轴上的-10)点并与轴正方向成602g 取 10m/s ．(0，30)，不计粒子重力，vE (1)请分析判断匀强电场的方向并求出微粒的运动速度；1B 匀强磁场(2)的大小为多大？；2 B (3)磁场区域的最小面积为多少？2 边飞入正三角形BCv 垂直于电量的粒子在BC 边上的M 点以速度m,3．一个质量为带+q 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂点垂直于ACNABC 。为了使该粒子能在AC 边上的的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且磁感应强度为B 直于纸面向里， 不计粒子的重力。试求： t ；（1）该粒子在磁场里运动的时间 ）该正三角形区域磁场的最小边长；（2 ）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。（3
磁场中的“最小面积”问题 河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27 带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y 轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀 强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一 圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .： 解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得："二崂 则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺 qB 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半
径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示： 则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以 0,为圆心、 R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周. 即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积 例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布 在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最 小半径.重力忽略不计。 解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动, qvB =mv l ,得 R =mv R qB 根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周, 这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行 于x 轴的直线,过b 点作平行于y 轴的直 线，则与这两直线均相距R 的O/点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O,为圆 心、R 为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN ，M 点和N 点应在所求圆 形磁场区域的边界上。 S =兀 r 2 = min 兀 m 2 v 2 sin 2 a
磁场区域的最小面积问题 考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场范围为树叶形 例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=m q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。 ⑴求离子在匀强磁场中运动周期； ⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106 -⨯πs 时间这些离子所在位置 构成的曲线方程； ⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。 15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2 mv qvB R =２分 运动周期22R m T v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间6 11066 t s T π-=⨯= ２分 根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动， 转过的角度均为126 3 π θπ⨯= ＝ １分 这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan 2 3 y x x θ == ２分 ⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有 2 mv qv B R =００ ２分 mv R qB =1=ｍ １分 这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分 调整后磁场区域的最小面积2 2min 22()422 R R S ππ-=⨯-=m 2 ２分 例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电 场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （-2l 0，-l 0）到C （-2l 0，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q ．质量为m 的粒子。从某时刻起A 点到C 点间的 x O y
高中物理：确定磁场最小面积的方法 电磁场内容历来是高考中的重点和难点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。 图1 解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：①解得 ②过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知： 图2③由②③得所以圆形匀强磁场的最小面积为：（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有： ④⑤而⑥联立④⑤⑥解得 二、参数方法例2. 在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为
B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正 向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为，由图4 可知：图4 ，消去参数得： 可以看出随着的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。 上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。 图5
提示：不确定区域的磁场，当满足一定粒子运动学要求时往往会有磁场最大或最小面积，这些题目该如何找到突破口？笔者稍微总结了几道经典例题，望有所帮助。 磁场最小面积的确定方法 电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。 一、几何法 1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）c点到b点的距离。 图1 1．解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有： Bqv m v R 2 =① 解得R mv qB =0② 过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知： 图2
r R =cos30° ③ 由②③得r mv qB = 320 所以圆形匀强磁场的最小面积为： S r m v q B min == ππ2 20 2 22 34 （2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有： s vt ·°sin30= ④ s at ·°cos30122= ⑤ 而 a qE m = ⑥ 联立④⑤⑥解得 s mv Eq = 4302 二、参数方法 2．在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的 速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。 图3 2．解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O 沿任意方向射入第一象限时，先考 察速度沿+y 方向的电子，其运动轨迹是圆心在x 轴上的A1点、半径为 R mv qB = 的圆。该 电子沿圆弧OCP 运动至最高点P 时即朝x 轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x 轴正向成角度θ时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x 轴方向，设边界任一点的坐标为S x y ()，，由图4可知：